高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.3 离散型随机变量的数字特征图片ppt课件

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7.3　离散型随机变量的数字特征7．3.2　离散型随机变量的方差
 1．通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念．2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．3．掌握方差的性质以及方差的求法，会利用公式求方差． 1．通过离散型随机变量的方差的学习，培养数学抽象素养．2．借助方差解决实际问题，提升数学运算素养．
(1)定义：如果离散型随机变量X的分布列如表所示：
(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋
(xn－E(X))2pn
(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的离散程度，方差和标准差越小，随机变量的取值越_______；方差与标准差越大，随机变量的取值越_______.(3)性质：D(aX＋b)＝_______________.
想一想：离散型随机变量的方差和样本方差之间有何关系？提示：(1)离散型随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随样本的变化而变化；(2)样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的．
练一练：1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值．(　 　)(2)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平．(　 　)(3)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平．(　 　)(4)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(　 　)
3．若随机变量X服从两点分布，且在一次试验中事件A发生的概率P＝0.5，则E(X)和D(X)分别为( 　　)A．0.25；0.5 B．0.5；0.75C．0.5；0.25 D．1；0.75[解析]　E(X)＝0.5，D(X)＝0.5×(1－0.5)＝0.25.
袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，随机变量X表示所取球的标号．求X的分布列、均值和方差．[分析]　已知标数字n的有n个，即标数字1的有1个、标数字2的有2个，标数字3的有3个，标数字4的有4个，从而可以明确随机变量X的取值及各个取值对应的概率，进而写出X的分布列、求出X的均值，即可求得X的方差．
编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ)．
已知随机变量X的分布列如下：
(1)求随机变量X2的分布列；(2)计算X的方差；(3)若随机变量Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
[规律方法]　(1)方差的计算需要一定的运算能力，在随机变量X2的均值比较容易计算的情况下，运用关系式D(X)＝E(X2)－(E(X))2不失为一种比较实用的方法．(2)若变量间存在Y＝aX＋b(a≠0)的关系，应注意均值与方差性质的应用，即利用E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)求解．
若随机变量X的分布列为
已知随机变量Y＝aX＋b(a，b∈R，a>0)且E(Y)＝10，D(Y)＝4，则a与b的值为( 　　)A．a＝10，b＝3 B．a＝3，b＝10C．a＝5，b＝6 D．a＝6，b＝5
[解析]　因为0.2＋m＝1，所以m＝0.8，所以E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8，D(X)＝0.2×0.8＝0.16.因为Y＝aX＋b(a，b∈R)，E(Y)＝10，D(Y)＝4，所以aE(X)＋b＝0.8a＋b＝10，a2D(X)＝0.16a2＝4，解得a＝5，b＝6.
A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取得最小值．(注：D(aX＋b)＝a2D(X))
[解析]　(1)由题设可知Y1和Y2(单位：万元)的分布列分别为
E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4.E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
[规律方法]　利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤(1)比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．(2)在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．(3)下结论．依据方差的几何意义做出结论．
以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况为：
欲从甲、乙两运动员中选一人参加奥运会，你认为选派哪位运动员参加较好？
[解析]　由题意，E(X1)＝0×0.2＋1×0.5＋2×0.3＝1.1，E(X2)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1，所以E(X1)＝E(X2)．D(X1)＝(0－1.1)2×0.2＋(1－1.1)2×0.5＋(2－1.1)2×0.3＝0.49，D(X2)＝(0－1.1)2×0.3＋(1－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.4＝0.69，所以D(X1)要准确理解随机变量取值的含义 某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需试开次数X的均值和方差．
[辨析]　首先这不是五次独立重复试验，从5把钥匙中取一把试开房门，若不能打开，则除去这把后，第二次试开就只有4把钥匙了．其次X＝k的含义是前(k－1)把钥匙没有打开房门，而第k把钥匙打开了房门．
1．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为( 　　)A．0.6和0.7 B．1.7和0.09C．0.3和0.7 D．1.7和0.21[解析]　E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1－1.7)2×0.3＋(2－1.7)2×0.7＝0.21.
[解析]　随机变量ξ服从两点分布，E(ξ)＝m，所以D(ξ)＝(1－m)2·m＋(0－m)2(1－m)＝m(1－m)．
4．已知随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则p＝______，D(2X－3)＝______.