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人教版 (2019)必修 第一册3 匀变速直线运动的位移与时间的关系学案设计
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这是一份人教版 (2019)必修 第一册3 匀变速直线运动的位移与时间的关系学案设计，共15页。
匀变速直线运动的位移
1．位移在v-t图像中的表示
做匀变速直线运动的物体的位移大小对应着v-t图像中的图线和时间轴包围的图形的“面积”。如图所示，物体在0～t时间内的位移大小等于梯形的面积。
2．位移与时间关系式：x＝v0t＋12at2。
当初速度为0时，x＝12at2。
如图所示，汽车由静止以加速度a1启动，行驶一段时间t1后，又以加速度a2刹车，经时间t2后停下来。请思考：
问题1 汽车加速过程及刹车过程中，加速度的方向相同吗？
提示：加速度方向不同。
问题2 根据位移公式求加速过程及减速过程中的位移，速度及加速度的正负号如何确定？
提示：根据位移公式求位移时，一般取初速度方向为正方向，加速时，加速度取正值，减速时，加速度取负值。
问题3 汽车加速过程的位移与时间成正比吗？
提示：不是，与时间的平方成正比。
1．对x＝v0t＋12at2的理解
(1)公式反映了位移随时间的变化规律，仅适用于匀变速直线运动。
(2)各符号的意义
(3)公式的用途：公式x＝v0t＋12at2中包含四个物理量，知道其中任意三个量，就可以求出另外一个物理量。公式中各物理量的单位应取国际单位制单位。
2．对公式的两点说明
(1)公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选取初速度v0的方向为正方向。当物体做匀减速直线运动时，a取负值，计算结果中，位移x的正负表示其方向。
(2)公式x＝v0t＋12at2是匀变速直线运动的位移公式，而不是路程公式，利用该公式计算出的是位移而不是路程。
角度1 对匀变速直线运动的位移公式的理解
【典例1】 一物体在水平面上做匀变速直线运动，其位移与时间的数量关系为x＝24t－6t2，x与t的单位分别是m和s，则它的速度等于零的时刻t为( )
A．16 s B．2 s C．6 s D．24 s
B [由x＝24t－6t2，知v0＝24 m/s，a＝－12 m/s2，再根据v＝v0＋at，得t＝0-24-12 s＝2 s，故选项B正确。]
角度2 匀变速直线运动位移公式的应用
【典例2】 (2022·吉林省长春市东北师大附中高一上期中)一质点沿直线从静止开始以1 m/s2的加速度水平向右做匀加速直线运动，经5秒加速后，做匀速直线运动4秒钟，又经2秒钟做匀减速直线运动直到静止，则：
(1)质点匀速直线运动时速度是多大？
(2)做减速直线运动时的加速度？
(3)物体通过的总位移为多大？
[解析] (1)加速过程的末速度为v＝v0＋a1t1＝0＋1×5 m/s＝5 m/s。
(2)减速运动时a3＝0-vt3＝0-52 m/s2＝－2.5 m/s2，方向水平向左。
(3)加速位移x1＝12a1t12＝12×1×52 m＝12.5 m
匀速位移x2＝vt2＝5×4 m＝20 m
减速位移x3＝vt3＋12a3t32＝5×2－12×2.5×22＝5 m
总位移x＝x1＋x2＋x3＝37.5 m。
[答案] (1)5 m/s (2)－2.5 m/s2，方向水平向左 (3)37.5 m
应用位移公式x＝v0t＋12at2的解题步骤
(1)规定一个正方向(一般以初速度的方向为正方向)。
(2)根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负的数值表示。
(3)根据位移与时间关系式或其变形式列式、求解。
(4)根据计算结果说明所求量的大小、方向。
[跟进训练]
1．某辆赛车在一段直道上做初速度为零的匀加速直线运动，前2 s内位移是8 m，则( )
A．赛车的加速度是2 m/s2
B．赛车的加速度是3 m/s2
C．赛车第4 s内的位移是32 m
D．赛车第4 s内的位移是14 m
D [赛车做初速度为零的匀加速直线运动，根据位移与时间的关系式x＝12at2，解得a＝4 m/s2，故A、B错误；赛车第4 s内的位移为前4 s内的位移减去前3 s内的位移，由Δx＝12at42－12at32解得赛车第4 s内的位移Δx＝14 m，故C错误，D正确。]
匀变速直线运动速度与位移的关系
1．公式：v2-v02＝2ax。
2．推导
速度公式：v＝v0＋at。
位移公式：x＝v0t＋12at2。
由以上两式消去t得：v2-v02＝2ax。
如图所示，是“歼15”战机在“辽宁舰”上起飞的画面，若已知“歼15”战机的加速度为a，起飞速度为v。
问题1 如果“辽宁舰”静止在海上，应该如何来确定飞机跑道的最小长度？
提示：根据v2＝2ax，知飞机跑道的最小长度为x＝v22a。
问题2 如果“辽宁舰”以v0匀速航行呢？
提示：根据v2-v02＝2ax，知飞机跑道的最小长度为x＝v2-v022a。
问题3 如果知道飞机在静止航母甲板上的航行距离，能否推算飞机刚落到甲板上的速度？为什么？
提示：能，因为速度和位移存在一定的关系，即v2-v02＝2ax。
1．适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动。
2．公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向。
(1)物体做加速运动时，a取正值；做减速运动时，a取负值。
(2)x>0，说明物体位移的方向与初速度的方向相同；x<0，说明物体位移的方向与初速度的方向相反。
3．两种特殊形式
(1)当v0＝0时，v2＝2ax。(初速度为零的匀加速直线运动)
(2)当v＝0时，-v02＝2ax。(末速度为零的匀减速直线运动)
【典例3】 汽车从开始制动到停止所行驶的距离，是衡量汽车制动性能的参数之一。某型号的汽车以100 km/h的速度在柏油路面上行驶，急刹车后做匀减速直线运动。若匀减速时的加速度大小为5 m/s2，开始制动后2 s内汽车行驶的距离是多少？从开始制动到完全停止，汽车行驶的距离是多少？
[思路点拨] 汽车刹车后做匀减速直线运动，运动过程如图所示。在第一问中，已知初速度、加速度和时间的信息求位移，可用位移—时间关系式；在第二问中，通过初速度、加速度和末速度的信息求位移，可用位移—速度关系式。
[解析] 选定初速度方向为正方向，由题意知
v0＝100 km/h≈27.8 m/s，a＝－5 m/s2，vt＝0，t＝2 s。
根据速度公式vt＝v0＋at0，可知汽车刹车至静止时的时间
t0＝vt-v0a＝0-27.8 m/s-5 m/s2＝5.56 s
因为t＜t0，所以汽车在刹车后2 s内一直运动。根据位移公式，可得开始制动后2 s内汽车的位移s1＝v0t＋12at2＝27.8 m/s×2 s＋12×(－5 m/s2)×(2 s)2＝45.6 m
根据公式vt2-v02＝2as2，可得汽车从开始制动到完全停止的位移
s2＝vt2-v022a＝0-(27.8 m/s)22×(-5 m/s2)≈77.3 m
所以，开始制动后2 s内汽车行驶的距离为45.6 m；从开始制动到完全停止，汽车行驶的距离为77.3 m。
[答案] 45.6 m 77.3 m
应用速度—位移关系的两点注意
(1)若不涉及时间，优先选用v2-v02＝2ax。
(2)选用v2-v02＝2ax，要注意符号关系，必要时应对计算结果进行分析，验证其合理性。
[跟进训练]
2．如图所示，某高速列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5 m/s增加到10 m/s时位移为x。则当速度由10 m/s增加到15 m/s 时，它的位移是( )
A．52x B．53x C．2x D．3x
B [由v2-v02＝2ax得102－52＝2ax，152－102＝2ax′，两式联立可得x′＝53x，故B正确。]
3．(2022·重庆市南开中学高一期中)重庆国际汽车工业展览会上，各大厂商的各款车型相聚亮相，其中新能源汽车尤其引人注目。已知某新能源汽车刹车后做匀减速直线运动，第1 s内的位移是24 m，加速度大小为8 m/s2。求：
(1)汽车的初速度；
(2)汽车4 s内发生的位移。
[解析] 由题意得：
(1)前1 s内位移s＝v0t－12at2，代入得v0＝28 m/s。
(2)当车停下时0＝v0－at0，得t0＝3.5 s<4 s
故在3.5 s时汽车已停止，由－2ax＝vt2-v02，得x＝49 m。
[答案] (1)28 m/s (2)49 m
1．某物体做匀变速直线运动，其位移与时间的关系式为x＝0.5t＋t2(m)，则当物体速度为3 m/s时，物体已运动的时间为( )
A．1.25 s B．2.5 s C．3 s D．6 s
A [由x＝0.5t＋t2知，v0＝0.5 m/s，a＝2 m/s2，再由速度公式v＝v0＋at知，t＝1.25 s，选项A正确。]
2．一个做匀加速直线运动的物体，初速度v0＝2.0 m/s，它在第3 s内通过的位移是4.5 m，则它的加速度为( )
A．0.5 m/s2 B．1.0 m/s2 C．1.5 m/s2 D．2.0 m/s2
B [由题意知x3＝v0t3＋12at32－v0t2+12 at22，代入数据得4.5＝2×3＋12×a×32－2×2－12×a×22，解得a＝1.0 m/s2，故B正确。]
3．如图所示，一小球从A点由静止开始沿斜面做匀变速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则AB∶BC等于( )
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
C [根据匀变速直线运动的速度位移公式v2＝2ax知x＝v22a，所以AB∶AC＝1∶4，则AB∶BC＝1∶3。故C正确。]
4．一辆汽车在平直公路上做刹车实验，零时刻起，汽车运动过程的位移与速度的关系式为x＝(10－0.1v2) m，下列分析正确的是( )
A．上述过程的加速度大小为10 m/s2
B．刹车过程持续的时间为5 s
C．0时刻的初速度为10 m/s
D．刹车过程的位移为5 m
C [由v2-v02＝2ax可得x＝－12av02＋12av2，对照x＝10－0.1v2可知，12a＝－0.1，－12av02＝10，解得a＝－5 m/s2，v0＝10 m/s，选项A错误，C正确；由v＝v0＋at可得，刹车过程持续的时间为t＝2 s，由v2-v02＝2ax可得，刹车过程的位移为x＝10 m，选项B、D错误。]
1．匀变速直线运动的位移与时间的关系式为x＝v0t＋12at2，式中x的含义是什么？
提示：x是物体在时间t内的位移，如果认为物体在t＝0时刻位于坐标原点，则x也是物体在时刻t的位置。
2．如果物体在做匀减速直线运动，在使用上述公式分析问题时，需要注意什么？
提示：若以初速度方向为正方向，则加速度a代入数据时要用负数。
3．速度与位移关系式2ax＝v2-v02是怎样推导出来的？
提示：运用公式v＝v0＋at和x＝v0t＋12at2两个公式联立，消掉时间t。
4．解答匀变速直线运动问题时巧选公式的基本方法？
提示：(1)如果题目中无位移x，也不让求x，一般选用速度公式v＝v0＋at；
(2)如果题目中无末速度v，也不让求v，一般选用位移公式x＝v0t＋12at2；
(3)如果题目中无运动时间t，也不让求t，一般选用导出公式v2-v02＝2ax。
课时分层作业(七) 匀变速直线运动的位移与时间的关系
◎题组一 位移公式x＝v0t＋12at2的应用
1．一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1 s末的速度达到4 m/s，物体在第2 s内的位移是( )
A．6 m B．8 m C．4 m D．1.6 m
A [根据v1＝at，得a＝v1t＝41 m/s2＝4 m/s2，第1 s 末的速度等于第2 s初的速度，所以物体在第2 s内的位移x2＝v1t＋12at2＝4×1 m＋12×4×1 m＝6 m，故A正确。]
2．物体以加速度a1由静止出发做匀变速直线运动，经过t时间后，加速度大小变为a2，方向与a1的方向相反，经过2t的时间物体又回到出发点，则前、后两个加速度的大小关系是( )
A．a1＝4a2 B．3a1＝a2
C．3a1＝4a2 D．5a1＝4a2
D [加速阶段的位移x1＝12a1t2，减速阶段的位移x2＝v·2t－12a2(2t)2，其中v＝a1t，x1＝－x2，联立解得5a1＝4a2，故D正确。]
3．一列火车由静止开始做匀加速直线运动，一人站在第一节车厢前端的旁边观测，第一节车厢通过他历时2 s，整列火车通过他历时6 s，则这列火车的车厢有( )
A．3节 B．6节 C．9节 D．12节
C [设一节车厢长为L，这列火车共有n节车厢，则L＝12at12，nL＝12at22。将t1＝2 s，t2＝6 s代入上面两式解得：n＝9，选项C正确。]
4．一质点做匀变速直线运动，依次经过A、B、C、D四点。已知经过AB、BC和CD的时间分别为t、2t、4t，AC和BD的位移分别为x1和x2，则质点运动的加速度为( )
A．x2-x115t2 B．x2-x142t2 C．x2-2x142t2 D．x2-2x115t2
D [设质点经过A点的速度为v，则有：x1＝v·3t＋12a(3t)2，x2＝(v＋at)·6t＋12a(6t)2；联立解得：a＝x2-2x115t2，故D正确，A、B、C错误。]
◎题组二 速度与位移关系的理解与应用
5．做匀加速直线运动的物体，速度由v增大到2v的过程中位移为s，则当速度由2v增大到4v的过程中位移是( )
A．4s B．3s C．2s D．s
A [根据匀变速直线运动的速度—位移公式，速度由v增大到2v时，有(2v)2－v2＝2as，速度由2v增大到4v时，有(4v)2－(2v)2＝2as′，联立两式得s′＝4s，故A正确。]
6．京杭大运河始建于春秋时期，是我国古代劳动人民创造的一项伟大工程，是中国文化地位的象征之一。一艘游轮在运河上航行，做匀加速直线运动，该游轮的初始速度是3 m/s，航行50 m后速度变为7 m/s，则它的加速度大小是( )
A．0.30 m/s2 B．0.25 m/s2
C．0.40 m/s2 D．0.45 m/s2
C [根据位移速度公式2as＝vt2-v02，解得a＝0.4 m/s2，故A、B、D错误，C正确。]
7．列车长为l，铁路桥长为2l，列车匀加速行驶过桥，车头过桥头的速度为v1，车头过桥尾时的速度为v2，则车尾过桥尾时速度为( )
A．3v2－v1 B．3v2＋v1
C．3v22-v122D．3v22-v122
C [由v2-v02＝2ax得v22-v12＝2a·2l，v32-v12＝2a·3l，故v3＝3v22-v122，选项C正确，选项A、B、D错误。]
8．高速公路的ETC电子收费系统如图所示，ETC通道的长度是识别区起点到自动栏杆的水平距离。某汽车以21.6 km/h的速度匀速进入识别区，ETC天线用了0.3 s 的时间识别车载电子标签，识别完成后发出“滴”的一声，司机发现自动栏杆没有抬起，于是采取制动刹车，汽车刚好没有撞杆。已知司机的反应时间为0.7 s，刹车的加速度大小为5 m/s2，则该ETC通道的长度约为( )
A．4.2 m B．6.0 m C．7.8 m D．9.6 m
D [21.6 km/h＝6 m/s，汽车在前0.3 s＋0.7 s内做匀速直线运动，位移为：x1＝v0(t1＋t2)＝6×(0.3＋0.7) m＝6 m；随后汽车做减速运动，位移为：x2＝v022a ＝622×5 m＝3.6 m，所以该ETC通道的长度为L＝x1＋x2＝(6＋3.6) m＝9.6 m，故D正确。]
9．一物体的位移与时间的关系式为x＝4t－2t2＋5(m)，那么它的初速度和加速度分别是( )
A．2 m/s，0.4 m/s2 B．4 m/s，2 m/s2
C．4 m/s，－4 m/s2 D．4 m/s，1 m/s2
C [将公式x＝4t－2t2＋5(m)和位移公式x＝v0t＋12at2进行类比可知物体的初速度v0＝4 m/s，加速度a＝－4 m/s2，故A、B、D错误，C正确。]
10．已知O、A、B、C为同一直线上的四点，AB间的距离为L1＝2 m，BC间的距离为L2＝3 m。一物体自O点由静止出发，沿此直线做匀加速运动，依次经过A、B、C三点。已知物体通过AB段与BC段所用的时间相等，则O与A的距离等于( )
A．34 m B．43 m
C．98 m D．89 m
C [设物体的加速度为a，到达A点时的速度为v0，通过AB段和BC段所用的时间均为t，则L1＝v0t＋12at2，L1＋L2＝v0·2t＋12a·(2t)2，联立解得a＝L2-L1t2，v0＝3L1-L22t，设O与A的距离为L，则有L＝v022a，解得L＝3L1-L228L2-L1＝98 m，故C正确，A、B、D错误。]
11．高铁被誉为中国“新四大发明”之一。因高铁的运行速度快，对制动系统的性能要求较高，高铁列车上安装有多套制动装置——制动风翼、电磁制动系统、空气制动系统、摩擦制动系统等。在一段直线轨道上，某高铁列车正以v0＝288 km/h的速度匀速行驶，列车长突然接到通知，前方x0＝5 km处道路出现异常，需要减速停车。列车长接到通知后，经过t1＝2.5 s 将制动风翼打开，高铁列车获得a1＝0.5 m/s2的平均制动加速度减速，减速t2＝40 s后，列车长再将电磁制动系统打开，结果高铁列车在距离异常处500 m的地方停下来。求：
(1)列车长打开电磁制动系统时，高铁列车速度的大小；
(2)制动风翼和电磁制动系统都打开时，高铁列车的平均制动加速度a2的大小。
[解析] (1)列车长打开制动风翼时
高铁列车的加速度为a1＝0.5 m/s2，
v0＝288 km/h＝80 m/s
设经过t2＝40 s时，高铁列车的速度为v1
则v1＝v0－a1t2＝60 m/s。
(2)列车长接到通知后，经过t1＝2.5 s，高铁列车行驶的距离x1＝v0t1＝200 m
从打开制动风翼到打开电磁制动系统的过程中，高铁列车行驶的距离x2＝v02-v122a1＝2 800 m
打开电磁制动后，高铁列车行驶的距离
x3＝x0－x1－x2－500 m＝1 500 m
则高铁列车的平均制动加速度的大小
a2＝v122x3＝1.2 m/s2。
[答案] (1)60 m/s (2)1.2 m/s2
12．如图所示，一辆小汽车(可视为质点)在一水平直路面ABC上运动，AB的长度为x1＝25 m，BC的长度为x2＝97 m。汽车从A点由静止启动，在AB段做加速度大小为a1＝2.0 m/s2的匀加速直线运动。在BC段，先做加速度大小为a2＝1.0 m/s2的匀加速直线运动；当运动到离C点某距离处，再以大小为a3＝2.0 m/s2的加速度做匀减速直线运动，汽车恰好停在C点。求：
(1)汽车达到的最大速度vm和开始减速时离C点的距离d；
(2)汽车从A点运动到C点所用的时间t。
[解析] (1)由x1＝12a1t12和vB2＝2a1x1可得
汽车在AB段运动时间t1＝2x1a1＝5 s，到达B点时的速度vB＝2a1x1＝10 m/s
设汽车在BC段之间由B到D时加速行驶，距离为d′，有vm2-vB2＝2a2d′
由D到C时减速行驶，距离为d，有0-vm2＝－2a3d，且d′＋d＝x2，解得汽车的最大速度vm＝14 m/s
开始减速时汽车离C点的距离d＝vm22a3＝49 m。
(2)由B到D，汽车加速行驶，由vm＝vB＋a2t2得
行驶时间t2＝vm-vBa2＝4 s
由D到C，汽车减速行驶直到静止，由0＝vm－a3t3得行驶时间t3＝vma3＝7 s
故汽车从A点运动到C点所用的时间t＝t1＋t2＋t3＝16 s。
[答案] (1)14 m/s 49 m (2)16 s
学习任务
1．知道匀变速直线运动的位移与v-t图像中图线与坐标轴围成面积的关系。
2．了解利用极限思想解决物理问题的方法。
3．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系并会用来分析、解决问题。
4．会推导速度与位移的关系式，并知道匀变速直线运动的速度与位移的关系式中各物理量的含义。
5．会用公式v2-v02＝2ax进行分析和计算。
匀变速直线运动的位移
1．位移在v-t图像中的表示
做匀变速直线运动的物体的位移大小对应着v-t图像中的图线和时间轴包围的图形的“面积”。如图所示，物体在0～t时间内的位移大小等于梯形的面积。
2．位移与时间关系式：x＝v0t＋12at2。
当初速度为0时，x＝12at2。
如图所示，汽车由静止以加速度a1启动，行驶一段时间t1后，又以加速度a2刹车，经时间t2后停下来。请思考：
问题1 汽车加速过程及刹车过程中，加速度的方向相同吗？
提示：加速度方向不同。
问题2 根据位移公式求加速过程及减速过程中的位移，速度及加速度的正负号如何确定？
提示：根据位移公式求位移时，一般取初速度方向为正方向，加速时，加速度取正值，减速时，加速度取负值。
问题3 汽车加速过程的位移与时间成正比吗？
提示：不是，与时间的平方成正比。
1．对x＝v0t＋12at2的理解
(1)公式反映了位移随时间的变化规律，仅适用于匀变速直线运动。
(2)各符号的意义
(3)公式的用途：公式x＝v0t＋12at2中包含四个物理量，知道其中任意三个量，就可以求出另外一个物理量。公式中各物理量的单位应取国际单位制单位。
2．对公式的两点说明
(1)公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选取初速度v0的方向为正方向。当物体做匀减速直线运动时，a取负值，计算结果中，位移x的正负表示其方向。
(2)公式x＝v0t＋12at2是匀变速直线运动的位移公式，而不是路程公式，利用该公式计算出的是位移而不是路程。
角度1 对匀变速直线运动的位移公式的理解
【典例1】 一物体在水平面上做匀变速直线运动，其位移与时间的数量关系为x＝24t－6t2，x与t的单位分别是m和s，则它的速度等于零的时刻t为( )
A．16 s B．2 s C．6 s D．24 s
B [由x＝24t－6t2，知v0＝24 m/s，a＝－12 m/s2，再根据v＝v0＋at，得t＝0-24-12 s＝2 s，故选项B正确。]
角度2 匀变速直线运动位移公式的应用
【典例2】 (2022·吉林省长春市东北师大附中高一上期中)一质点沿直线从静止开始以1 m/s2的加速度水平向右做匀加速直线运动，经5秒加速后，做匀速直线运动4秒钟，又经2秒钟做匀减速直线运动直到静止，则：
(1)质点匀速直线运动时速度是多大？
(2)做减速直线运动时的加速度？
(3)物体通过的总位移为多大？
[解析] (1)加速过程的末速度为v＝v0＋a1t1＝0＋1×5 m/s＝5 m/s。
(2)减速运动时a3＝0-vt3＝0-52 m/s2＝－2.5 m/s2，方向水平向左。
(3)加速位移x1＝12a1t12＝12×1×52 m＝12.5 m
匀速位移x2＝vt2＝5×4 m＝20 m
减速位移x3＝vt3＋12a3t32＝5×2－12×2.5×22＝5 m
总位移x＝x1＋x2＋x3＝37.5 m。
[答案] (1)5 m/s (2)－2.5 m/s2，方向水平向左 (3)37.5 m
应用位移公式x＝v0t＋12at2的解题步骤
(1)规定一个正方向(一般以初速度的方向为正方向)。
(2)根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负的数值表示。
(3)根据位移与时间关系式或其变形式列式、求解。
(4)根据计算结果说明所求量的大小、方向。
[跟进训练]
1．某辆赛车在一段直道上做初速度为零的匀加速直线运动，前2 s内位移是8 m，则( )
A．赛车的加速度是2 m/s2
B．赛车的加速度是3 m/s2
C．赛车第4 s内的位移是32 m
D．赛车第4 s内的位移是14 m
D [赛车做初速度为零的匀加速直线运动，根据位移与时间的关系式x＝12at2，解得a＝4 m/s2，故A、B错误；赛车第4 s内的位移为前4 s内的位移减去前3 s内的位移，由Δx＝12at42－12at32解得赛车第4 s内的位移Δx＝14 m，故C错误，D正确。]
匀变速直线运动速度与位移的关系
1．公式：v2-v02＝2ax。
2．推导
速度公式：v＝v0＋at。
位移公式：x＝v0t＋12at2。
由以上两式消去t得：v2-v02＝2ax。
如图所示，是“歼15”战机在“辽宁舰”上起飞的画面，若已知“歼15”战机的加速度为a，起飞速度为v。
问题1 如果“辽宁舰”静止在海上，应该如何来确定飞机跑道的最小长度？
提示：根据v2＝2ax，知飞机跑道的最小长度为x＝v22a。
问题2 如果“辽宁舰”以v0匀速航行呢？
提示：根据v2-v02＝2ax，知飞机跑道的最小长度为x＝v2-v022a。
问题3 如果知道飞机在静止航母甲板上的航行距离，能否推算飞机刚落到甲板上的速度？为什么？
提示：能，因为速度和位移存在一定的关系，即v2-v02＝2ax。
1．适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动。
2．公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向。
(1)物体做加速运动时，a取正值；做减速运动时，a取负值。
(2)x>0，说明物体位移的方向与初速度的方向相同；x<0，说明物体位移的方向与初速度的方向相反。
3．两种特殊形式
(1)当v0＝0时，v2＝2ax。(初速度为零的匀加速直线运动)
(2)当v＝0时，-v02＝2ax。(末速度为零的匀减速直线运动)
【典例3】 汽车从开始制动到停止所行驶的距离，是衡量汽车制动性能的参数之一。某型号的汽车以100 km/h的速度在柏油路面上行驶，急刹车后做匀减速直线运动。若匀减速时的加速度大小为5 m/s2，开始制动后2 s内汽车行驶的距离是多少？从开始制动到完全停止，汽车行驶的距离是多少？
[思路点拨] 汽车刹车后做匀减速直线运动，运动过程如图所示。在第一问中，已知初速度、加速度和时间的信息求位移，可用位移—时间关系式；在第二问中，通过初速度、加速度和末速度的信息求位移，可用位移—速度关系式。
[解析] 选定初速度方向为正方向，由题意知
v0＝100 km/h≈27.8 m/s，a＝－5 m/s2，vt＝0，t＝2 s。
根据速度公式vt＝v0＋at0，可知汽车刹车至静止时的时间
t0＝vt-v0a＝0-27.8 m/s-5 m/s2＝5.56 s
因为t＜t0，所以汽车在刹车后2 s内一直运动。根据位移公式，可得开始制动后2 s内汽车的位移s1＝v0t＋12at2＝27.8 m/s×2 s＋12×(－5 m/s2)×(2 s)2＝45.6 m
根据公式vt2-v02＝2as2，可得汽车从开始制动到完全停止的位移
s2＝vt2-v022a＝0-(27.8 m/s)22×(-5 m/s2)≈77.3 m
所以，开始制动后2 s内汽车行驶的距离为45.6 m；从开始制动到完全停止，汽车行驶的距离为77.3 m。
[答案] 45.6 m 77.3 m
应用速度—位移关系的两点注意
(1)若不涉及时间，优先选用v2-v02＝2ax。
(2)选用v2-v02＝2ax，要注意符号关系，必要时应对计算结果进行分析，验证其合理性。
[跟进训练]
2．如图所示，某高速列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5 m/s增加到10 m/s时位移为x。则当速度由10 m/s增加到15 m/s 时，它的位移是( )
A．52x B．53x C．2x D．3x
B [由v2-v02＝2ax得102－52＝2ax，152－102＝2ax′，两式联立可得x′＝53x，故B正确。]
3．(2022·重庆市南开中学高一期中)重庆国际汽车工业展览会上，各大厂商的各款车型相聚亮相，其中新能源汽车尤其引人注目。已知某新能源汽车刹车后做匀减速直线运动，第1 s内的位移是24 m，加速度大小为8 m/s2。求：
(1)汽车的初速度；
(2)汽车4 s内发生的位移。
[解析] 由题意得：
(1)前1 s内位移s＝v0t－12at2，代入得v0＝28 m/s。
(2)当车停下时0＝v0－at0，得t0＝3.5 s<4 s
故在3.5 s时汽车已停止，由－2ax＝vt2-v02，得x＝49 m。
[答案] (1)28 m/s (2)49 m
1．某物体做匀变速直线运动，其位移与时间的关系式为x＝0.5t＋t2(m)，则当物体速度为3 m/s时，物体已运动的时间为( )
A．1.25 s B．2.5 s C．3 s D．6 s
A [由x＝0.5t＋t2知，v0＝0.5 m/s，a＝2 m/s2，再由速度公式v＝v0＋at知，t＝1.25 s，选项A正确。]
2．一个做匀加速直线运动的物体，初速度v0＝2.0 m/s，它在第3 s内通过的位移是4.5 m，则它的加速度为( )
A．0.5 m/s2 B．1.0 m/s2 C．1.5 m/s2 D．2.0 m/s2
B [由题意知x3＝v0t3＋12at32－v0t2+12 at22，代入数据得4.5＝2×3＋12×a×32－2×2－12×a×22，解得a＝1.0 m/s2，故B正确。]
3．如图所示，一小球从A点由静止开始沿斜面做匀变速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则AB∶BC等于( )
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
C [根据匀变速直线运动的速度位移公式v2＝2ax知x＝v22a，所以AB∶AC＝1∶4，则AB∶BC＝1∶3。故C正确。]
4．一辆汽车在平直公路上做刹车实验，零时刻起，汽车运动过程的位移与速度的关系式为x＝(10－0.1v2) m，下列分析正确的是( )
A．上述过程的加速度大小为10 m/s2
B．刹车过程持续的时间为5 s
C．0时刻的初速度为10 m/s
D．刹车过程的位移为5 m
C [由v2-v02＝2ax可得x＝－12av02＋12av2，对照x＝10－0.1v2可知，12a＝－0.1，－12av02＝10，解得a＝－5 m/s2，v0＝10 m/s，选项A错误，C正确；由v＝v0＋at可得，刹车过程持续的时间为t＝2 s，由v2-v02＝2ax可得，刹车过程的位移为x＝10 m，选项B、D错误。]
1．匀变速直线运动的位移与时间的关系式为x＝v0t＋12at2，式中x的含义是什么？
提示：x是物体在时间t内的位移，如果认为物体在t＝0时刻位于坐标原点，则x也是物体在时刻t的位置。
2．如果物体在做匀减速直线运动，在使用上述公式分析问题时，需要注意什么？
提示：若以初速度方向为正方向，则加速度a代入数据时要用负数。
3．速度与位移关系式2ax＝v2-v02是怎样推导出来的？
提示：运用公式v＝v0＋at和x＝v0t＋12at2两个公式联立，消掉时间t。
4．解答匀变速直线运动问题时巧选公式的基本方法？
提示：(1)如果题目中无位移x，也不让求x，一般选用速度公式v＝v0＋at；
(2)如果题目中无末速度v，也不让求v，一般选用位移公式x＝v0t＋12at2；
(3)如果题目中无运动时间t，也不让求t，一般选用导出公式v2-v02＝2ax。
课时分层作业(七) 匀变速直线运动的位移与时间的关系
◎题组一 位移公式x＝v0t＋12at2的应用
1．一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1 s末的速度达到4 m/s，物体在第2 s内的位移是( )
A．6 m B．8 m C．4 m D．1.6 m
A [根据v1＝at，得a＝v1t＝41 m/s2＝4 m/s2，第1 s 末的速度等于第2 s初的速度，所以物体在第2 s内的位移x2＝v1t＋12at2＝4×1 m＋12×4×1 m＝6 m，故A正确。]
2．物体以加速度a1由静止出发做匀变速直线运动，经过t时间后，加速度大小变为a2，方向与a1的方向相反，经过2t的时间物体又回到出发点，则前、后两个加速度的大小关系是( )
A．a1＝4a2 B．3a1＝a2
C．3a1＝4a2 D．5a1＝4a2
D [加速阶段的位移x1＝12a1t2，减速阶段的位移x2＝v·2t－12a2(2t)2，其中v＝a1t，x1＝－x2，联立解得5a1＝4a2，故D正确。]
3．一列火车由静止开始做匀加速直线运动，一人站在第一节车厢前端的旁边观测，第一节车厢通过他历时2 s，整列火车通过他历时6 s，则这列火车的车厢有( )
A．3节 B．6节 C．9节 D．12节
C [设一节车厢长为L，这列火车共有n节车厢，则L＝12at12，nL＝12at22。将t1＝2 s，t2＝6 s代入上面两式解得：n＝9，选项C正确。]
4．一质点做匀变速直线运动，依次经过A、B、C、D四点。已知经过AB、BC和CD的时间分别为t、2t、4t，AC和BD的位移分别为x1和x2，则质点运动的加速度为( )
A．x2-x115t2 B．x2-x142t2 C．x2-2x142t2 D．x2-2x115t2
D [设质点经过A点的速度为v，则有：x1＝v·3t＋12a(3t)2，x2＝(v＋at)·6t＋12a(6t)2；联立解得：a＝x2-2x115t2，故D正确，A、B、C错误。]
◎题组二 速度与位移关系的理解与应用
5．做匀加速直线运动的物体，速度由v增大到2v的过程中位移为s，则当速度由2v增大到4v的过程中位移是( )
A．4s B．3s C．2s D．s
A [根据匀变速直线运动的速度—位移公式，速度由v增大到2v时，有(2v)2－v2＝2as，速度由2v增大到4v时，有(4v)2－(2v)2＝2as′，联立两式得s′＝4s，故A正确。]
6．京杭大运河始建于春秋时期，是我国古代劳动人民创造的一项伟大工程，是中国文化地位的象征之一。一艘游轮在运河上航行，做匀加速直线运动，该游轮的初始速度是3 m/s，航行50 m后速度变为7 m/s，则它的加速度大小是( )
A．0.30 m/s2 B．0.25 m/s2
C．0.40 m/s2 D．0.45 m/s2
C [根据位移速度公式2as＝vt2-v02，解得a＝0.4 m/s2，故A、B、D错误，C正确。]
7．列车长为l，铁路桥长为2l，列车匀加速行驶过桥，车头过桥头的速度为v1，车头过桥尾时的速度为v2，则车尾过桥尾时速度为( )
A．3v2－v1 B．3v2＋v1
C．3v22-v122D．3v22-v122
C [由v2-v02＝2ax得v22-v12＝2a·2l，v32-v12＝2a·3l，故v3＝3v22-v122，选项C正确，选项A、B、D错误。]
8．高速公路的ETC电子收费系统如图所示，ETC通道的长度是识别区起点到自动栏杆的水平距离。某汽车以21.6 km/h的速度匀速进入识别区，ETC天线用了0.3 s 的时间识别车载电子标签，识别完成后发出“滴”的一声，司机发现自动栏杆没有抬起，于是采取制动刹车，汽车刚好没有撞杆。已知司机的反应时间为0.7 s，刹车的加速度大小为5 m/s2，则该ETC通道的长度约为( )
A．4.2 m B．6.0 m C．7.8 m D．9.6 m
D [21.6 km/h＝6 m/s，汽车在前0.3 s＋0.7 s内做匀速直线运动，位移为：x1＝v0(t1＋t2)＝6×(0.3＋0.7) m＝6 m；随后汽车做减速运动，位移为：x2＝v022a ＝622×5 m＝3.6 m，所以该ETC通道的长度为L＝x1＋x2＝(6＋3.6) m＝9.6 m，故D正确。]
9．一物体的位移与时间的关系式为x＝4t－2t2＋5(m)，那么它的初速度和加速度分别是( )
A．2 m/s，0.4 m/s2 B．4 m/s，2 m/s2
C．4 m/s，－4 m/s2 D．4 m/s，1 m/s2
C [将公式x＝4t－2t2＋5(m)和位移公式x＝v0t＋12at2进行类比可知物体的初速度v0＝4 m/s，加速度a＝－4 m/s2，故A、B、D错误，C正确。]
10．已知O、A、B、C为同一直线上的四点，AB间的距离为L1＝2 m，BC间的距离为L2＝3 m。一物体自O点由静止出发，沿此直线做匀加速运动，依次经过A、B、C三点。已知物体通过AB段与BC段所用的时间相等，则O与A的距离等于( )
A．34 m B．43 m
C．98 m D．89 m
C [设物体的加速度为a，到达A点时的速度为v0，通过AB段和BC段所用的时间均为t，则L1＝v0t＋12at2，L1＋L2＝v0·2t＋12a·(2t)2，联立解得a＝L2-L1t2，v0＝3L1-L22t，设O与A的距离为L，则有L＝v022a，解得L＝3L1-L228L2-L1＝98 m，故C正确，A、B、D错误。]
11．高铁被誉为中国“新四大发明”之一。因高铁的运行速度快，对制动系统的性能要求较高，高铁列车上安装有多套制动装置——制动风翼、电磁制动系统、空气制动系统、摩擦制动系统等。在一段直线轨道上，某高铁列车正以v0＝288 km/h的速度匀速行驶，列车长突然接到通知，前方x0＝5 km处道路出现异常，需要减速停车。列车长接到通知后，经过t1＝2.5 s 将制动风翼打开，高铁列车获得a1＝0.5 m/s2的平均制动加速度减速，减速t2＝40 s后，列车长再将电磁制动系统打开，结果高铁列车在距离异常处500 m的地方停下来。求：
(1)列车长打开电磁制动系统时，高铁列车速度的大小；
(2)制动风翼和电磁制动系统都打开时，高铁列车的平均制动加速度a2的大小。
[解析] (1)列车长打开制动风翼时
高铁列车的加速度为a1＝0.5 m/s2，
v0＝288 km/h＝80 m/s
设经过t2＝40 s时，高铁列车的速度为v1
则v1＝v0－a1t2＝60 m/s。
(2)列车长接到通知后，经过t1＝2.5 s，高铁列车行驶的距离x1＝v0t1＝200 m
从打开制动风翼到打开电磁制动系统的过程中，高铁列车行驶的距离x2＝v02-v122a1＝2 800 m
打开电磁制动后，高铁列车行驶的距离
x3＝x0－x1－x2－500 m＝1 500 m
则高铁列车的平均制动加速度的大小
a2＝v122x3＝1.2 m/s2。
[答案] (1)60 m/s (2)1.2 m/s2
12．如图所示，一辆小汽车(可视为质点)在一水平直路面ABC上运动，AB的长度为x1＝25 m，BC的长度为x2＝97 m。汽车从A点由静止启动，在AB段做加速度大小为a1＝2.0 m/s2的匀加速直线运动。在BC段，先做加速度大小为a2＝1.0 m/s2的匀加速直线运动；当运动到离C点某距离处，再以大小为a3＝2.0 m/s2的加速度做匀减速直线运动，汽车恰好停在C点。求：
(1)汽车达到的最大速度vm和开始减速时离C点的距离d；
(2)汽车从A点运动到C点所用的时间t。
[解析] (1)由x1＝12a1t12和vB2＝2a1x1可得
汽车在AB段运动时间t1＝2x1a1＝5 s，到达B点时的速度vB＝2a1x1＝10 m/s
设汽车在BC段之间由B到D时加速行驶，距离为d′，有vm2-vB2＝2a2d′
由D到C时减速行驶，距离为d，有0-vm2＝－2a3d，且d′＋d＝x2，解得汽车的最大速度vm＝14 m/s
开始减速时汽车离C点的距离d＝vm22a3＝49 m。
(2)由B到D，汽车加速行驶，由vm＝vB＋a2t2得
行驶时间t2＝vm-vBa2＝4 s
由D到C，汽车减速行驶直到静止，由0＝vm－a3t3得行驶时间t3＝vma3＝7 s
故汽车从A点运动到C点所用的时间t＝t1＋t2＋t3＝16 s。
[答案] (1)14 m/s 49 m (2)16 s
学习任务
1．知道匀变速直线运动的位移与v-t图像中图线与坐标轴围成面积的关系。
2．了解利用极限思想解决物理问题的方法。
3．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系并会用来分析、解决问题。
4．会推导速度与位移的关系式，并知道匀变速直线运动的速度与位移的关系式中各物理量的含义。
5．会用公式v2-v02＝2ax进行分析和计算。
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