第05讲 一元二次函数、方程和不等式 章节能力验收测评卷-2023-2024学年高一数学同步学精讲精练（人教A版必修第一册）

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第二章 一元二次函数、方程和不等式 章节验收测评卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）若，，，且，则下列不等式一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】若，，，满足，但，，不成立，A选项错误；，，则有，即，B选项正确；，当时，不成立，C选项错误；当时，，则D选项错误.故选：B2．（2023春·北京大兴·高二校考阶段练习）不等式的解集是（    ）A． B．C．或 D．或【答案】B【详解】因为方程的解为或，所以不等式的解集是.故选：B.3．（2023春·河南信阳·高一校联考期中）设，，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】，因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．故选：B.4．（2023春·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（    ）附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中、分别为左、右盘中物体质量，、分别为左右横梁臂长．A．等于 B．小于 C．大于 D．不确定【答案】C【详解】设天平左臂长，右臂长，且，设天平右盘有克黄金，天平左盘有克黄金，所以，所以，，则．故选：C．5．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（   ）A． B．C． D．【答案】D【详解】由不等式的解集为，知是方程的两实数根，由根与系数的关系，得，解得：，所以不等式可化为，解得：或，故不等式的解集为：.故选：D.6．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为（    ）A．2 B．4 C．8 D．9【答案】C【详解】，而，当且仅当，即取等.故选：C.7．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考学业考试）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】不等式化为，即，当时，不等式化为，得，有无数个整数解，不符合题意；当时，由关于x的不等式只有一个整数解，可知，不等式的解为，由题意，，解得；当时，不等式的解为或，有无数个整数解，不符合题意．综上，实数a的取值范围是.故选：C8．（2023春·云南文山·高一校联考期中）已知不等式的解集为，且对于，不等式恒成立，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由不等式的解集为，可知为方程的两个根，故且，即，则不等式变为，由于，则上式可转化为在恒成立，又，当且仅当时等号成立，故.故选：B.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023春·山西太原·高一校联考阶段练习）下列说法正确的有（    ）．A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BC【详解】A选项，当时，满足，故，故A错误；B选项，若，故，不等式两边同乘以，得到，故B正确；C选项，若，不等式两边同减去得：，C正确；D选项，当时，满足，此时，D错误.故选：BC10．（2023·全国·高一专题练习）已知.若，则（    ）A．的最小值为10 B．的最小值为9C．的最大值为 D．的最小值为【答案】BC【详解】对选项A，B，因为已知，所以，当且仅当，即，取等号，故A错误，B正确.对选项C，D，，即，当且仅当，时等号成立，故C正确，D错误.故选：BC11．（2023·全国·高三专题练习）某企业决定对某产品分两次提价，现有三种提价方案：①第一次提价，第二次提价；②第一次提价，第二次提价；③第一次提价，第二次提价．其中，比较上述三种方案，下列说法中正确的有（    ）A．方案①提价比方案②多 B．方案②提价比方案③多C．方案②提价比方案①多 D．方案①提价比方案③多【答案】BCD【详解】不妨设原价为1，方案1：两次提价后变为，方案2：两次提价后变为，方案3：两次提价后变为，由于，即，，A错，C对．，则，B对．，D对，选BCD．12．（2023秋·山西大同·高一山西省阳高县第一中学校校考期末）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ）A．B．不等式的解集为C．不等式的解集为或D．【答案】AC【详解】因为不等式的解集为或，所以，A正确;方程的两根是，由韦达定理：得：，等价于，所以，B错误；不等式等价于，即，解得：或，C正确；因为，所以，D错误.故选：AC.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023·浙江·校联考模拟预测）不等式的充分不必要条件可以为___________.【答案】（答案不唯一）.【详解】，，故只需写一个满足的答案即可.故答案为：（答案不唯一）14．（2023·全国·高三专题练习）某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h＝______厘米．【答案】【详解】由题意及，可得，即，∴．隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和（万元），当且仅当，即（厘米）时达到最小值．故答案为: .15．（2023·全国·高三专题练习）若，则的最小值为______【答案】/【详解】由，则.因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：.16．（2023·全国·高三专题练习）已知阻值分别为，（，均不为0）的两种电阻，连接成两个不同的电路图，分别如图1、图2所示，它们的总阻值分别记为，．则，的大小关系为______；若，则的最大值为______.  【答案】 1【详解】由题意，得，，由，，得，当且仅当时等号成立,若，则，则当时，取得最大值，且最大值为1.故答案为：；1.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）（1）当时，求不等式的解集.（2）关于实数的不等式的解集是或，求关于的不等式的解集【答案】（1）；（2）【详解】（1）当时, 不等式为，即，故解集为；（2）关于实数的不等式的解集是或，即方程的根为或，由韦达定理可得，得则不等式即为，由于，故不等式的解集为.18．（2023·全国·高一专题练习）已知关于的不等式．(1)若不等式的解集为，求的值；(2)若不等式的解集为，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，为，不满足题意；当时，若的解集为，即的两个解为与，则，解得；（2）当时，为，在上恒成立，满足题意，当时，的解集为，即在上恒成立，则，解得，综上：，故的取值范围.19．（2023春·河北衡水·高一校考开学考试）(1)设全集为 且解集为，求 ；(2)求关于的不等式（其中）的解集.【答案】(1) ；(2)答案见解析.【详解】（1）因为集合B的解集是 ，所以 是方程 的一个根，即 ，代入上方程得： ，，∴，∵∴ ；（2） ， ， ，当 时， ，原不等式的解集为 ；当 时， ，原不等式的解集为 ；当 时， ，原不等式的解集为 ；20．（2023秋·湖南长沙·高一统考期末）如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设．(1)要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？(2)要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？（精确到0.1米）(3)当AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出最小值．【答案】(1)(2)(3)，最小面积48平方米【详解】（1）由题可知，所以，又，所以，，所以，，，解得或，由题意得，所以的长的范围为.（2），当且仅当，即时等号成立，所以当为6米时，用料最省.（3），当且仅当，即时等号成立，所以当为6米时，矩形花坛的面积最小，最小为48平方米.21．（2023秋·河北石家庄·高一统考期末）已知函数（a，b，）有最小值，且的解集为．(1)求函数的解析式；(2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）令，则为方程的两根，则，则由题有，解得，.（2）由（1）得对，，即，，，，令，，则，当且仅当，即时等号成立，故，则.22．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）已知二次函数，不等式的解集为．(1)求函数的解析式；(2)解关于的不等式（其中）．【答案】(1)(2)见解析【详解】（1）由题意知，在中，的解集为的根为．，解得：（2）由题意得，将代入得即．当时，不等式化为：，解集为：，当时，，不等式化为，即的解集为当时，，不等式化为，即，若，即，则不等式化为：，其解集为若，即，则不等式的解集为或，若，即，则不等式的解集为或，综上所述：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或．