2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系

2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系

知识点一、匀变速直线运动的位移

1.匀速直线运动的位移

（1）公式表示

    ①大小：x＝vt

    ②方向：由起点指向终点

（2）用v一t图像表示

    ①如图，图线与对应的时间轴所围成的面积（图中阴影部分）在数值上等于物体在这段时间内的位移。

    ②方向：若图线与时间轴所围区域在时间轴上方，表示物体的位移沿正方向；若图线与时间轴所围区域在时间轴下方，表示物体的位移沿负方向。

2.匀变速直线运动的位移

（1）用微分法证明

在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如图所示：

    如果把每一小段△t内的运动看做匀速运动，则矩形面积之和等于各段匀速直线运动的位移，显然小于匀变速直线运动在该段时间内的位移。但时间越小，各匀速直线运动的位移和与匀变速直线运动的位移之间的差值就越小，当△t→0时，各矩形面积之和趋近于v－t图线下面的面积。可以想象，如果把整个运动过程划分得非常非常细，很多很多小矩形的面积之和就能准确代表物体的位移了，位移的大小等于图丙中梯形的面积。这一推理及前面讲瞬时速度时，都用到无限分割逐渐逼近的方法，这是微积分原理的基本思想之一，我们要注意领会。

匀变速直线运动的v－t图像与t轴所夹面积表示t时间内的位移。此结论可推至任何直线运动。图线与时间轴间的面积表示位移，下方的面积表示负向位移，它们的代数和表示总位移，算术和表示路程。由前面的讨论可知，当时间间隔分割得足够小时，折线趋近于直线AP，设想的运动就代表了真实的运动，由此可以求出匀变速运动在时间t内的位移，它在数值上等于直线AP下方的梯形OAPQ的面积（如图丙）。这个面积等于

即位移，这就是匀变速直线运动的位移公式。

2.对的理解

（1）此公式反映了位移随时间的变化规律，仅适用于匀变速直线运动。

（2）公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选取v0的方向为正方向。

3.位移公式的两种特殊形式

（1）当a＝0时，x＝v0t（匀速直线运动）

（2）当v0＝0，（初速度为零的匀加速直线运动）

4.逆向思维法的应用

    末速度为零的匀减速直线运动可看成初速度为零、加速度大小相等的反向匀加速直线运动。

（1）（顺向的表达）

（2）（逆向的表达）

知识点二、匀变速直线运动的重要推论

1.三个平均速度

（1）推导：，

即

    故在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值。

（2）

    前者适用于任何形式的运动，后者只适用于匀变速直线运动。

2.逐差相等

（1）推导：时间T内的位移

        在时间2T内的位移

则

得（此公式常用于求匀变速直线运动的加速度）

故在匀变速直线运动中，任意连续相等的时间间隔T内，位移差是一个常量。

（2）进一步可证明

3.纸带逐差法求加速度

（1）如果用相邻的x值之差计算加速度，再求平均值可得：

．

比较可知，逐差法将纸带上x1到x6各实验数据都利用了，而后一种方法只用上了x1和x6两个实验数据，实验结果只受x1和x6两个数据影响，算出a的偶然误差较大。

（2）如果用“逐差法”求加速度，根据x4－x1＝x5－x2＝x6－x3＝3aT2（T为相邻两计数点的时间间隔），有

    ，，，

然后取平均值，即→整体二分法

这样使所给数据全部得到利用，以提高准确性。

（3）纸带逐差法求加速度总结

    其实从上式可以看出，逐差法求平均加速度的实质是用（x6＋x5＋x4）这一大段位移减去（x3＋x2＋x1）这一大段位移，这相当于把纸带分成两份，此法又叫“整体二分法”，在处理纸带时，可以测量出这两大段位移代入上式计算加速度，但要注意分母（3T）2而不是3T2。

（4）补充：

如果纸带只有五段位移，从实验上来说，应该去掉最短的那一段，因为测量长度越短相对误差越大；如果只有三段的话，应用第1、3段（去掉第2段），因为逐差法再求平均就相当于只用了1、3段。

4.初速度为零的匀加速直线运动的几个比例关系

（1）速度比例

1T末、2T末、3T末、…瞬时速度之比为V1：V2：V3：…＝1：2：3：…

可由Vt＝at，直接导出

（2）位移比例

①1T内、2T内、3T内、…、位移之比为：

可由公式直接导出。

    ②第一个T内，第二个T内，第三个T内，…，第n个T内的位移之比为：x1：x2：x3：xn＝1：3：5：…：（2n－1）．

    推证：由位移公式得，

    ，

．

    可见，x1 ： x2 ： x3 ： … ： xn＝1 ： 3 ： 5 ： … ： （2n－1）

（3）时间之比

    ①通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比

    ②通过连续相同的位移所用时间之比

    推证：由知，

    通过第二段相同位移所用时间

    ，

同理：，

则

知识点三、运用图像表示位移

1.匀变速直线运动的x－t图像（）

（1）匀变速直线运动的x－t图像是一条抛物线。

（2）图像并不表示运动轨迹；物体做曲线运动时，其位移随时间图像的变化规律无法在x－t图像上描绘出来。

（3）图像上某一点的斜率代表物体的速度，斜率为正，速度为正方向，斜率为负，斜率为负方向；斜率大，速度大，斜率小，速度小。

知识点四、匀变速直线运动的速度与位移的关系

1.公式的推导

根据匀变速运动的基本公式

    消去时间t，得

即为匀变速直线运动的速度—位移关系，通常用于不知道时间问题时。

2.对此公式的理解

（1）适用范围：仅适用于匀变速直线运动

（2）矢量性：式中V0、V、a、x都是矢量，要规定统一的正方向，通常取初速度方向为正方向。

（3）特殊情况：当V0＝0时，公式简化为V2＝2ax；当V＝0时，公式简化为－V0＝2ax

（4）利用求解速度时，通常有两个解，要对两个解的含义及合理性进行合理讨论

知识点五、位移中点的瞬时速度公式

1.公式：做匀变速直线运动的物体，在某段位移中点位置的瞬时速度与这段位移始、末位置的瞬时速度关系为

2.推导

  如右图，对前一半位移：

         对后一半位移：

解得：

3.对位移中点的瞬时速度公式的理解

（1） 如果物体是作匀减速直线运动，初速度为V0、末速度为V，那么结论仍成立。

（2）不管物体做匀加速还是匀减速直线运动，都有

知识点六、匀变速直线运动常用规律的比较与应用

1.加速度定义式：

2.速度时间公式：（不涉及位移x时优先选用）

3.位移时间公式：（不涉及末速度V时优先选用）

4.速度位移公式：（不涉及时间时优先选用）

5.三个平均速度：（不涉及加速度时、首尾速度为零时优先选用）

6.位移中点的瞬时速度：

7.位移差公式：①普遍式：；②相邻式：（相同时间间隔求加速度时优先选用）

8.纸带求瞬时速度：

9.纸带求加速度（6段为例）：

注意：以上公式共涉及匀变速直线运动的初速度V0、末速度V、加速度a、位移x和时间t五个物理量，已知其中任意三个，可求其余两个。→知三求二。

专题、追及与相遇问题（☆☆☆）

1.追及相遇问题的特征

    当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题。

2.追及问题的两类情况

（1）初速度小者追初速度大者

（2）初速度大者追初速度小者

说明：

    ①表中的△x是开始追及以后，后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移；

    ②x0是开始追及以前两物体之间的距离；

    ③t2－t0＝t0－t1；

    ④v1是前面物体的速度，v2是后面物体的速度。

3.追及与相遇问题解题思路

4.分析追及与相遇问题应注意的两个问题

（1）一个条件：速度相等时是距离最大或最小（或能否追上或追不上）的条件。

常见的情形有三种：一是做初速度为零的匀加速直线运动的物体甲，追赶同方向的做匀速直线运动的物体乙，这种情况一定能追上，在追上之前，两物体的速度相等（即）时，两者之间的距离最大；二是做匀速直线运动的物体甲，追赶同方向的做匀加速直线运动的物体乙，这种情况不一定能追上，若能追上，则在相遇位置满足；若追不上，则两者之间有个最小距离，当两物体的速度相等时，距离最小；三是做匀减速直线运动的物体追赶做匀速直线运动的物体，情况和第二种情况相似。

（2）两个关系：即两个运动物体的时间关系和位移关系。其中通过画草图找到两个物体位移之间的数值关系是解决问题的突破口。

补充：易错点：匀减速直线运动（刹车问题）运动时间

5.追及与相遇问题的处理方法

方法一、临界条件法（物理法）。当追者与被追者到达同一位置，两者速度相同，则恰能追上或恰追不上（也是二者避免碰撞的临界条件）

方法二、判断法（数学方法）。若追者甲和被追者乙最初相距d0令两者在t时相遇，则有，得到关于时间t的一元二次方程：当时，两者相撞或相遇两次；当时，两者恰好相遇或相撞；时，两者不会相撞或相遇.

方法三、图像法。利用速度时间图像可以直观形象地描述两物体的运动情况，通过分析图像，可以较方便地解决这类问题。

关键能力一、匀变速直线运动基本规律的应用

例1：一列火车在正常行驶时，司机发现前方铁轨上有一障碍物，于是采取紧急刹车，火车紧急刹车后经7s停止，设火车做匀减速直线运动，它在最后1s内的位移是2m，则火车在刹车过程中通过的位移和开始刹车时的速度各是多大？

解答：（还可应用图像法）

把火车的运动看做反向的初速度为零的匀加速直线运动，由，得：a＝4m/s2 

刹车过程中通过的位移为：

开始刹车时的速度为：v＝at总＝28m/s

答案：火车在刹车过程中通过的位移98m和开始刹车时的速度是28m/s

例2：物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为1m/s2，求：

（1）物体在2s内的位移；

（2）物体在第2s内的位移；

（3）物体在第二个2s内的位移。

解答：

（1）物体做匀加速直线运动，根据位移公式，，物体在2s内的位移：；

（2）1s内的位移：，物体在第2s内的位移：；

（3）前4s内的位移：，物体在第二个2s内的位移：。

关键能力二、利用图像法分析和求解问题

例3：甲、乙两质点匀做直线运动，其中甲的位移一时间图像如图甲，乙的速度一时间图像如图乙，根据图像可判断（     ）

A.0～2s内：甲图质点做匀加速直线运动，乙图质点做匀速直线运动
B.2～3s内：甲图质点和乙图质点均静止不动
C.3～5s内：甲图质点和乙图质点均做匀减速运动，加速度为－15m/s2
D.0～5s内：甲图质点的位移为－10m，乙图质点的位移为100m

解答：D

例4：一质点沿x轴正方向做直线运动，通过坐标原点时开始计时，其图像如图所示，则（     ）

A.质点做匀速直线运动，速度为0.5m/s
B.质点做匀加速直线运动，加速度为0.5m/s2
C.质点在1s末速度为1.5m/s
D.质点在第1s内的平均速度为1.5m/s

解答：

AB.由图得：x/t＝1＋0.5t.根据，得：，对比可得：a/2＝0.5m/s2，则加速度为a＝1m/s2。由图知质点的加速度不变，说明质点做匀加速直线运动，故AB错误。

C.质点的初速度v0＝1m/s，在1s末速度为v＝v0＋at＝2m/s.质点在第1s内的平均速度，故C错误，D正确。

答案：D

关键能力三、刹车类问题的分析

例5：一辆汽车刹车前的速度为90km/h，刹车获得的加速度大小为10m/s2，求：

（1）汽车刹车开始后10s内滑行的距离s0。

（2）从开始刹车到汽车位移为30m时所经历的时间t。

（3）汽车静止前1s内滑行的距离s′。

解答：

（1）判断汽车刹车所经历的时间：由及，得：；汽车刹车后经过2.5s停下来，因此10s内汽车的位移只是2.5s内的位移；根据得：；

（2）根据，解得：，（舍去）；

（3）把汽车减速到速度为零的过程，看作反向的初速度为零的匀加速直线运动过程，汽车以10m/s的加速度经过1s的位移为：.

答案：（1）31.25m；（2）2s；（3）5m

关键能力四、追及与相遇问题的分析与求解

例6：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时，汽车以a＝3m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以V自＝6m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车。试求：

（1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？

（2）什么时候汽车追上自行车？此时汽车的速度是多少？

解答：

    解法一（根据速度关系和位移关系求解）

    汽车开动后速度由零逐渐增大，而自行车的速度恒定。当汽车的速度小于自行车的速度时，两者间的距离将越来越大，而一旦汽车的速度增加到超过自行车的速度，两者间的距离就将缩小，因此两者速度相等时两车相距最远。V汽＝at＝V自，得

    解法二（用数学求极值方法求解）

    设汽车在追上汽车前经实践t两车相距最远，有

，由二次函数的性质知，t＝2s时，△x有最大值，最大值为6m。

    解法三（用图像法求解）

（2）由图像法对称可知，t＇＝2t0＝4s，V汽＝2V自＝12m/s

例7：（多选）甲乙两车在一平直道路上同向运动，其v—t图像如图所示，图中△OPQ和△OQT的面积分别为S1和S2（S2＞S1），初始时，甲车在乙车前方s0处。（     ）

A.若S0＝S1＋S2，两车不会相遇
B.若S0＜S1，两车相遇2次
C.若S0＝S2，两车相遇1次
D.若T时刻还没相遇，两物体就不会相遇

解答：

由图线可知：在T时间内，甲车前进了S2，乙车前进了S1＋S2；

A.若S0＝S1＋S2，则S0＞S1，若S0＋S2＞S1＋S2，即S0＞S1，两车不会相遇，所以选项A正确；

B.若S0＋S2＜S1＋S2，即S0＜S1，在T时刻之前，乙车会超过甲车，但甲车速度增加得快，所以甲车还会超过乙车，则两车会相遇2次，所以选项B正确；

C.若S0＝S2，由于S2＞S1，故S0＞S1，两车不会相遇，故选项C错误；

D.若T时刻还没相遇，则以后甲的速度大，甲一直在乙的前面，不会相遇，故选项D正确。

故选：ABD