（文科版）2024年高考数学第一轮复习全程考评特训单元检测(十)

单元检测(十)　圆锥曲线

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．方程＋＝1(θ∈R)所表示的曲线是(　　)

A．焦点在x轴上的椭圆

B．焦点在y轴上的椭圆

C．焦点在x轴上的双曲线

D．焦点在y轴上的双曲线

2．[2023·四川省高三考试]椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为＋＝1，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为(　　)

A．2    B．4    C．6    D．8

3．[2023·陕西省西安市高三模拟]设经过点F(1，0)的直线与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则＝(　　)

A．4    B．5    C．6    D．7

4．[2023·四川省德阳市高三考试]若双曲线x2－＝1的一个焦点为，则m＝(　　)

A．    B．    C．2    D．8

5．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，M为抛物线C上的一点，O为原点．若△OFM为等腰三角形，则△OFM的周长为(　　)

A．4    B．2＋1

C．＋2或4    D．＋1或4

6．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，直线l在y轴上的截距为1.若|AF1|＝3|F1B|，且AF2⊥x轴，则此椭圆的长轴长为(　　)

A．    B．3    C．    D．6

7．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)

A．x2＝y    B．x2＝y

C．x2＝8y    D．x2＝16y

8．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1·PF2＝0，若△PF1F2的面积为9，则b的值为(　　)

A.1    B．2    C．3    D．4

9．[2023·陕西省安康市高三联考]已知椭圆C：＋＝1，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，若△F1PF2的内切圆的面积为π，则该椭圆的方程为(　　)

A．＋＝1    B．＋＝1

C．＋＝1    D．＋＝1

10．如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是(　　)

A.3    B．2    C．    D．

11．[2023·广西柳州市高三模拟]已知F1、F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，O为原点，双曲线上的点P满足＝b，且＝3，则该双曲线C的离心率为(　　)

A．    B．    C．2    D．

12．已知抛物线C：y2＝4x，点D(2，0)，E(4，0)，M是抛物线C异于原点O的动点，连接ME并延长交抛物线C于点N，连接MD，ND，并分别延长交抛物线C于点P，Q，连接PQ.若直线MN，PQ的斜率存在且分别为k1，k2，则＝(　　)

A．4    B．3    C．2    D．1

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．若抛物线y＝ax2(a>0)的焦点与椭圆＋y2＝1的上顶点重合，则a＝________．

14．已知直线y＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2.若|PA2|＝|A1A2|，则双曲线C的离心率为________.

15．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，则点F的坐标为____________；过点F的直线交抛物线C于A，B两点．若|AF|＝4，则△AOB的面积为____________．

16．已知F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，P是椭圆上异于顶点的任意一点，点Q是△F1PF2内切圆的圆心，过点F1作F1M⊥PQ于点M，O为坐标原点，则|OM|的取值范围为________．

三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)

如图，A，B，C是椭圆M：＋＝1(a>b>0)上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，BC过椭圆M的中心，且满足AC⊥BC，BC＝2AC.

(1)求椭圆M的离心率；

(2)若y轴被△ABC的外接圆所截得的弦长为9，求椭圆M的方程．

18．(本小题满分12分)

[全国卷Ⅱ]设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.

(1)求l的方程；

(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

19.(本小题满分12分)

[2023·浙江省高三联考]已知点A(2，1)在双曲线C：－＝1(b>0)上．

(1)求双曲线C的渐近线方程；

(2)设直线l：y＝k(x－1)与双曲线C交于不同的两点E，F，直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N.当△AMN的面积为时，求k的值．

20．(本小题满分12分)

[2023·四川省南充市高三模拟]已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且a－b＝1.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点P(4，0)且斜率不为0的直线l与E自右向左依次交于点A，B，点Q在线段AB上，且＝，求证：·为定值．

21.(本小题满分12分)

[2023·广西贵港市高三联考]已知抛物线C：y2＝2px，过点Q作直线与C交于M，N两点，当该直线垂直于x轴时，△OMN的面积为2，其中O为坐标原点．

(1)求C的方程；

(2)若C的一条弦ST经过C的焦点，且直线ST与直线MN平行，试问是否存在常数Ω，使得·＝Ω|ST|恒成立？若存在，求Ω的值；若不存在，请说明理由．

22．(本小题满分12分)

[2023·河南省洛阳市摸底考试]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(－1，－)，(，－).

(1)求C的方程；

(2)记C的左顶点为M，上顶点为N，点A是C上在第四象限的点，AM，AN分别与y轴，x轴交于P，Q两点，试探究四边形MNQP的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．