高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算课堂检测

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算课堂检测，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组·基础自测
一、选择题
1．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为( D )
A．ab B．－a(a－b)
C．0 D．a－b
[解析] ∵f(x)＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab
∴f′(x)＝2x－(a＋b)，
∴f′(a)＝2a－(a＋b)＝a－b，故应选D.
2．下列求导运算正确的是( C )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x＋\f(3,x)))′＝eq \f(1,x)＋eq \f(3,x2)
B．(x2ex)′＝2xex
C．(3xcs 2x)′＝3x(ln 3·cs 2x－2sin 2x)
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln \f(1,2)＋lg2x))′＝2＋eq \f(1,1－ln 2)
[解析] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x＋\f(3,x)))′＝(ln x)′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,x)))′＝eq \f(1,x)－eq \f(3,x2)，A错误；
(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex，B错误；
(3xcs 2x)′＝(3x)′cs 2x＋3x(cs 2x)′＝3x·ln 3·cs 2x－2·3x·sin 2x＝3x(ln 3·cs 2x－2·sin 2x)，C正确；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln\f(1,2)＋lg2x))′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln\f(1,2)))′＋(lg2x)′＝0＋eq \f(1,xln 2)＝eq \f(1,xln 2)，D错误．
3．已知f(x)＝x2－xf ′(0)－1，则f(2 023)的值为( D )
A．2 020×2 022 B．2 021×2 022
C．2 021×2 023 D．2 022×2 024
[解析] f ′(x)＝2x－f ′(0)，
则f ′(0)＝－f ′(0)，则f ′(0)＝0，
∴f(x)＝x2－1，
∴f(2 023)＝2 0232－1＝2 022×2 024.
故选D.
4．函数y＝sin2x的图象在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(1,4)))处的切线的斜率是( D )
A.eq \r(3) B．eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),2)
[解析] y′＝2sin xcs x，当x＝eq \f(π,6)时，y′＝eq \f(\r(3),2)，故函数在点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(1,4)))处的切线的斜率为eq \f(\r(3),2).
5．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( B )
A．－1 B．0
C．2 D．4
[解析] 由已知得：3k＋2＝1，∴k＝－eq \f(1,3)，又g(x)＝xf(x)，f′(3)＝－eq \f(1,3)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝0.
二、填空题
6．已知f(x)＝eq \f(1,3)x3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝_1__.
[解析] 根据题意，f(x)＝eq \f(1,3)x3＋3xf ′(0)，
则其导数f ′(x)＝x2＋3f ′(0)，
令x＝0可得： f ′(0)＝3f ′(0)，
解可得f ′(0)＝0，
则f ′(x)＝x2，
则有f ′(1)＝1.
故答案为1.
7．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝_2__.
[解析] 令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f ′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f ′(0)＝ae0＝a，故a＝2.
8．若函数f(x)＝eax＋ln(x＋1), f ′(0)＝4，则a＝_3__.
[解析] 由f(x)＝eax＋ln(x＋1)，
得f ′(x)＝aeax＋eq \f(1,x＋1)，
∵f ′(0)＝4，∴f ′(0)＝a＋1＝4，
∴a＝3.
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝xex；
(2)y＝eq \f(2x,x2＋1)；
(3)y＝sin4eq \f(x,4)＋cs4eq \f(x,4)；
(4)y＝eq \f(1＋\r(x),1－\r(x))＋eq \f(1－\r(x),1＋\r(x)) .
[解析] (1)y′＝x′·ex＋x·(ex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.
(2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x,x2＋1)))′
＝eq \f(2x′x2＋1－2xx2＋1′,x2＋12)
＝eq \f(2x2＋1－4x2,x2＋12)＝eq \f(2－2x2,x2＋12).
(3)∵y＝sin4eq \f(x,4)＋cs4eq \f(x,4)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(x,4)＋cs2\f(x,4)))2－2sin2eq \f(x,4)cs2eq \f(x,4)
＝1－eq \f(1,2)sin2eq \f(x,2)＝1－eq \f(1,2)·eq \f(1－cs x,2)＝eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)cs x，
∴y′＝－eq \f(1,4)sin x.
(4)∵y＝eq \f(1＋\r(x),1－\r(x))＋eq \f(1－\r(x),1＋\r(x))＝eq \f(1＋\r(x)2,1－x)＋eq \f(1－\r(x)2,1－x)
＝eq \f(2＋2x,1－x)＝eq \f(4,1－x)－2，
∴y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,1－x)－2))′＝eq \f(－41－x′,1－x2)＝eq \f(4,1－x2).
10．曲线y＝e2xcs 3x在(0,1)处的切线与直线l平行且与l的距离为eq \r(5)，求l的方程．
[解析] 由题意知，
y′＝(e2x)′cs 3x＋e2x(cs 3x)′
＝2e2xcs 3x＋3(－sin 3x)·e2x
＝2e2xcs 3x－3e2x sin 3x，
∴曲线在(0,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝0＝2.
∴该切线方程为y－1＝2x⇒y＝2x＋1.
设l的方程为y＝2x＋m，
则d＝eq \f(|m－1|,\r(5))＝eq \r(5).
解得m＝－4或m＝6.
当m＝－4时，l的方程为y＝2x－4；
当m＝6时，l的方程为y＝2x＋6.
综上，可知l的方程为y＝2x－4或y＝2x＋6.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知f(x)＝eq \f(1,4)x2＋cs x，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′(x)的图象是( A )
[解析] 函数f(x)＝eq \f(1,4)x2＋cs x，
f ′(x)＝eq \f(x,2)－sin x，f ′(－x)＝eq \f(－x,2)－sin(－x)＝－f ′(x)，
所以f ′(x)为奇函数，排除BD，
当x＝eq \f(π,6)时，f ′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝eq \f(π,12)－eq \f(1,2)<0，排除C，故选A.
2．(多选题)下列曲线与直线y＝2x相切的有( ABD )
A．曲线f(x)＝2ex－2
B．曲线f(x)＝2sin x
C．曲线f(x)＝3x＋eq \f(1,x)
D．曲线f(x)＝x3－x－2
[解析] 若f(x)＝2ex－2，则由f ′(x)＝2ex＝2，得x＝0，点(0,0)在直线y＝2x上，则直线y＝2x与曲线f(x)＝2ex－2相切；若f(x)＝2sin x，则由f ′(x)＝2cs x＝2，得x＝2kπ(k∈Z)，且f(2kπ)＝0，则直线y＝2x与曲线f(x)＝2sin x相切；若f(x)＝3x＋eq \f(1,x)，则由f ′(x)＝3－eq \f(1,x2)＝2，得x＝±1，因为(1,4)，(－1，－4)都不在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线f(x)＝3x＋eq \f(1,x)不相切；若f(x)＝x3－x－2，则由f ′(x)＝3x2－1＝2，得x＝±1，其中(－1，－2)在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线f(x)＝x3－x－2相切，故选ABD.
3．(多选题)已知函数f(x)＝x2＋f(0)·x－f ′(0)·cs x＋2，其导函数为f ′(x)，则( BC )
A．f(0)＝－1 B．f ′(0)＝1
C．f(0)＝1 D．f ′(0)＝－1
[解析] ∵f(x)＝x2＋f(0)·x－f ′(0)·cs x＋2，∴f(0)＝－f ′(0)＋2，∵f ′(x)＝2x＋f(0)＋f ′(0)sin x，∴f ′(0)＝f(0)，∴f ′(0)＝f(0)＝1.故选BC.
二、填空题
4．曲线y＝x(x＋1)(2－x)有两条平行于y＝x的切线，则两切线之间的距离为 eq \f(16\r(2),27) .
[解析] y＝x(x＋1)(2－x)＝－x3＋x2＋2x，
y′＝－3x2＋2x＋2，令－3x2＋2x＋2＝1，
得x1＝1或x2＝－eq \f(1,3).
∴两个切点分别为(1,2)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，－\f(14,27))).
切线方程为x－y＋1＝0和x－y－eq \f(5,27)＝0.
∴d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1＋\f(5,27))),\r(2))＝eq \f(16\r(2),27).
5．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f ′(x)＝ 2x－2－eq \f(4,x) ，f ′(x)>0的解集为_{x|x>2}__.
[解析] 由f(x)＝x2－2x－4ln x，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝2x－2－eq \f(4,x)＝eq \f(2x2－2x－4,x)＝eq \f(2x＋1x－2,x)>0，解得x>2，故f ′(x)>0的解集为{x|x>2}．
三、解答题
6．已知f(x)＝eq \f(1,3)x3＋bx2＋cx(b，c∈R)，f′(1)＝0，x∈[－1,3]时，曲线y＝f(x)的切线斜率的最小值为－1，求b，c的值．
[解析] f′(x)＝x2＋2bx＋c＝(x＋b)2＋c－b2，
且f′(1)＝1＋2b＋c＝0.①
(1)若－b≤－1，
即b≥1，则f′(x)在[－1,3]上是增函数，
所以f′(x)min＝f′(－1)＝－1，
即1－2b＋c＝－1.②
由①②解得b＝eq \f(1,4)，不满足b≥1，故舍去．
(2)若－1<－b<3，即－3则f′(x)min＝f′(－b)＝－1，
即b2－2b2＋c＝－1.③
由①③解得b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1.
(3)若－b≥3，即b≤－3，则f′(x)在[－1,3]上是减函数，
所以f′(x)min＝f′(3)＝－1，
即9＋6b＋c＝－1.④
由①④解得b＝－eq \f(9,4)，不满足b≤－3，故舍去．
综上可知，b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1.
C组·探索创新
已知a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f ′(x)，且f ′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是eq \f(3,2)，求切点的横坐标x0.
[解析] 易得f ′(x)＝ex－ae－x，x∈R.
因为f ′(x)为奇函数，
所以f ′(x)＋f ′(－x)＝0对任意x∈R恒成立，
即(1－a)(ex＋e－x)＝0对任意x∈R恒成立，所以a＝1，
所以f(x)＝ex＋e－x，f ′(x)＝ex－e－x.
由题可得＝eq \f(3,2)，令＝t(t>0)，则t－eq \f(1,t)＝eq \f(3,2)，
解得t＝2或t＝－eq \f(1,2)(舍去)，
所以＝2，所以x0＝ln 2.