初中数学人教版九年级上册24.4 弧长和扇形面积学案
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这是一份初中数学人教版九年级上册24.4 弧长和扇形面积学案,文件包含第07讲弧长扇形面积和圆锥的侧面积知识解读+真题演练+课后巩固原卷版docx、第07讲弧长扇形面积和圆锥的侧面积知识解读+真题演练+课后巩固解析版docx等2份学案配套教学资源,其中学案共59页, 欢迎下载使用。
理解弧长和扇形面积及公式,并会计算弧长和扇形的面积
经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程,感受转化、类比的数学思想、培养学生的探索能力;
通过弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系;
4.通过探索圆锥侧面积和全面积计算公式,并熟练运用公式解决问题。
知识点1:扇形的弧长和面积计算
扇形:(1)弧长公式:; (2)扇形面积公式:
:圆心角 :扇形多对应的圆的半径 :扇形弧长 :扇形面积
注意:
(1)对于弧长公式,关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的,即;
(2)公式中的n表示1°圆心角的倍数,故n和180都不带单位,R为弧所在圆的半径;
(3)弧长公式所涉及的三个量:弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径,知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(4)对于扇形面积公式,关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的,
即;
(5)在扇形面积公式中,涉及三个量:扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角,知道其中的两个量就可以求出第三个量.
知识点2:扇形与圆柱、圆锥之间联系
1、圆柱:
(1)圆柱侧面展开图
=
圆柱的体积:
2、圆锥侧面展开图
(1)=
(2)圆锥的体积:
注意:圆锥的底周长=扇形的弧长()
【题型1 弧长的计算】
【典例1】(2023•怀集县二模)如图,△ABC内接⊙O,∠BAC=45°,BC=,则的长是( )
A.B.C.D.π
【变式1-1】(2023•钦州一模)如图,点A,B,C,E在⊙O上,OC⊥AB于点D,∠E=22.5°,OB=2,则的长为( )
A.B.C.πD.π
【变式1-2】(2023•崆峒区校级三模)道路施工部门在铺设如图所示的管道时,需要先按照其中心线计算长度后再备料.图中的管道中心线的长为(单位:m)( )
A.B.C.D.
【变式1-4】(2022秋•石景山区期末)若圆的半径为9,则120°的圆心角所对的弧长为( )
A.3B.6C.3πD.6π
【变式1-4】(2023•兰州模拟)如图,从一块半径为8cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角是60°的扇形ABC,则扇形ABC中弧BC的长为( )cm
A.B.C.D.
【题型2 利用弧长公式求周长】
【典例2】(2023•宁德模拟)“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形.如图,以等边三角形ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧,三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”.若等边三角形ABC的边长为2,则该“莱洛三角形”的周长等于( )
A.2πB.C.D.
【变式2-1】(2022•潍坊三模)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,D为BC的中点,连接AD,以点D为圆心,DA长为半径作弧MN,若DM⊥AB于点E,DN⊥AC于点F.则图中阴影部分的周长为( )
A.B.C.D.
【变式2-2】(2022•山西模拟)小敏所在的小区有如图1所示的护栏宣传版面,其形状是扇形的一部分,图2是其平面示意图,AD和BC都是半径的一部分,小敏测得AD=BC=0.6m,DC=0.8m,∠ADC=∠BCD=120°,则这块宣传版面的周长为( )
A.(π+2)mB.(π+2)m
C.()mD.()m
【变式2-3】(2023•安陆市二模)如图,分别以△ABC的三个顶点为圆心,作半径均为1的三个圆,三圆两两不相交,那么三个圆落在△ABC内的三段弧长度之和为( )
A.3πB.2πC.πD.
【题型3 计算扇形的面积】
【典例3】(2023•忻州模拟)习近平总书记强调:“青年一代有理想、有本领、有担当,国家就有前途,民族就有希望”.如图①是 一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板,该展板的部分示意图如图②所示,它是以O为圆心,OA,OB长分别为半径,圆心角∠O=120°形成的扇面,若OA=3m,OB=1.5m,则阴影部分的面积为( )
A.B.3m2C.D.
故选:A.
【变式3-1】(2023•温州三模)一个扇形的圆心角为135°,半径为2,则该扇形的面积为 .
【变式3-2】(2023•嘉祥县二模)扇子在我国已经有三、四千年的历史,中国扇文化有丰富的文化底蕴.如图,扇形纸扇完全打开后,弧BC的长度为20πcm,弧DE的长度为,扇面边缘宽BD的长为20cm,则扇面DBCE的面积为 cm2.
【题型4 计算不规则图形的阴影部分面积】
【典例4】(2023•平遥县二模)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=1,∠A=60°,将Rt△ACB绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE,点B经过的路径为,将线段AB绕点A顺时针旋转60°后,点B恰好落在CE上的点F处,点B经过的路径为,则图中阴影部分的面积是( )
A.B.C.D.
【变式4-1】(2023•建昌县二模)如图,扇形纸片的半径为6,沿AB折叠扇形纸片,点O恰好落在上的点C处,图中阴影部分的面积为( )
A.B.C.D.
【变式4-2】(2023•长阳县一模)如图,C,D是以AB为直径的半圆上的两点,连接BC,CD,AC,BD,BC=CD,∠ACD=30°,AB=12,则图中阴影部分的面积为 .
【变式4-3】(2023•叶县模拟)如图,扇形OAB的半径OA=2cm,∠AOB=120°,则以AB为直径的半圆与围成的区域(图中阴影部分)的面积是 cm2.
【题型5 旋转过程中扫过的路径或面积】
【典例5】(2020秋•江城区月考)如图,一块含有30°角的直角三角板ABC,在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置.若BC的长为7.5cm,那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为( )
A.10πcmB.10πcmC.15πcmD.20πcm
【变式5-1】(2022•枣庄)在活动课上,“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车.如图,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=2,将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′,使点C′落在AB边上,以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 .(结果保留π)
【变式5-2】(2022•武山县校级一模)如图,正六边形ABCDEF是边长为2cm的螺母,点P是FA延长线上的点,在A、P之间拉一条长为12cm的无伸缩性细线,一端固定在点A,握住另一端点P拉直细线,把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动),则点P运动的路径长为 .
【变式5-3】(2022秋•邯山区校级期末)已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C,直接写出A′,B′坐标;
(2)在(1)的条件下,请直接写出点B旋转到点B′所经过的路线长 (结果保留π);
(3)在(1)的条件下,求点A旋转到点A′时,线段AC所扫过的面积(结果保留π).
【典例6】(2023•丰润区二模)如图,将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB'C',点B经过的路径为弧BB′,若∠BAC=60°,AC=3,则图中阴影部分的面积是( )
A.B.C.D.3π
【变式6-1】(2023•凉山州模拟)如图,将△ABC绕点C旋转60°得到△A'B'C',已知AC=6,BC=4,则线段AB扫过的图形面积为( )
A.B.
C.6πD.以上答案都不对
【变式6-2】(2023春•诸暨市月考)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=2,O,H分别为边AB,AC的中点,将△ABC绕点B逆时针旋转120°到△A1BC1的位置,则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为( )
A.π﹣B.π+C.πD.
【变式6-3】(2023•义乌市校级开学)如图,已知Rt△ACB≌Rt△BDE,∠ACB=∠BDE=90°,∠CAB=30°,点C在线段BD上,BC=2.将△BDE绕点B按顺时针方向旋转30°,使得BE与BA重合,则线段DE所扫过的面积(即阴影部分面积)为( )
A.B.C.D.
【题型6 圆锥的计算】
【典例7】(2023•零陵区三模)如图,圆锥的底面半径是1,则圆锥侧面展开图中扇形的弧长为( )
A.πB.2πC.3πD.4π
【变式7-1】(2023•武陵区一模)已知圆锥的母线长为5cm,底面半径为3cm,则该圆锥的侧面积是( )
A.30cm2B.30πcm2C.15πcm2D.12πcm2
【变式7-2】(2023•仁和区二模)如图,蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成,若用毛毡搭建一个底面圆面积为36πm2,圆柱高为4m,圆锥高为2m的蒙古包,则需要毛毡的面积是( )
A.B.144πm2
C.D.216πm2
【变式7-3】(2023•蜀山区二模)如图,用一个圆心角为θ的扇形纸片围成一个底面半径为2,侧面积为8π的圆锥体,则该扇形的圆心角θ得大小为( )
A.90°B.120°C.150°D.180°
【题型7 圆柱的计算】
【典例8】(2022秋•怀柔区校级月考)将一个高6cm的圆柱转化成如图的一个几何体后,表面积增加了48cm2.这个圆柱的半径是( )cm.
A.2B.4C.8D.16
【变式8-1】(2022春•绥棱县校级月考)把一根长2米、底面积是20平方厘米的圆柱形木料平行于底面截成3段,表面积增加了( )平方厘米.
A.240B.80C.120D.160
【变式8-2】(2022•绵阳)如图,锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的,它的上下两部分是圆锥,中间是圆柱(单位:mm).电镀时,如果每平方米用锌0.1千克,电镀1000个这样的锚标浮筒,需要多少千克锌?(π的值取3.14)( )
A.282.6B.282600000C.357.96D.357960000
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1.(2023•新疆)如图,在⊙O中,若∠ACB=30°,OA=6,则扇形OAB(阴影部分)的面积是( )
A.12πB.6πC.4πD.2π
2.(2023•连云港)如图,矩形ABCD内接于⊙O,分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆.若AB=4,BC=5,则阴影部分的面积是( )
A.π﹣20B.π﹣20C.20πD.20
3.(2023•宜宾)《梦溪笔谈》是我国古代科技著作,其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,是以点O为圆心、OA为半径的圆弧,N是AB的中点.MN⊥AB.“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式:l=AB+.当OA=4,∠AOB=60°时,则l的值为( )
A.11﹣2B.11﹣4C.8﹣2D.8﹣4
4.(2023•永州)已知扇形的半径为6,面积为6π,则扇形圆心角的度数为 度.
5.(2023•温州)若扇形的圆心角为40°,半径为18,则它的弧长为 .
6.(2023•金华)如图,在△ABC 中,AB=AC=6cm,∠BAC=50°,以AB为直径作半圆,交BC于点D,交AC于点E,则弧DE的长为 cm.
7.(2023•重庆)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,E为BC的中点,连接AE.DE.以E为圆心,EB长为半径画弧,分别与AE,DE交于点M,N.则图中阴影部分的面积为 (结果保留π).
8.(2023•重庆)如图,⊙O是矩形ABCD的外接圆,若AB=4,AD=3,则图中阴影部分的面积为 .(结果保留π)
9.(2023•内江)如图,用圆心角为120°半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计),则这个圆锥的高是 .
10.(2023•宁波)如图,圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm,母线长为50cm,则烟囱帽的侧面积为 cm2.(结果保留π)
11.(2023•自贡)如图,小珍同学用半径为8cm,圆心角为100°的扇形纸片,制作一个底面半径为2cm的圆锥侧面,则圆锥上粘贴部分的面积是 cm2.
户:gaga;邮箱:18376708956;学号:189
1.(2023•东莞市校级模拟)如图,点A、B、P在⊙O上,若AO=2,∠APB=35°,则劣弧的长度为( )
A.B.C.πD.
2.(2023•南岗区校级三模)已知扇形半径为6,弧长为4π,则扇形面积为( )
A.10πB.12πC.16πD.24π
3.(2023•大同模拟)如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,半径OA=3,将扇形AOB沿过点B的直线折叠,使点O恰好落在AB上的点D处,折痕为BC,则阴影部分的面积为( )
A.B.﹣3C.D.
4.(2023•建昌县一模)如图,在矩形ABCD中,AD=1,,以点A为圆心,AB长为半径画弧,交边CD于点E,连接AE,则扇形BAE的面积为( )
A.B.C.D.
5.(2023•南皮县校级一模)数学课上,老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心,AB为半径的扇形(铁丝的粗细忽略不计),则所得扇形DAB的面积是( )
A.1B.1.5C.2D.
6.(2022秋•防城港期末)在中国书画艺术中,扇面书画是一种特殊的形式.如图扇面书法作品的形状是同心圆作出的扇面,扇面弧所对的圆心角是120°,大圆半径是20cm,小圆半径是10cm,则此书法作品的扇面面积是( )
A.300πcm2B.200πcm2C.100πcm2D.80πcm2
7.(2022•治多县模拟)钟面上的分针的长为1,从9点到9点15分,分针在钟面上扫过的面积是( )
A.πB.πC.πD.4
8.(2023•宿迁一模)若圆柱的底面半径为3cm,母线长为4cm,则这个圆柱的侧面积为( )
A.12cm2B.24cm2C.12πcm2D.24πcm2
9.(2023•常德三模)已知圆锥的母线长为5cm,侧面积为15πcm2,则这个圆锥的底面圆的面积为( )
A.2.25πcm2B.9πcm2C.12πcm2D.36πcm2
10.(2023•天门校级模拟)如图,圆锥的轴截面是一个斜边为2的等腰直角三角形,则这个圆锥的侧面积是( )
A.B.C.2πD.
11.(2023•微山县一模)如图,在△ABC中,CA=CB=6,∠BAC=α,将△ABC绕点A逆时针旋转2α,得到△AB′C′,连接B′C并延长交AB于点D,当B′D⊥AB时,弧BB′的长是( )
A.2πB.C.D.
12.(2023•庆元县一模)如图所示的图形叫弧三角形,又叫莱洛三角形,是机械学家莱洛首先进行研究的.弧三角形是这样画:先画正三角形ABC,然后分别以点A,B,C为圆心,AB长为半径画弧.若一个弧三角形的周长为2π,则此弧三角形的面积是( )
A.B.C.D.2π
13.(2023•阳泉二模)如图,AB为半圆的直径,且AB=6,半圆绕点B顺时针旋转45°.点A旋转到A′的位置,则图中阴影部分的面积为( )
A.B.πC.D.
14.(2022•南岗区校级开学)一个底面直径是10厘米,高是20厘米的圆柱,如果把它沿直径垂直于底面切成两半,表面积增加了 平方厘米.
15.(2022•常山县模拟)一个圆柱的底面半径为5cm,母线长为6cm,则这个圆柱的侧面积为 cm2.
16.(2023•西湖区校级二模)已知扇形的半径为3cm,圆心角为150°,则该扇形的弧长为 π cm.
17.(2023•镇平县二模)如图,扇形纸片AOB,沿AB折叠扇形纸片,点O恰好落在上的点C处,已知,则图中阴影部分的周长为 .
18.(2022•盘龙区校级模拟)如图,在△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,AB=1cm.将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△AB'C'位置.则边BC扫过的面积是 cm2.
19.(2022秋•赵县期末)如图,在正方形网格中建立平面直角坐标系,一条圆弧经过网格点A(0,4),B(﹣4,4),C(﹣6,2),请在网格图中进行如下操作:
(1)若该圆弧所在圆的圆心为D,则D点坐标为 ;
(2)若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面圆的周长为 .(结果保留根号)
20.(禹会区一模)如图,一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚,那么B点从开始至结束所走过的路径长度为 .
21.(海淀区校级开学)如图,在平面直角坐标系xOy中,以原点O为旋转中心,将△AOB顺时针旋转90°得到△A'OB',其中点A'与点A对应,点B'与点B对应.如果A(﹣4,0),B(﹣1,2).请回答:
(1)点B'的坐标为 .
(2)点A经过的路径的长度为 π.(友情提示:已经有π)
22.(2022秋•牡丹区校级期末)一个圆柱体,高减少了4厘米,表面积就减少50.24平方厘米,求这个圆柱体的底面积.
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