24.1 圆的有关性质 甘肃省九年级数学期末试题选编(含答案)

24.1 圆的有关性质

一、单选题

1．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）小明在半径为5的圆中测量弦的长度，下列测量结果中一定是错误的是（    ）

A．4 B．5 C．10 D．11

2．（2022秋·甘肃平凉·九年级统考期末）如图，在中，，连接AC，CD，则AC与CD的关系是（    ）．

A． B．

C． D．无法比较

3．（2022秋·甘肃武威·九年级统考期末）下列结论中，正确的是（　　）

A．长度相等的两条弧是等弧

B．相等的圆心角所对的弧相等

C．平分弦的直径垂直于弦

D．圆是中心对称图形

4．（2022秋·甘肃金昌·九年级统考期末）如图，是的外接圆，连接、，若，则为（    ）

A． B． C． D．

5．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且CO⊥AB于点O，弦CD与AB相交于点E，连接AD，若∠A=20°，则∠BED的度数为（    ）

A．45° B．55° C．65° D．75°

6．（2022秋·甘肃武威·九年级统考期末）如图，AB是半圆O的直径，AB=4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，D是（靠近C）弧的三等分点，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为（    ）

A． B． C． D．2

7．（2022秋·甘肃武威·九年级统考期末）如图，四边形ABCD为的内接四边形，已知，则的度数为（    ）

A．40° B．50° C．80° D．100°

8．（2022秋·甘肃平凉·九年级统考期末）如图，四边形内接于，在延长线上，若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

9．（2022秋·甘肃嘉峪关·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为(   )

A． B． C． D．

二、填空题

10．（2022秋·甘肃武威·九年级期末）⊙O的半径为13cm，弦ABCD，AB＝10cm， CD＝24cm，则AB与CD之间的距离是        ．

11．（2022秋·甘肃平凉·九年级统考期末）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为      cm．

12．（2022秋·甘肃金昌·九年级统考期末）如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，且OC=5cm，DC=2cm，则AB=       ．

13．（2022秋·甘肃张掖·九年级期末）《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深1寸，锯道尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为       寸.

14．（2022秋·甘肃平凉·九年级统考期末）如图，点A，点B，点C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC．若AB＝BC，∠B＝40°，则∠OCB＝        ．

15．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=125°，则∠C的度数为      ．

16．（2022秋·甘肃陇南·九年级期末）如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为     ．

三、解答题

17．（2022秋·甘肃张掖·九年级期末）已知直线a和直线外的两点A、B，经过A、B作一圆，使它的圆心在直线a上．

18．（2022秋·甘肃嘉峪关·九年级期末）如图所示，在中直径垂直于弦，垂足为，若，．求的半径．

19．（2022秋·甘肃武威·九年级期末）如图所示，在⊙O中直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若BE=2cm，CD=6cm．求⊙O的半径．

20．（2022秋·甘肃张掖·九年级期末）已知：如图，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．求证：AB=CD．

21．（2022秋·甘肃定西·九年级统考期末）已知：的两条弦，相交于点M，且．

(1)如图1，连接.求证：．

(2)如图2.若．在上取一点E，使，交于点F，连接、．判断与是否相等，并说明理由．

22．（2022秋·甘肃金昌·九年级统考期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使，连接BD，ED．

(1)求证：；

(2)若，，⊙O的直径长为 ．

23．（2022秋·甘肃张掖·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．

（1）求证：∠1=∠2；

（2）若，求⊙O的半径的长．

参考答案：

1．D

【分析】根据直径是圆中最长的弦即可求解．

【详解】解：∵半径为5的圆，直径为10，

∴在半径为5的圆中测量弦AB的长度，AB的取值范围是：0<AB≤10，

∴弦AB的长度可以是4，5，10，不可能为11．

故选：D．

【点睛】本题考查了圆的认识，掌握弦与直径的定义是解题的关键．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径．

2．B

【分析】连接AB，BC，根据得，再根据三角形三边关系可得结论．

【详解】解：连接AB，BC，如图，

∵

∴

又

∴

故选：B

【点睛】本题考查了三角形三边关系，弧、弦的关系等知识，熟练掌握上述知识是解答本题的关键．

3．D

【分析】利用等弧的定义、确定圆的条件、圆周角定理及垂径定理的知识分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】A. 在同圆或等圆中，能够重合的两条弧是等弧；故A错误；

B. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故B错误；

C. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；故C错误；

D. 圆是中心对称图形，圆心是圆的对称中心，故D正确；

故选D.

【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理及其推论，中心对称图形等知识，熟练掌握有关性质是解答关键.

4．C

【分析】先根据等腰三角形的性质求得，再根据圆周角定理得到即可求解．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答的关键．

5．C

【分析】利用圆周角定理求出∠D，再利用三角形的外角的性质求出∠BED即可．

【详解】解：∵OC⊥AB，

∴∠COA=90°，

∴∠D=∠COA=45°，

∵∠BED=∠D+∠A，∠A=20°，

∴∠BED=45°+20°=65°，

故选：C．

【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．

6．B

【分析】如图，连接AD，PA，PD，OD．首先证明PA=PB，再根据PD+PB=PD+PA≥AD，求出AD即可解决问题．

【详解】解：如图，连接AD，PA，BD，OD．

∵OC⊥AB，OA=OB，

∴PA=PB，∠COB=90°，

∵D是（靠近C）弧CB的三等分点，

∴∠DOB=×90°=60°，

∵OD=OB，

∴△OBD是等边三角形，

∴∠ABD=60°，

∵AB是直径，且AB=4，

∴∠ADB=90°，

∴∠BAD=30°，BD=2，

∴AD=，

∵PB+PD=PA+PD≥AD，

∴PD+PB≥，

∴PD+PB的最小值为，

故选：B．

【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

7．C

【分析】由圆内接四边形的对角互补可得∠A=40°，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠BOD的度数．

【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠A=180°-∠BCD=180°-140°=40°，

∴∠BOD=2∠A=80°，

故选C．

【点睛】本题考查圆内接四边形的性质和同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，解题的关键是利用圆内接四边形的性质求出∠A的度数．

8．A

【分析】根据圆内接四边形的性质即可解决．

【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O

∴∠ADC +∠B=180°

∵∠ADE+∠ADC=180°

∴∠ADE=∠B=100°

故选：A．

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握此性质是关键．

9．C

【分析】根据平行四边形的性质和圆周角定理可得出答案．

【详解】根据平行四边形的性质可知∠B=∠AOC，

根据圆内接四边形的对角互补可知∠B+∠D=180°，

根据圆周角定理可知∠D=∠AOC，

因此∠B+∠D=∠AOC+∠AOC=180°，

解得：∠AOC=120°，

因此∠ADC=60°．

故选：C．

【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．

10．17cm或7cm

【分析】首先作AB、CD的垂线EF，然后根据垂径定理求得CF＝DF=12cm，AE=BE＝5cm，在直角三角形OEA和直角三角形OCF中，利用勾股定理求得OE、OF的长度；最后根据图示的两种情况计算EF的长度即可．

【详解】解：有两种情况．如图．过O作AB、CD的垂线OE，OF，交AB于点E，交CD于点F．

∴EF就是AB、CD间的距离．

∵AB＝10cm，CD＝24cm，

根据垂径定理，得CF＝DF=12cm，AE=BE＝5cm，

∵AO=CO＝13cm，

∴在直角三角形OEA和直角三角形OCF中，

∴OE＝cm，OF＝cm，

∴①EF＝12-5＝7cm②EF＝12+5＝17cm．

故答案是：17cm或7cm．

【点睛】题目主要考查垂径定理及勾股定理解三角形，解题关键是要进行分类讨论．

11．

【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．

【详解】解：作OD⊥AB于D，连接OA．

根据题意得：OD=OA=1cm，

再根据勾股定理得：AD=cm，

根据垂径定理得：AB=2cm．

故答案为：．

【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理以及垂径定理．注意由题目中的折叠即可发现OD=OA=1．

12．8

【分析】连接OA，根据垂径定理得到∠ODA＝90°，AD＝BD，根据勾股定理求出AD，计算即可．

【详解】解：连接OA，

∵半径OC⊥AB，

∴∠ODA＝90°，AD＝BD，

由题意得，OD＝OC−CD＝3，

在Rt△OAD中，AD＝＝4，

∴AB＝2AD＝8，

故答案为：8．

【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．

13．26

【分析】如图，设的半径为，过O作OD⊥AB于D，延长OD与交于E，连接AO，由垂径定理可得寸，在Rt△AOD中，利用勾股定理建立方程可求出，从而得到直径.

【详解】如图，设的半径为，过O作OD⊥AB于D，延长OD与交于E，连接AO，

在Rt△AOD中，寸， ，，

由勾股定理可得，即，

解得，

∴该圆材的直径为26寸，

故答案为26.

【点睛】本题考查圆的计算，根据垂径定理作出辅助线，再由勾股定理建立方程是本题的关键.

14．20°

【分析】连接AO，BO，然后根据等弦对等圆心角得到∠BOC=∠AOB，再根据三角形内角和得到∠OBA=∠OBC，再由∠ABC=40°，OB=OC，即可得到结果．

【详解】解：如图，连接AO，BO，

∴OA=OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，∠OAB=∠OBA，

∵AB=BC，

∴∠BOC=∠AOB，

∴，

∵∠ABC=40°，OB=OC，

∴∠OCB=∠OBC=20°．

故答案为：20°．

【点睛】本题主要考查圆内相关概念和定理，三角形内角和定理等内容．掌握圆内相关概念是解题基础．

15．55°/55度

【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°，再求出答案即可．

【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠A+∠C=180°，

∵∠A=125°，

∴∠C=180°-125°=55°，

故答案为：55°．

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．

16．60°

【详解】解：∵BD是⊙O的直径，

∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角），

∵∠CBD=30°，

∴∠D=60°（直角三角形的两个锐角互余），

∴∠A=∠D=60°（同弧所对的圆周角相等）；

故答案是：60°

17．见详解

【详解】解：连接AB，作出AB的垂直平分线交直线a于O点，以O为圆心，OA为半径作圆．

如图所示：

18．的半径为 ．

【分析】连接，设半径为，由垂径定理求得的长，在中，根据勾股定理列出方程，解方程求得即可

【详解】解 连接，设半径为，

，，

，

，

，

在中，，

解得： ，

即的半径为 ．

【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．

19． cm

【分析】连接OD，设半径为r，由垂径定理求得DE的长，在RT△OED中，根据勾股定理列出方程，解方程求得r即可.

【详解】解: 连接OD，设半径为r，

∵AB⊥CD，CD=6cm，

∴CE=DE=3cm，

∵BE=2cm，

∴OE=r-2，

∴在Rt△OED中，r²=3²+(r-2)²，

解得：r= ，

即⊙O的半径为 cm．

【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．

20．见解析

【分析】根据∠ABD=∠CDB，可知，则有，由此可得，进而可证AB=CD．

【详解】证明：∵∠ABD=∠CDB，

∴，

∴，

∴，

∴AB=CD．

【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，即在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，能够熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系是解决本题的关键．

21．(1)证明见解析

(2)与相等．理由见解析

【分析】（1）根据得，即，，得，即可得；

（2）连接，根据得，根据得，即，根据，即可得．

【详解】（1）证明：，

即，

，

，

．

（2）与相等．理由如下：

解：连接，如图，

，

，

，

，

，

，

．

【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握圆周角定理，垂经定理，角、弧、弦的关系．

22．(1)见解析

(2)10

【分析】（1）根据同弧所对的弦相等可得AD=CD，再由圆内接四边形的性质得到∠A=∠DCE，证明△ABD≌△CED，根据全等三角形的性质，即可证明结论；

（2）连接OA，OD，根据圆周角定理，可得∠AOD=60°，根据等边三角形的判定定理可得△AOD是等边三角形，故半径为5，即可求得直径．

【详解】（1）证明：∵D是弧AC的中点，

∴，

∴AD=CD，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠A=∠DCE，

在△ABD和△CED中，

，

∴△ABD≌△CED（SAS），

∴BD=ED．

（2）解：连接OA，OD，如图，

∵D是弧AC的中点，

∴，

∴∠ABD=∠CBD=，

∴∠AOD=2∠ABD=2×30°=60°，

∵OA=OD，

∴△AOD是等边三角形，

∴半径OA= AD=5，

∴直径长=10．

故答案为：10．

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、同弧所对的弦相等、圆周角定理、等边三角形的判定与性质．

23．（1）见解析；（2）

【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．

（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．

【详解】（1）证明：

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，

=．

∴∠A=∠2．

又∵OA=OC，

∴∠1=∠A．

∴∠1＝∠2．

（2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6

∴∠CEO＝90º，CE＝ED＝3．

设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2

∵在Rt△OEC中，

解得：

∴⊙O的半径是．

【点睛】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质，关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行推理证明和计算．