高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义随堂练习题

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5.1.1 变化率问题
基础过关练
题组一 平均速度与瞬时速度
1.某质点的运动规律为s(t)=t2+3,则在时间段(3,3+Δt)内,质点的位移增量Δs等于( )
A.6Δt+(Δt)2 B.6+Δt+9Δt
C.3Δt+(Δt)2 D.9+Δt
2.某物体沿水平方向做直线运动,其前进距离s(米)与时间t(秒)的关系为s(t)=5t+2t2,则该物体在运动前2秒的平均速度为( )
A.18米/秒 B.13米/秒
C.9米/秒 D.132米/秒
3.(2021江西南昌八一中学、洪都中学等七校期末联考)一个物体的运动方程为s(t)=1-t+t2,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是( )
A.7米/秒 B.6米/秒
C.5米/秒 D.8米/秒
4.(2021北京东城东直门中学期中)某物体的运动方程为s(t)=3t2(位移单位:m,时间单位:s),若v=limΔt→0s(3+Δt)−s(3)Δt=18 m/s,则下列说法中正确的是( )
A.18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度
B.18 m/s是物体从3 s到(3+Δt)s这段时间内的速度
C.18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度
D.18 m/s是物体从3 s到(3+Δt)s这段时间内的平均速度
5.(2022黑龙江拉哈一中月考)航天飞机升空后一段时间内,第t s时的高度为h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s.
(1)h(0),h(1),h(2)分别表示什么?
(2)求航天飞机升空后在第2 s内的平均速度;
(3)求航天飞机升空后在第2 s末的瞬时速度.
题组二 抛物线的割线、切线的斜率
6.已知函数f(x)=x2图象上四点A(1, f(1)),B(2, f(2)),C(3, f(3)),D(4, f(4)),割线AB、BC、CD的斜率分别为k1,k2,k3,则( )
A.k1C.k37.(2021湖北荆州沙市中学期末)已知点P(-1,1)为曲线上的一点,PQ为曲线的割线,若Q(-1+Δx,1+Δy),当Δx→0时,kPQ的极限为-2,则曲线在点P处的切线方程为( )
A.y=-2x+1 B.y=-2x-1
C.y=-2x+3 D.y=-2x-2
8.(2022河北保定二中月考)若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则( )
A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1
C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1
9.已知曲线y=x2-1上两点A(2,3),B(2+Δx,3+Δy),当Δx=1时,割线AB的斜率是 ;当Δx=0.1时,割线AB的斜率是 .
10.已知函数f(x)=-x2+x图象上两点A(2, f(2)),B(2+Δx, f(2+Δx))(Δx>0).
(1)若割线AB的斜率不大于-1,求Δx的范围;
(2)求函数f(x)=-x2+x的图象在点A(2, f(2))处的切线的方程.
11.已知点P在曲线f(x)=x2+1上,且曲线在点P处的切线与曲线y=-2x2-1相切,求点P的坐标.
答案全解全析
基础过关练
1.A 位移增量Δs=s(3+Δt)-s(3)=(3+Δt)2+3-(32+3)=6Δt+(Δt)2.故选A.
2.C ∵s(t)=5t+2t2,∴该物体在运动前2秒的平均速度为s(2)−s(0)2=182=9(米/秒).故选C.
3.C ∵limΔt→0s(3+Δt)−s(3)Δt
=limΔt→01−(3+Δt)+(3+Δt)2−(1−3+9)Δt
=limΔt→05Δt+(Δt)2Δt=limΔt→0(5+Δt)=5,
∴物体在3秒末的瞬时速度是5米/秒,故选C.
4.C v=limΔt→0s(3+Δt)−s(3)Δt是物体在3 s这一时刻的瞬时速度.故选C.
5.解析 (1)h(0)表示航天飞机发射前的高度;
h(1)表示航天飞机升空后第1 s时的高度;
h(2)表示航天飞机升空后第2 s时的高度.
(2)航天飞机升空后第2 s内的平均速度v=ℎ(2)−ℎ(1)2−1
=5×23+30×22+45×2+4−(5×13+30×12+45×1+4)1
=170(m/s).
(3)航天飞机升空后在第2 s末的瞬时速度为limΔt→0ΔℎΔt
=limΔt→0ℎ(2+Δt)−ℎ(2)Δt
=limΔt→05(2+Δt)3+30(2+Δt)2+45(2+Δt)+4−(5×23+30×22+45×2+4)Δt
=limΔt→05(Δt)3+60(Δt)2+225ΔtΔt=225(m/s).
因此,航天飞机升空后在第2 s末的瞬时速度为225 m/s.
6.A k1=f(2)−f(1)2−1=4-1=3,k2=f(3)−f(2)3−2=9-4=5,k3=f(4)−f(3)4−3=16-9=7,
∴k17.B 若当Δx→0时,kPQ的极限为-2,则曲线在点P处的切线的斜率为-2,
所以曲线在点P处的切线方程为y-1=-2(x+1),整理可得y=-2x-1.故选B.
8.A 由题意可知曲线在点(0,b)处的切线的斜率k=limΔx→0(0+Δx)2+a(0+Δx)+b−bΔx
=limΔx→0(Δx+a)=a,
又曲线在点(0,b)处的切线方程为x-y+1=0,
所以a=1,
由点(0,b)在切线上,可得0-b+1=0,即b=1.
故选A.
9.答案 5;4.1
解析 当Δx=1时,割线AB的斜率
k1=ΔyΔx=(2+Δx)2−1−22+1Δx=(2+1)2−221=5;
当Δx=0.1时,割线AB的斜率
k2=ΔyΔx=(2+Δx)2−1−22+1Δx=(2+0.1)2−220.1=4.1.
10.解析 (1)由题意得,割线AB的斜率k=f(2+Δx)−f(2)Δx
=−(2+Δx)2+2+Δx−(−4+2)Δx
=−3Δx−(Δx)2Δx=-3-Δx,
由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2,
又因为Δx>0,所以Δx的范围是(0,+∞).
(2)由(1)知函数f(x)=-x2+x的图象在点A(2, f(2))处的切线的斜率k'=limΔx→0(-3-Δx)=-3,
又f(2)=-22+2=-2,
所以所求切线的方程为y-(-2)=-3(x-2),
即3x+y-4=0.
11.解析 设P(x0,y0),则y0=x02+1,
易得曲线f(x)=x2+1在点P处的切线的斜率k=limΔx→0(x0+Δx)2+1−(x02+1)Δx=2x0,
所以曲线f(x)在点P处的切线方程为y-y0=2x0(x-x0),即y=2x0x+1-x02,
又因为该直线与曲线y=-2x2-1相切,
所以该直线与曲线y=-2x2-1只有一个公共点,
由y=2x0x+1−x02,y=−2x2−1,得2x2+2x0x+2-x02=0,
则Δ=4x02-8(2-x02)=0,
解得x0=±233,则y0=73,
所以点P的坐标为233,73或−233,73.