人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第一课时学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第一课时学案及答案，共9页。学案主要包含了学习目标，问题探究1，问题探究2等内容，欢迎下载使用。


【问题探究1】 观察下列两个函数的图象，据此回答下列问题：
(1)这两个函数的图象有何共同特征？
(2)对于上述两个函数， f(1) 与 f(－1) , f(2) 与 f(－2)，f(a) 与 f(－a) 有什么关系？由此可得到什么一般性的结论？
【问题探究2】 观察下列两个函数的图象，据此回答下列问题：
(1)这两个函数的图象有何共同特征？
(2)对于上述两个函数， f(1) 与 f(－1) , f(2) 与 f(－2)，f(a) 与 f(－a) 有什么关系？由此可得到什么一般性的结论？
题型 1函数奇偶性的判断
例1 (1)f(x)＝x3＋x；
(2)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|；
(3)f(x)＝x2＋；
(4)f(x)＝.
题后师说
判断函数奇偶性的3种方法
跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝.
题型 2奇、偶函数的图象及应用
例2 已知函数f(x)为定义在[－3，3]上的偶函数，其部分图象如图所示．
(1)请作出函数f(x)在[0，3]上的图象；
(2)根据函数图象写出函数f(x)的单调区间及最值．
学霸笔记：
利用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题．
跟踪训练2 已知奇函数f(x)定义域为[－5，5]且在[0，5]上的图象如图所示，求使f(x)<0的x的取值范围．
题型 3利用函数的奇偶性求值
例3 (1)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，则f(3)＝( )
A．26 B．18
C．10 D．－26
(2)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________．
一题多变 (1)将本例(2)中的函数改为f(x)＝是奇函数，则a＝________．
(2)将本例(2)中的函数改为函数f(x)＝x2－(2－m)x＋3为偶函数，则m的值是________．
题后师说
1．利用函数奇偶性求值的方法
(1)未知的值不在已知的范围内，可利用函数的奇偶性将未知的值或区间转化为已知的值或区间；
(2)有些函数虽然是非奇非偶函数，但观察表达式可以发现其间存在奇偶性的表达式，所以可用奇函数或偶函数表达出此函数，从而间接地求值．
2．已知函数的奇偶性求参数的2种方法
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x＋2，则f(0)＋f(3)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
(2)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a＋b＝( )
A．1 B．
C．－1 D．3
随堂练习
1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )
2．下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝B．y＝(x＋2)2
C．y＝2x D．y＝|x|
3．如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则2f(－1)＋3f(－2)的值为( )
A．－7 B．7
C．5 D．－5
4．若函数f(x)＝x3－bx2＋ax在[3a，2＋a]上为奇函数，则a＋b＝________．
课堂小结
1.函数的奇偶性
(1)定义域特点：关于原点对称；
(2)图象特点：偶函数关于y轴对称；奇函数关于原点对称；
(3)解析式特点：偶函数满足f(－x)＝f(x)或f(x)－f(－x)＝0，奇函数满足f(－x)＝－f(x)或f(x)＋f(－x)＝0.
2．判断函数奇偶性的方法
(1)定义法；(2)图象法．
3．利用函数奇偶性求值的方法
(1)定义法；(2)特值法．
第1课时 奇偶性的概念
问题探究1 提示：(1)都关于y轴对称．
(2)f(1)＝f(－1)，f(2)＝f(－2)，f(a)＝f(－a)．一般地，若函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，当自变量任取定义域中的一对相反数时，对应的函数值相等．即f(－x)＝f(x)，满足这种性质的函数叫作偶函数．
问题探究2 提示：(1)都关于原点对称．
(2)f(1)＝－f(－1)，f(2)＝－f(－2)，f(a)＝－f(－a)．一般地，若函数y＝f(x)的图象关于原点对称，当自变量任取定义域中的一对相反数时，对应的函数值相反，f(－x)＝－f(x)，满足这种性质的函数叫做奇函数．
例1 解析：(1)函数定义域为R，且f (－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f (x)，所以该函数是奇函数．
(2)函数定义域为R，且f (－x)＝|－x＋2|＋|－x－2|＝|x－2|＋|x＋2|＝f (x)，所以该函数是偶函数．
(3)函数定义域是{x|x≥0}，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数．
(4)要使函数有意义，需满足解得x＝±2，即函数的定义域是{2，－2}，这时f (x)＝0.
所以f (－x)＝f (x)，f (－x)＝－f (x)，因此该函数既是奇函数又是偶函数．
跟踪训练1 解析：(1)函数定义域为R，且f (－x)＝＝＝－f (x)，故该函数是奇函数．
(2)函数定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称，且f (－x)＝＝＝f (x)，故该函数是偶函数．
例2 解析：(1)画图如图：
(2)根据函数图象，f(x)的单调递增区间为[－3，－2]，[0，2]，
f(x)的单调递减区间为(－2，0)，(2，3]，
f(x)的最大值为2，f(x)的最小值为－2.
跟踪训练2 解析：由题可知：函数是[－5，5]上的奇函数，
则函数在[－5，5]上图象如下：
所以f(x)<0的解集为(－3，0)
例3 解析：(1)方法一 由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，得f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx.
令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋8，∵G(－x)＝＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)，
∴G(x)是奇函数，∴G(－3)＝－G(3)，
即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10，
∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26.
方法二 由已知条件，
得
①＋②得f(3)＋f(－3)＝－16，又f(－3)＝10，
∴f(3)＝－26.故选D.
(2)方法一(定义法) 由已知f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
显然x≠0得，x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.(经检验满足题意)
方法二(特值法) 由f(x)为奇函数得
f(－1)＝－f(1)，即＝－，
整理得a＝－1(经检验满足题意)．
答案：(1)D (2)－1
一题多变 解析：(1)∵f(x)＝是奇函数，
∴f(0)＝＝0，
∴a＝0，
检验，当a＝0时，f(－x)＝＝－f(x)，
f(x)＝是奇函数．
(2)方法一 f(－x)＝(－x)2－(2－m)(－x)＋3＝x2＋(2－m)x＋3，由函数y＝f(x)为偶函数，知f(－x)＝f(x)，即x2＋(2－m)x＋3＝x2－(2－m)x＋3，∴2－m＝－(2－m)，∴m＝2.
方法二 由f(－1)＝f(1)得4＋(2－m)＝4－(2－m)，解得m＝2.
答案：(1)0 (2)2
跟踪训练3 解析：(1)因为函数f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x＋2，
所以f(3)＝－f(－3)＝－(－3＋2)＝1.
而f(0)＝0，∴f(0)＋f(3)＝1.故选C.
(2)因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a－1＋2a＝0，解得a＝，
且有－＝0，可得b＝0，因此，a＋b＝.故选B.
答案：(1)C (2)B
[随堂练习]
1．解析：选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；
选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；
选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数．
故选B.
答案：B
2．解析：A：f(－x)＝＝－＝－f(x)且定义域为{x|x≠0}，为奇函数；
B：f(－x)＝(－x＋2)2≠±f(x)，为非奇非偶函数；
C：f(－x)＝－2x＝－f(x)且定义域为R，为奇函数；
D：f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)且定义域为R，为偶函数．
故选D.
答案：D
3．解析：依题意，f(x)是奇函数，
结合图象可知2f(－1)＋3f(－2)＝－2f(1)－3f(2)＝－2×1－3×＝－7.故选A.
答案：A
4．解析：因为函数f(x)＝x3－bx2＋ax在[3a，2＋a]上为奇函数，
所以3a＋2＋a＝0，得a＝－，
又f(－x)＝－f(x)，即(－x)3－b(－x)2－(－x)＝＋bx2＋x，即2bx2＝0恒成立，
所以b＝0，所以a＋b＝－.
答案：－