高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.1 数列的概念第1课时习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.1 数列的概念第1课时习题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·基础自测
一、选择题
1．下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数；
②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；
③数列的项数是无限的；
④数列通项的表示式是唯一的．
其中正确的是( A )
A．①② B．①②③
C．②③ D．①②③④
[解析] 数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不唯一．例如数列1,0，－1，0,1,0，－1,0，…的通项可以是an＝sineq \f(nπ,2)，也可以是an＝cseq \f(n＋3π,2)等等．
2．已知数列{an}的通项公式an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3n－1n为奇数，,2n－2n为偶数，))则a2a3的值是( D )
A．70 B．28
C．20 D．16
[解析] a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3－1＝8，a2a3＝16.故选D.
3．2n是数列1,2,4，…，2n，…的第_____项( B )
A．n B．n＋1
C．n－1 D．n＋2
[解析] 数列第1项为20，第2项为21，则2n为n＋1项．
4．数列1，eq \f(1,2)，eq \f(2,1)，eq \f(1,3)，eq \f(2,2)，eq \f(3,1)，eq \f(1,4)，eq \f(2,3)，eq \f(3,2)，eq \f(4,1)，…，则eq \f(4,5)是该数列的第_____项( D )
A．9 B．10
C．31 D．32
[解析] 观察可得出，数列的特性：根据分子分母的和以及分子由小到大排列．
分子分母和为2的有1项，和为3的有2项，和为4的有3项，…，和为n的有n－1项．
eq \f(4,5)的分子分母之和为9，且为和为9中的第4项，
又1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋4＝32，所以eq \f(4,5)是数列中的第32项．
故选D.
5．已知数列{an}的通项公式是an＝eq \f(2n,n＋1)，那么这个数列是( A )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
[解析] an＝eq \f(2n,n＋1)＝2－eq \f(2,n＋1)单调递增．故选A．
6．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是( A )
A．第5项 B．第6项
C．第4项或第5项 D．第5项或第6项
[解析] an＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(21,4)))2＋eq \f(441,8)，因为n∈N*,5二、填空题
7．观察数列1，ln 2，sin 3,4，ln 5，sin 6,7，ln 8，sin 9，…，则该数列的第11项等于_ln_11__.
[解析] 由数列得出规律，该数列各项里面的数字是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，依次出现常数，对数，正弦的形式，由11＝3×3＋2，所以该数列的第11项为ln 11.
8．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(n＋1,3n－16)(n∈N＋)，则数列{an}的最大项是第_6__项．
[解析] an＝eq \f(n＋1,3n－16)＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(19,3n－16)))，
当n＞5时，an＞0，且单调递减；当n≤5时，an＜0，且单调递减，
∴当n＝6时，an最大．
三、解答题
9．写出下列数列的一个通项公式．
(1)－eq \f(1,1＋1)，eq \f(1,4＋1)，－eq \f(1,9＋1)，eq \f(1,16＋1)，…；
(2)2,3,5,9,17,33，…；
(3)eq \f(1,2)，eq \f(2,5)，eq \f(3,10)，eq \f(4,17)，eq \f(5,26)，…；
(4)1，eq \f(4,3)，2，eq \f(16,5)，…；
(5)－eq \f(1,3)，eq \f(1,8)，－eq \f(1,15)，eq \f(1,24)，…；
(6)2,6,12,20,30，….
[解析] (1)符号规律(－1)n，分子都是1，分母是n2＋1，∴an＝(－1)n·eq \f(1,n2＋1).
(2)a1＝2＝1＋1，a2＝3＝2＋1，a3＝5＝22＋1，
a4＝9＝23＋1，a5＝17＝24＋1，a6＝33＝25＋1，
∴an＝2n－1＋1.
(3)a1＝eq \f(1,2)＝eq \f(1,11＋1)，a2＝eq \f(2,5)＝eq \f(2,22＋1)，a3＝eq \f(3,10)＝eq \f(3,32＋1)，a4＝eq \f(4,17)＝eq \f(4,42＋1)，…，
∴an＝eq \f(n,n2＋1).
(4)a1＝1＝eq \f(2,2)，a2＝eq \f(4,3)，a3＝2＝eq \f(8,4)，a4＝eq \f(16,5)，…，
∴an＝eq \f(2n,n＋1).
(5)a1＝－eq \f(1,3)＝－eq \f(1,1×3)，a2＝eq \f(1,8)＝eq \f(1,2×4)，a3＝－eq \f(1,15)＝－eq \f(1,3×5)，a4＝eq \f(1,24)＝eq \f(1,4×6)，
∴an＝(－1)n·eq \f(1,nn＋2).
(6)a1＝2＝1×2，a2＝6＝2×3，a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，a5＝30＝5×6，
∴an＝n(n＋1)．
10．已知数列{an}满足an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n－1，n为奇数，,n，n为偶数，))试求a1＋a100和a1－a2＋a3－a4＋…＋a99－a100的值．
[解析] ∵a1＝1－1＝0，a100＝100.∴a1＋a100＝100.
又a1＝0，a3＝2，a5＝4，…，a99＝98，
而a2＝2，a4＝4，a6＝6，…，a98＝98，a100＝100，
∴a1－a2＋a3－a4＋…＋a99－a100
＝0－2＋2－4＋4－…＋98－100＝－100.
B 组·素养提升
一、选择题
1．对任意的an∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象可能是( A )
[解析] 据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选A．
2．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上的第一道数列题．其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则此数列的第20项为( B )
A．212 B．200
C．186 D．162
[解析] 由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，可得偶数项的通项公式为a2n＝2n2，则a20＝2×102＝200，即此数列的第20项为200.
3．(多选题)已知n∈N*，给出下列四个表达式，其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( ABC )
A．an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，n为奇数，,1，n为偶数)) B．an＝eq \f(1＋－1n,2)
C．an＝eq \f(1＋cs nπ,2) D．an＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(nπ,2)))
[解析] A中，an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，n为奇数，,1，n为偶数，))当n为奇数时，an＝0；当n为偶数时，an＝1，满足条件；
B中，an＝eq \f(1＋－1n,2)，满足条件；
C中，an＝eq \f(1＋cs nπ,2)，满足条件；
D中，an＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(nπ,2)))，当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝0，以此类推，不满足条件．故选ABC．
二、填空题
4．已知数列2a－1，a－3,3a－5为递减数列，则a的取值范围为_(－2,1)__.
[解析] ∵数列：2a－1，a－3,3a－5为递减数列，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－1>a－3，,a－3>3a－5，))解得－2∴a的取值范围为(－2,1)．
5．已知数列{an}，an＝cs nθ，0<θ[解析] a5＝cs 5θ＝eq \f(1,2)，
又0<θ∴0<5θ∴5θ＝eq \f(π,3)，
∴a10＝cs 10θ＝cseq \f(2,3)π＝－eq \f(1,2).
三、解答题
6．数列{an}中，an＝eq \f(n2,n2＋1).
(1)求数列的第7项；
(2)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；
(3)区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有无数列的项？若有，有几项？
[解析] (1)a7＝eq \f(72,72＋1)＝eq \f(49,50).
(2)证明：∵an＝eq \f(n2,n2＋1)＝1－eq \f(1,n2＋1)，
∴0(3)∵eq \f(1,3)又n∈N*，
∴n＝1，即在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有且只有一项a1.
C 组·探索创新
一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途(包括A，B)共有8站．从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各1件，试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件数所成的数列，并画出该数列的图象．
[解析] 将A、B之间所有站按序1,2,3,4,5,6,7,8编号，通过计算，上面各站剩余邮件数依次排成数列：7,12,15,16,15,12,7,0.填写下表：
该数列的图象如图所示．
它在{1,2,3,4}上是递增的，在{4,5,6,7,8}上是递减的．站号
1
2
3
4
5
6
7
8
剩余邮件数
7
12
15
16
15
12
7
0