第14章 整式的乘法与因式分解章末培优专练 人教版八年级数学上册作业课件

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章末培优专练 素养练1. [利用整体思想分解因式]先阅读材料,再解答下列问题:材料:分解因式(x+y)2+2(x+y)+1.解:令x+y=A,则(x+y)2+2(x+y)+1=A2+2A+1=(A+1)2,故(x+y)2+2(x+y)+1=(x+y+1)2.上述解题过程用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法,请你解答下列问题:(1)分解因式:1+2(x-y)+(x-y)2=　　　　. (2)分解因式:(a+b)(a+b-4)+4.(3)证明:若n为整数,则式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方.1.(1)解:(x-y+1)2(2)解:令a+b=A,则(a+b)(a+b-4)+4=A(A-4)+4=A2-4A+4=(A-2)2,故(a+b)(a+b-4)+4=(a+b-2)2.(3)证明:(n+1)(n+2)(n2+3n)+1=(n2+3n+2)(n2+3n)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2.∵n为整数,∴n2+3n+1也为整数,∴式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方.答案2. [类比探究问题]问题再现:数形结合思想是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来,并且具有可操作性,从而可以帮助我们快速解题.初中数学中的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.例如:利用图形的几何意义证明完全平方公式.证明:将一个边长为a的正方形的边长增加b,形成两个长方形和两个正方形,如图1,这个图形的面积可以表示为(a+b)2或a2+2ab+b2,∴(a+b)2=a2+2ab+b2,这就验证了两数和的完全平方公式.类比解决:(1)请你类比上述方法,利用图形的几何意义证明平方差公式.(要求画出图形并写出推理过程)问题提出:如何利用图形的几何意义证明13+23=32?如图2,A表示1个1×1的正方形,即1×1×1=13;B表示1个2×2的正方形,C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形,因此,B,C,D就可以表示2个2×2的正方形,即2×2×2=23;而A,B,C,D恰好可以拼成1个(1+2)×(1+2)的大正方形,由此可得13+23=(1+2)2=32.尝试解决:(2)请你类比上述推导过程,利用图形的几何意义确定:13+23+33=　　　　.(要求写出结论,画出图形并写出推理过程) 问题拓展:(3)请用上面的表示几何图形面积的方法探究:n为正整数,13+23+33+…+n3=　　　　　.(直接写出结论) 2.解:(1)如图,图1中阴影部分的面积是a2-b2,图2中阴影部分的面积是(a+b)(a-b),∴(a+b)(a-b)=a2-b2,这就验证了平方差公式.(2)62如图3,A表示1个1×1的正方形,即1×1×1=13;B表示1个2×2的正方形,C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形,因此,B,C,D就可以表示2个2×2的正方形,即2×2×2=23;G与H,E与F和I可以表示3个3×3的正方形,即3×3×3=33;而整个图形恰好可以拼成1个(1+2+3)×(1+2+3)的大正方形,由此可得13+23+33=(1+2+3)2=62.答案  中考练1.下列运算正确的是 (　　)A.(-a)2=-a2 B.2a2-a2=2C.a2·a=a3 D.(a-1)2=a2-1答案1.C　(-a)2=a2,故A项运算错误;2a2-a2=a2,故B项运算错误;a2·a=a3,故C项运算正确;(a-1)2=a2-2a+1,故D项运算错误. 答案 3.下列因式分解正确的是 (　　)A.a(a-b)-b(a-b)=(a-b)(a+b)B.a2-9b2=(a-3b)2C.a2+4ab+4b2=(a+2b)2D.a2-ab+a=a(a-b)答案3.C　a(a-b)-b(a-b)=(a-b)2,故A错误;a2-9b2=(a-3b)(a+3b),故B错误;a2+4ab+4b2=(a+2b)2,故C正确;a2-ab+a=a(a-b+1),故D错误.4. 计算:(2a2)3-6a2·a4=　　　　. 答案4.2a6　(2a2)3-6a2·a4=8a6-6a6=2a6.5.分解因式:x3+6x2+9x=　　　　.答案5.x(x+3)2　x3+6x2+9x=x(x2+6x+9)=x(x+3)2.6. 若m+2n=1,则3m2+6mn+6n的值为　　　　.答案6.3　因为m+2n=1,所以3m2+6mn+6n=3m(m+2n)+6n=3m×1+6n=3m+6n=3(m+2n)=3×1=3.7. 设M=x+y,N=x-y,P=xy.若M=1,N=2,则P=　　　　.答案 8. 现有甲、乙、丙三种不同的长方形纸片(边长如图).(1)取甲、乙纸片各1块,其面积和为　　　　; (2)嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形,先取甲纸片1块,再取乙纸片4块,还需取丙纸片　　　　块. 答案8.(1)a2+b2;(2)4　甲纸片、乙纸片、丙纸片的面积分别为a2,b2,ab.(1)甲、乙纸片各1块,其面积和为a2+b2.(2)因为(a+2b)2=a2+4ab+4b2,所以取甲纸片1块,乙纸片4块,丙纸片4块,可以拼成一个边长为a+2b的正方形.9. 已知a2+2b2-1=0,求代数式(a-b)2+b(2a+b)的值.答案9.解:(a-b)2+b(2a+b)=a2-2ab+b2+2ab+b2=a2+2b2.因为a2+2b2-1=0,所以a2+2b2=1,所以原式=1.10. 先化简,再求值:(2x+1)(2x-1)-(2x-3)2,其中x=-1.答案10.解:(2x+1)(2x-1)-(2x-3)2=4x2-1-(4x2-12x+9)=4x2-1-4x2+12x-9=12x-10.因为x=-1,所以原式=12×(-1)-10=-22. 答案