（文科版）2024年高考数学第一轮复习全程考评特训单元检测(四)

单元检测(四)　三角函数、解三角形

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．[2023·湖北高三期中]在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝12，A＝30°，使得三角形有两解的条件是(　　)

A．a＝6    B．6<a<12

C．a≥12    D．a<6

2．已知sin α＝2sin ，则cos 2α＝(　　)

A．－    B．    C．－    D．

3．[2023·湖北省部分重点中学试题]在△ABC中，“cos A<cos B”是“sin A>sin B”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

4．[2023·江西省赣州市名校联考]在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，A＝，b＋c＝2a，△ABC的面积为2，则△ABC 的周长为(　　)

A．6    B．8    C．6    D．6

5．[2023·河南高二模拟]已知α∈，若9cos 2α＋6cos α＋5＝0，则sin α＝(　　)

A．±    B．－    C．    D．

6．[2023·正阳县模拟]函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝(　　)

A．1    B．    C．    D．

7．[2023·河南省安阳市高三联考]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＋＝，且sin ＝sin A，则c2－b2＝(　　)

A．1    B．    C．2    D．

8．若函数f(x)＝sin (ω>0)在上单调递增，则实数ω的取值范围为(　　)

A．(0，3]     B．

C．    D．

9．在△ABC中，∠A＝2∠B，AB＝，BC＝4，CD平分∠ACB交AB于点D，则线段AD的长为(　　)

A．1    B．    C．    D．

10．[2023·河南省豫南九校高三联考]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2b＝2，且·＝－，则c＝(　　)

A．2    B．2    C．    D．

11.

[2023·内蒙古赤峰市二中月考]如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E.从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°.若测得DC＝2，CE＝(单位：百米)，则A，B两点的距离为(　　)

A．    B．2    C．3    D．2

12．[2023·安徽合肥市模拟]△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，满足2c cos B＋b cos A＝a cos (A＋C)，c＝2，a＝4，D为边AC上一点满足＝2，则||＝(　　)

A．    B．    C．    D．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．[2023·陕西高三模拟]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径为r，若＋＝r，b＝2，a＋c＝3，则△ABC的面积S＝________．

14．[2023·上海高三模拟]设函数y＝cos 2x(x≥0)和函数y＝cos 10x(x≥0)的图象的公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，…，xn，若tan (x3－α)＝cos x4，则sin 2α＝________．

15．[2023·河南省洛阳市六校高三试题]已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)，f(－)＝0，f(－x)＝f(＋x)，且f(x)在(，)上单调，则ω的最大值为________．

16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且6S＝(a＋b)2－c2，则tan C等于________．

三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)

[2023·山东省枣庄市滕州市月考]已知sin α＝4sin 2－2.

(1)求的值；

(2)若α∈(0，π)，β∈，tan2β＋6tanβ－1＝0，求α＋2β的值．

18．(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且图象上有一个最低点M.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间．

19.(本小题满分12分)

[2023·山东省菏泽市期中测试]已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，＝.

(1)求A；

(2)D为BC边上一点，DA⊥BA，且BD＝3DC，求cos C．

20．(本小题满分12分)

在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

(1)a的值；

(2)sin C和△ABC的面积．

条件①：c＝7，cos A＝－；

条件②：cos A＝，cos B＝.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

21.(本小题满分12分)

[2023·福建省龙岩市一级校联考]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2B－sin2C＝sinA sin C.

(1)证明：B＝2C；

(2)若A是钝角，a＝2，求△ABC面积的取值范围．

22．(本小题满分12分)

[2023·安徽六安一中周考]如图，某市管辖的海域内有一圆形离岸小岛，半径为1 km，小岛中心O到岸边AM的最近距离OA为2 km.该市规划开发小岛为旅游景区，拟在圆形小岛区域边界上某点B处新建一个浴场，在海岸上某点C处新建一家五星级酒店，在A处新建一个码头，且使得AB与AC垂直且相等，为方便游客，再建一条跨海高速通道OC连接酒店和小岛，设∠AOB＝α(0<α<π).

(1)设∠BAO＝β，试将sin β表示成α的函数；

(2)若OC越长，景区的辐射功能越强，问当α为何值时，OC最长？并求出该最大值．