选择性必修 第二册5.2 导数的运算随堂练习题

这是一份选择性必修 第二册5.2 导数的运算随堂练习题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组·基础自测
一、选择题
1．下列结论不正确的是( D )
A．若y＝0，则y′＝0
B．若y＝5x，则y′＝5
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2
D．若，则
[解析] 当时，＝(eq \r(x))′＝eq \f(1,2\r(x))＝.D不正确．故应选D.
2．若y＝cseq \f(2π,3)，则y′＝( C )
A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2)
C．0 D．eq \f(1,2)
[解析] 常数函数的导数为0.
3．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s＝eq \r(5,t)，则质点在t＝4时的速度是( B )
A.eq \f(1,2\r(5,23)) B．eq \f(1,10\r(5,23))
C.eq \f(5,2\r(5,23)) D．eq \f(10,\r(5,23))
[解析]
4．曲线f(x)＝eq \f(1,x)在点P处的切线的倾斜角为eq \f(3,4)π，则点P的坐标为( D )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)) D．(1,1)和(－1，－1)
[解析] 切线的斜率k＝tan eq \f(3,4)π＝－1，
设切点P的坐标为(x0，y0)，则f ′(x0)＝－1.
又∵f ′(x)＝－eq \f(1,x2)，∴－eq \f(1,x\\al(2,0))＝－1，解得x0＝1或－1，
∴切点P的坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选D.
5．设函数f(x)＝－eq \f(1,3)x3＋3，则曲线y＝f(x)在点(3，－6)处的切线方程为( D )
A．y＝9x＋21 B．y＝－9x＋19
C．y＝9x＋19 D．y＝－9x＋21
[解析] 因为函数f(x)＝－eq \f(1,3)x3＋3，所以f ′(x)＝－x2，所以f ′(3)＝－9，所以曲线y＝f(x)在点(3，－6)处的切线方程为y＋6＝－9(x－3)，即y＝－9x＋21，故选D.
二、填空题
6．函数f(x)＝eq \r(5,x3)，则f ′(x)＝ ，f ′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,32)))＝ eq \f(12,5) .
[解析] 因为f(x)＝，
所以f ′(x)＝.
＝eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－2＝eq \f(12,5).
7．曲线y＝cs x在x＝eq \f(π,2)处的切线方程为 x＋y－eq \f(π,2)＝0 .
[解析] 因为cseq \f(π,2)＝0，即求曲线y＝cs x，在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))处的切线方程，
y′＝－sin x，当x＝eq \f(π,2)时，y′＝－1.
所以切线方程为y＝－1·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))，
即x＋y－eq \f(π,2)＝0.
8．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为_(1，e)__，切线的斜率为_e__.
[解析] 设切点的坐标为(x0，y0)．由y ′＝ex，得.过点(x0，y0)的曲线的切线方程为y－(x－x0)，此直线过原点，所以0－(0－x0)，解得x0＝1.所以切点的坐标为(1，e)，切线的斜率为e.
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝eq \r(5,x3)；
(3)y＝(1－eq \r(x))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,\r(x))))＋eq \r(x)；
[解析]
(2)y ′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x\f(3,5)))′＝eq \f(3,5)x－eq \f(2,5).
(3)y＝eq \f(1－x,\r(x))＋eq \r(x)＝eq \f(1,\r(x))，
(4)y＝x3－1＋1＝x3，
∴y ′＝3x2.
10．已知点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，a))在曲线y＝cs x上，直线l是以点P为切点的切线．
(1)求a的值；
(2)求过点P与直线l垂直的直线方程．
[解析] (1)因为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，a))在曲线y＝cs x上，所以a＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2).
(2)因为y′＝－sin x，
所以＝－sineq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2).
又因为所求直线与直线l垂直，
所以所求直线的斜率为－eq \f(1,kl)＝eq \f(2\r(3),3)，
所以所求直线方程为y－eq \f(1,2)＝eq \f(2\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，
即y＝eq \f(2\r(3),3)x－eq \f(2\r(3)π,9)＋eq \f(1,2).
B组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)下列各式正确的是( BC )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,3)))′＝cseq \f(π,3) B．(cs x)′＝－sin x
C．(eq \r(x))′＝eq \f(1,2\r(x)) D．(lgax)′＝eq \f(ln a,x)
[解析] 对于A，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,3)))′＝0，A错误，B显然正确；对于C，(eq \r(x))′＝＝eq \f(1,2\r(x))，C正确；对于D，(lgax)′＝eq \f(1,xln a)，D错误．故选BC.
2．(多选题)函数y＝eq \f(1,x)在点P处的切线斜率为－4，则P的坐标为( AC )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－2)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))
[解析] ∵y＝eq \f(1,x)，
∴y′＝－eq \f(1,x2)，
∵曲线y＝eq \f(1,x)在点P的切线的斜率为－4，
∴－eq \f(1,x2)＝－4，
∴x＝±eq \f(1,2)，
∴y＝±2.
即点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－2))，故选AC.
3．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( A )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)) B．[0，π)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))
[解析] 因为y′＝cs x，而cs x∈[－1,1]．所以直线l的斜率的范围是[－1,1]，所以直线l倾斜角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，π)).
二、填空题
4．若曲线y＝ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－ln 2)) .
[解析] 由题意得y′＝eq \f(1,x)，
直线2x－y＋1＝0的斜率为2.
设P(m，n)，
则eq \f(1,m)＝2，解得m＝eq \f(1,2)，n＝－ln 2，
所以点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－ln 2)).
5．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝，f2(x)＝，…，fn＋1(x)＝，n∈N，则f2 023(x)等于 －cs x .
[解析] 因为f0(x)＝sin x，
所以4为最小正周期，
所以f2 023(x)＝f3(x)＝－cs x.
三、解答题
6．若曲线处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．
[解析]
令y＝0得x＝3a.
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝eq \f(1,2)×3a×＝18，
∴a＝64.
C组·探索创新
点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
[解析] 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，所以＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为eq \f(\r(2),2).