【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第18讲 复数的加、减运算及其几何意义 讲义

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第18课 复数的加、减运算及其几何意义

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课程标准
课标解读
1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.
2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．

1.在认真学习复数定义的基础上，熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.
2.进一步加强理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题，提升数学学科素养.


知识精讲


知识点一　复数加法与减法的运算法则
1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2．对任意z1，z2，z3∈C，有
(1)z1＋z2＝z2＋z1；
(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．


【即学即练1】　设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．
解　∵z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，
∴z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i
＝＋(m2－2m－15)i.
∵z1＋z2是虚数，∴m2－2m－15≠0，且m＋2≠0.
∴m≠5，且m≠－3，且m≠－2，m∈R.
即m的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)．
反思感悟　复数加、减运算的解题思路
两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．


知识点02 　复数加、减法的几何意义
如图，设复数z1，z2对应的向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应．


【即学即练2】若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，2)
解析　z2－z1＝1＋(a－2)i，由题意知a－2<0，即a<2.


能力拓展


考法01 复数代数形式的加、减运算


【典例1】复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　A
解析　复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9,1)，在第一象限．

【变式训练】

考法02 复数加、减法的几何意义
【典例2】　如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i.求：

(1)对应的复数；
(2)对应的复数；
(3)对应的复数及的长度．
解　(1)因为＝－，
所以对应的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，
所以对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为＝＋，
所以对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
所以||＝＝.

反思感悟　复数与向量的对应关系的两个关注点
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的．
(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变．

【变式训练】已知复平面内的向量，对应的复数分别是－2＋i,3＋2i，则||＝________.
答案　
解析　∵＝＋，
∴对应的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，
∴||＝＝.


考法03 复数模的综合问题
【典例3】　如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)
A．1 B. C．2 D.
答案　A
解析　设复数z，－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3，
因为|z＋i|＋|z－i|＝2，
|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
所以点Z在线段Z1Z2上移动，|Z1Z3|min＝1，
所以|z＋i＋1|min＝1.
反思感悟　两个复数差的模的几何意义
(1)|z－z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．
(3)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．

【变式训练】　△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点P是△ABC的(　　)
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
答案　A
解析　由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z对应的点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，∴P为△ABC的外心．




分层提分


题组A 基础过关练

一、单选题
1．已知复数，和满足，若，则的最大值为（    ）
A． B．3 C． D．1
【答案】B
【详解】根据题意，得，
当，，时，，此时，
所以.
故选：B.
2．已知设，则，则的最小值为（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】由，可得，可令，
则
（为锐角，且）
由，可得
则的最小值为3.
故选：A
3．复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（    ）个.
A．9 B．10 C．11 D．无数
【答案】C
【详解】，其中，所以，即，，当时，①，，所以，，因为，所以或；②，，所以，，因为，所以，，，，或；当时，①，，即，，因为，所以，②，，即，，因为，所以，，，，，综上：，，一共有11个.
故选：C
4．已知，，则（    ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，
，
故选：D.
5．若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，
所以.
故选：D
6．若，则等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，
则，所以，得，
所以.
故选：B.

二、填空题
7．在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为___________.
【答案】
【详解】解：因为复数对应的点为
且则可确定点在以O为圆心，2为半径的圆上
又，所以为圆的直径，即关于原点对称
所以
因为
所以
又，，
则
所以
即的最大值为，所以的最大值为.
故答案为：.
8．若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_______.
【答案】
【详解】复数满足，即
即复数对应的点到点的距离满足
设，表示复数对应的点到点的距离
数形结合可知的最大值
故答案为：

9．已知，且z是复数，当的最大值为3，则_______.
【答案】
【详解】设，因为，所以，，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，
解得，，
故答案为：.
10．已知复数为虚数单位，则_________.
【答案】
【详解】因为复数，所以，且，
所以，
故答案为：.

三、解答题
11．对于一组复数，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该复数组的“复数”.
（1）设，若是复数组，，的“复数”，求实数的取值范围；
（2）已知，，是否存在复数使得，，均是复数组，，的“复数”？若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；
（3）若，复数组，，，…，是否存在“复数”？给出你的结论并说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，；（3）不存在，答案见解析.
【详解】解：（1），，，∵是复数组，，的“复数”，
∴，代入得，化简得，∴．
（2）若，，均是复数组，，的“复数”，则，设，，2，3，则，
相加得，所以，所以．
（3）因为严格递减
当为奇数时，，
，∴，
所以当为奇数时，复数组，，，…，存在“复数”，是复数组，，，…，的“复数”．
为偶数时，，

，
∴，所以当为偶数时，复数组，，，…，不存在“复数”．
12．已知复数，根据以下条件分别求实数的值或范围.
（1）是纯虚数；（2）对应的点在复平面的第二象限.
【答案】(1) m=3.(2) 或.
【详解】试题分析：（1）由纯虚数，可知实部等于0，虚部不等于0，即．（2）对应点在第二象限，所以实部小于0，且对数的真数大于0，虚部大于0，即．
试题解析：（1）由是纯虚数得
即    所以m=3.
（2）根据题意得，
由此得，即或.




题组B 能力提升练

一、单选题
1．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】因为方程有两个虚根和，
所以，则，
又由求根公式知两虚根为，，
所以，则，解得，满足要求，
所以.
故选：C.
2．关于复数，下列说法正确的是（    ）
A．若，则或
B．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为
C．若点Z的坐标为，则Z对应的点在第三象限
D．若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为
【答案】D
【详解】对于A，取 ，则，故A错误；
对于B，，B错误；
对于C，点Z的坐标为，则Z对应的点在第二象限，C错误；
对于D，设，则由可知 ，
故复数z对应的点所构成的图形面积为 ，D正确，
故选：D.
3．已知，且，其中，为实数，则（    ）
A．1 B．3 C． D．5
【答案】C
【详解】因为，所以，
所以，
所以由可得，解得，
所以，
故选：C
4．已知，，，，，则（    ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【详解】设，，
所以，，
因为，所以，
即，所以
.
故选：D.
5．若|z＋3i|＝|z＋4－i|，则|z|＋|z－2|的最小值为（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【详解】设，则==
所以，即，
整理得，
所以=，
可以理解为点到点和点距离之和，
设点关于直线的对称点为，
解得所以为，
故的最小值为点到的距离为.
故选：D
6．欧拉公式被称为世界上最完美的公式，欧拉公式又称为欧拉定理，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，即（）.根据欧拉公式，下列说法不正确的是（    ）
A．对任意的， B．在复平面内对应的点在第二象限
C．的实部为 D．与互为共轭复数
【答案】C
【详解】对于A选项，，A正确；
对于B选项，，而，，故在复平面内对应的点在第二象限，B正确；
对于C选项，，实部为，C错误；
对于D选项，，又，故与互为共轭复数，D正确.
故选：C.

二、多选题
7．已知（，是虚数单位），，定义：，则下列结论正确的是（    ）
A．对任意，都有
B．若是z的共轭复数，则恒成立
C．若，则
D．对任意，则恒成立
【答案】BD
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，，则，则，故B正确；
对于C，若，则错误，如，满足
,但，故C错误；
对于D，设，则
，，，由，，得恒成立，故D正确．
故选：BD．

三、填空题
8．若复数和复数满足，则_____．
【答案】
【分析】设，根据复数的运算即可求解.
【详解】设，
且，
则，
又，所以，
也即，则，
因为，
所以


故答案为：.
9．已知，则____．
【答案】5
【分析】根据已知条件假设，结合复数模公式，即可求解
【详解】解：假设，
则，，
∵，
∴①，②，③，
∴③-①-②得，
∴，
∴，
故答案为：5
10．已知复数满足，则复平面内由点形成的区域的面积为______．
【答案】
【详解】复数满足，
则，所以，
所以复平面内由点形成的区域是以为圆心，1为半径的圆及其内部，
该区域的面积为．
故答案为：
11．已知i为虚数单位，复数在复平面内对应的点关于原点对称，且，则_______．
【答案】
【分析】根据找到其在复平面内对应点坐标，再根据复数在复平面内对应的点关于原点对称确定在复平面内对应的点为，从而求出的复数表达形式，根据共轭复数的特点求出.
【详解】在复平面内对应的点坐标为，
复数在复平面内对应的点关于原点对称，
所以在复平面内对应的点为，
所以，
所以，
故答案为：.

四、解答题
12．复数，求实数m的取值范围使得：
(1)z为纯虚数；
(2)z在复平面上对应的点在第四象限．
【答案】(1)
(2)

(1)
，
若z为纯虚数，则，解得：.
(2)
由题意知，，解得：.
13．已知复数均为锐角，且.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)

(1)
因为复数，所以.
所以


因为，所以，解得：.
(2)
因为均为锐角，所以，
所以.
因为为锐角，，所以.
所以


.



题组C 培优拔尖练

一、单选题
1．已知复数z满足，则z的虚部是（    ）
A． B．1 C． D．i
【答案】A
【详解】设，
因为，可得，
则，可得，所以复数的虚部是.
故选：A
2．设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，
所以，
设，，，
则，
，
即，，，
故
.
故选：A.

二、多选题
3．已知复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（    ）
A．点在复平面上的坐标为 B．
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】ABC
【详解】复数在复平面内对应的点为，故A正确；
复数，所以复数，故B正确；
设，则，即，所以，复数在复平面内对应的点在圆上，其圆心为，半径，
表示的是复数和在复平面内对应的两点之间的距离，即.

而的最大值是；的最小值是.所以的最大值为，最小值为，故C正确，D错误．
故选：ABC．

三、填空题
4．已知，则 的最小值是_________．
【答案】1
【详解】解：因为，所以z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为的圆上．
，表示Z到点所对应的点的距离，
，
所以．
故答案为1．
【点睛】方法点睛：本题考查复数模的几何意义，表示复平面上对应的点到原点的距离，表示在复平面上对应的点与对应的点间的距离．因此有表示对应的点为圆心，为半径的圆．
5．若复数满足，则复数的最大值为______.
【答案】
【详解】解：设，（）则由,
得，即．
复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，如图：

表示复数在复平面内对应点到点的距离
所以最大值为．
故答案为：．
6．若，且，则的最小值为___________
【答案】4
【详解】复数z满足，点z表示以原点为圆心、1为半径的圆，则表示z点对应的复数与点(3,4)之间的距离.
原点O到点(3,4)之间的距离d=5，
∴的最小值为5-1=4.
故答案为：4.
7．若且，则最大值是_______________.
【答案】3
【详解】的几何意义为复平面动点到定点距离为1的点的轨迹，可看成圆，表示圆上的点到原点的距离，所以最大值为圆O1到原点距离加上半径1，即 .
故答案为：3.
8．已知为复数，且，则的最大值为____________.
【答案】
【详解】由题意设，则
，，即，
即的模的轨迹可理解为以为圆心，半径为2的圆.
则，可理解为求点到点之间的距离，
数形结合可知，的最大值为4．
故答案为：


四、解答题
9．设复数满足，求满足条件的复数在复平面上对应点所构成的图形面积.
【答案】
【详解】设，则复数在复平面上对应点的坐标为
由，可得
所以，即
所以复数在复平面上对应的点构成的图形为以为圆心，半径为3的圆面，
故其面积
10．已知复数满足，求的最大值与最小值．
【答案】最大值，最小值
【详解】设，因为，所以，
而，
因为，所以，故，
所以的最大值，最小值.