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选择性必修 第二册5.2 导数的运算课后测评
展开A级——基础过关练
1.已知曲线y=x3在点P处的切线斜率为k,则当k=3时的点P坐标为( )
A.(-2,-8) B.(-1,-1)或(1,1)
C.(2,8) D. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),-\f(1,8)))
【答案】B
2.(多选)设b为实数,则直线y=2x+b能作为下列函数图象的切线的有( )
A.f(x)= eq \f(1,x) B.f(x)=x4
C.f(x)=ex D.f(x)=sin x
【答案】BC 【解析】对于A,f′(x)=- eq \f(1,x2)<0,故无论x取何值,f′(x)不可能等于2,故A错误;对于B,f′(x)=4x3,令f′(x)=4x3=2,解得x= eq \r(3,\f(1,2)),所以直线y=2x+b能作为该函数图象的切线;对于C,f′(x)=ex,令ex=2,解得x=ln 2,所以直线y=2x+b能作为该函数图象的切线;对于D,f′(x)=cs x∈[-1,1],故无论x取何值,f′(x)不可能等于2,故D错误.故选BC.
3.若函数y=10x,则y′|x=1=( )
A. eq \f(1,10)B.10C.10ln 10 D. eq \f(1,10ln 10)
【答案】C 【解析】∵y′=10x ln 10,∴y′|x=1=10ln 10.故选C.
4.函数f(x)= eq \r(x\r(x))的导数是( )
A.x eq \f(3,2)B.x eq \f(3,4)C. eq \f(3,2)x eq \f(3,2)D. eq \f(3,4)x- eq \f(1,4)
【答案】D 【解析】先将f(x)变形为y=xα的形式,再求导,即f(x)= eq \r(x\r(x))= eq \r(x\s\up6(\f(3,2)))= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x\s\up6(\f(3,2)))) eq \s\up6(\f(1,2))=x eq \s\up6(\f(3,4)),故f′(x)= eq \f(3,4)x- eq \f(1,4).
5.(2022年湘潭期末)已知函数f(x)=x5的导函数为y=f′(x),则f′(-1)=( )
A.-1 B.1 C.5 D.-5
【答案】C 【解析】∵f′(x)=5x4,∴f′(-1)=5.故选C.
6.(多选)下列求导正确的是( )
A.(x8)′=8x7B.(4x)′=4x ln 4
C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,2)))))′=sin xD.(e2)′=2e
【答案】AB 【解析】C项中,sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,2)))=cs x,∴(cs x)′=-sin x;D项中,(e2)′=0.
7.(2022年辽宁期末)曲线y=ln x在点(1,0)处的切线方程为__________.
【答案】y=x-1 【解析】y′= eq \f(1,x),当x=1时,y′=1,所以曲线y=ln x在点(1,0)处的切线方程为y=x-1.
8.直线y= eq \f(1,2)x+b是曲线f(x)=ln x(x>0)的一条切线,则实数b=________.
【答案】ln 2-1 【解析】由切线方程知切线斜率是 eq \f(1,2),即y′= eq \f(1,x)= eq \f(1,2),解得x=2.因为切点在y=ln x上,所以切点为(2,ln 2).因为切点也在切线上,所以将点(2,ln 2)代入切线方程,得b=ln 2-1.
9.已知函数f(x)=lgax(a>0且a≠1)在x=2处的导数为 eq \f(1,2ln 2),求底数a的值.
解:f′(x)=(lgax)′= eq \f(1,x ln a).
由题得f′(2)= eq \f(1,2ln a)= eq \f(1,2ln 2),
所以ln a=ln 2,得a=2.
10.求曲线y=sin x在点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(1,2)))处的切线方程.
解:y=sin x的导函数为y′=cs x.
当x= eq \f(π,6)时,y′=cs eq \f(π,6)= eq \f(\r(3),2),
即y=sin x在点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(1,2)))处的切线斜率为 eq \f(\r(3),2),所以曲线y=sin x在点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(1,2)))处的切线方程为
y- eq \f(1,2)= eq \f(\r(3),2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,6))),即 eq \r(3)x-2y+1- eq \f(\r(3)π,6)=0.
B级——能力提升练
11.曲线y= eq \r(3,x2)在点(1,1)处的切线方程为( )
A.3x-2y-1=0 B.2x-3y+1=0
C.2x+3y-5=0 D.x+y-2=0
【答案】B 【解析】y= eq \r(3,x2)=x eq \s\up6(\f(2,3)),则y′= eq \f(2,3)x- eq \f(1,3),y′ eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=1))= eq \f(2,3),所以所求切线方程为y-1= eq \f(2,3)(x-1),即2x-3y+1=0.
12.(多选)(2022年南昌期末改编)已知函数f(x) 及其导数f′(x),若存在x0,使得f(x0)=f′(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列函数中,有“巧值点”的是( )
A.f(x)=x2B.f(x)=cs x
C.f(x)=ln xD.f(x)= eq \f(1,x)
【答案】ABCD 【解析】对于A,f(x)=x2,f′(x)=2x,由x2=2x,解得x=0或x=2,因此此函数有“巧值点”;对于B,f(x)=cs x,则f′(x)=-sin x,令-sin x=cs x,则sin x+cs x=0⇒ eq \r(2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,4)))=0⇒x+ eq \f(π,4)=kπ⇒x=kπ- eq \f(π,4),k∈Z,因此此函数有“巧值点”;对于C,f(x)=ln x,f′(x)= eq \f(1,x),由ln x= eq \f(1,x),如图,分别画出y=ln x,y= eq \f(1,x)(x>0)的图象,由图象可知,两函数图象有交点,因此此函数有“巧值点”;对于D,f(x)= eq \f(1,x),f′(x)=- eq \f(1,x2),由 eq \f(1,x)=- eq \f(1,x2),解得x=-1,因此此函数有“巧值点”.故选ABCD.
13.已知f(x)=x2,g(x)=ln x,若f′(x)-g′(x)=1,则x=________.
【答案】1 【解析】因为f(x)=x2,g(x)=ln x,所以f′(x)=2x,g′(x)= eq \f(1,x)且x>0,f′(x)-g′(x)=2x- eq \f(1,x)=1,即2x2-x-1=0,解得x=1或x=- eq \f(1,2)(舍去).
14.已知P为曲线y=ln x上的一动点,Q为直线y=x+1上的一动点,则当P的坐标为__________时,PQ最小,此时最小值为________.
【答案】(1,0) eq \r(2) 【解析】如图所示,当直线l与曲线y=ln x相切且与直线y=x+1平行时,切点到直线y=x+1的距离即为PQ的最小值.令y′= eq \f(1,x)=1,解得x=1,∴P(1,0),∴|PQ|min= eq \f(|1-0+1|,\r(2))= eq \r(2).
15.已知函数f(x)=xa(a为常数且a>0)的图象在x=1处的切线为l,若l与两坐标轴围成的三角形面积为 eq \f(1,4),求a的值.
解:由f(x)=xa,可得f′(x)=axa-1,
∴f′(1)=a.
又∵f(1)=1,∴切线l的方程为y-1=a(x-1),
∴l与两坐标轴的交点分别为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(1,a),0)),(0,1-a),
∴l与两坐标轴围成的三角形的面积为
S= eq \f(1,2) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1-\f(1,a)))·|1-a|= eq \f(1,2) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2-a-\f(1,a))).
由S= eq \f(1,4),得2-a- eq \f(1,a)=± eq \f(1,2),解得a=2或a= eq \f(1,2).
高中人教A版 (2019)5.2 导数的运算同步测试题: 这是一份高中人教A版 (2019)5.2 导数的运算同步测试题,共4页。试卷主要包含了函数f=sin2x的导数是,已知函数y=cs ,则y′=,求下列函数的导数等内容,欢迎下载使用。
数学人教A版 (2019)5.2 导数的运算课后作业题: 这是一份数学人教A版 (2019)5.2 导数的运算课后作业题,共4页。试卷主要包含了函数f=2在x=1处的导数等于,下列求导运算正确的是等内容,欢迎下载使用。
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