（文科版）2024年高考数学第一轮复习全程考评特训单元检测(十一)

单元检测(十一)　概率与统计

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．[2023·江西省石城县高三月考]2022年7月24日，搭载问天实验舱的长征五号B遥三运载火箭，在我国文昌航天发射场成功发射，我国的航天事业又上了一个新的台阶．某校现有高一学生1 000人，高二学生800人，高三学生1 200人，为了调查该校学生对我国航天事业的了解程度，现从三个年级中采用分层抽样的方式抽取60人填写问卷调查，则高三年级有多少人被抽中(　　)

A.16    B．18    C．20    D．24

2．[2023·江西省西路片七校联考]现有苹果、桃子两种水果．假设苹果、桃子的个数之比为3∶1，其中青苹果与红苹果的个数之比为1∶1，黄桃与红桃的个数之比为1∶2，若从这批水果中随机拿取一个，则该水果为红苹果或红桃的概率是(　　)

A.    B．    C．    D．

3．[2023·江西省“红色十校”联考]下图是国家统计局7月发布的2021年6月至2022年6月规模以上工业原煤产量增速的月度走势，其中2022年1～2月看作1个月，现有如下说法：

①2021年10月至2022年3月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势；

②2021年6月至2022年6月，规模以上工业原煤产量增速的中位数为5.9；

③从这12个增速中随机抽取1个，增速超过10的概率为.

则说法正确的个数为(　　)

A.0    B．1    C．2    D．3

4．某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25 ℃，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间[20，25)(单位：℃)内，需求量为300瓶；如果最高气温低于20 ℃，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：

将最高气温位于各区间的频率视为最高气温位于该区间的概率，若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则x＝(　　)

A．100    B．300    C．400    D．600

5．某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2013年到2021年共9年“年货节”期间的销售额(单位：亿元)并作出散点图，将销售额y看成年份序号x(2013年作为第1年)的函数．运用Excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法中正确的个数为(　　)

①销售额y与年份序号x呈正相关关系；

②销售额y与年份序号x线性相关不显著；

③三次函数回归曲线的效果好于回归直线的拟合效果；

④根据三次函数回归曲线可以预测2022年“年货节”期间的销售额约为8 454亿元．

A．1    B．2

C．3    D．4

6．某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：

则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为(　　)

附：K2＝

A.90%    B．95%    C．99%    D．99.9%

7．[2023·广东省广州市高三月考]设A，B为两个事件，已知P(B)＝0.4，P(A)＝0.5，P(B|A)＝0.3，则P(B|)＝(　　)

A．0.3    B．0.4    C．0.5    D．0.6

8．[2023·西藏林芝市高三月考]若一组样本数据x1，x2，…，x100的方差为16，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x100－1的方差为(　　)

A．63    B．64    C．32    D．31

9．[2023·江西省赣州市七校联考]某学习小组用计算机软件对一组数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，8)进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程＝2x＋5，样本点的中心为(2，m).乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据(3，7)误输成(7，3)，数据(4，6)误输成(4，－6)，将这两个数据修正后得到回归直线方程＝kx＋，则实数k＝(　　)

A．    B．    C．    D．

10．[2023·甘肃省武威第一中学阶段性考试]下列说法：①样本相关系数r的取值范围是(－1，1)；②以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，将其变换后得到线性方程z＝0.3x＋4，则c，k的值分别是e4和0.3；③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为＝＋x中，＝2，＝1，＝3，则＝1；④若变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1且变量y与z正相关，则x与z也正相关．其中正确的个数是(　　)

A．1    B．2    C．3    D．4

11．[2023·河南省顶级名校月考]已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3.如果向该矩形内随机投一点P，那么使得△ABP与△ADP的面积都不小于2的概率为(　　)

A．    B．    C．    D．

12．[2023·江西省名校联考]已知三条直线l1：y＝x，l2：y＝3x－2，l3：y＝3x＋2，从这三条直线中任取两条，这两条直线都与函数f(x)＝x3的图象相切的概率为(　　)

A．    B．    C．    D．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．[2023·江西省景德镇质检]某校女子篮球队7名运动员的身高(单位：cm)分别为180、181、176、172、x、174、175，已知记录的平均身高为176 cm，但记录中有一名运动员身高因记录不清，而用x代替，那么x的值为________．

14．[2023·江西省景德镇质检]我市某小区有居民10 000人，若要按不同年龄段抽取一个500人的样本，其中抽取60岁以上的老年人120人，则该小区60岁以上老年人的人数为________．

15．[2023·上海市实验学校开学考]由一组样本点(1，1)、(2，1.2)、(3，2.1)、(4，2.7)、(5，3)，根据最小二乘法求得的回归方程为＝0.55x＋，则＝________．

16．[2023·江西省南昌市高三模拟]赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形组成)，如图(1)类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图(2)所示的形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝3AF，若向△ABC内随机投一粒芝麻(忽略该芝麻的大小)，则芝麻落在阴影部分的概率为(　　)

A．    B．    C．    D．

三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．[2023·陕西省渭南市摸底考试]我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能．常见的口罩有KN90和KN95两种．某口罩厂两条独立的生产线分别生产KN90和KN95两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分(满分100分)，规定总分不低于85分为合格，低于85分为次品，从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如下表：

(1)试分别估计两种口罩的合格率；

(2)假设生产一个KN90口罩，若质量合格，则盈利3元，若为次品，则亏损1元；生产一个KN95口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品，则亏损2元．将频率视为概率，求生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润和不少于8元的概率．

18．[2023·河南省开封市模拟]同时从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量分别为240、160、160(单位：件)，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取7件样品进行检测．

(1)求抽取的7件商品中，来自甲、乙、丙各地区的数量；

(2)设抽取的7件商品分别用A、B、C、D、E、F、G表示，现从中再随机抽取2件做进一步检测．

(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

(ⅱ)设M为事件“抽取的2件商品来自不同地区”，求事件M发生的概率．

19.[2023·河南省TOP二十名校调研]电机(或变压器)绕组采用的绝缘材料的耐热等级也叫绝缘等级，电机与变压器中常用的绝缘材料耐热等级分为如下7个级别：

某绝缘材料生产企业为测试甲、乙两种生产工艺对绝缘耐温的影响，分别从两种工艺生产的产品中各随机抽取50件，测量各件产品的绝缘耐温(单位：℃)，其频率分布直方图如下：

(1)若10月份该企业采用甲工艺生产的产品为65万件，估计其中耐热等级达到C级的产品数；

(2)若规定产品耐热等级达到C级为合格，除此之外均为不合格．完成以下表格，并判断是否有95%的把握认为测试结果与不同的生产工艺有关？

参考公式：K2＝，

其中n＝a＋b＋c＋d.

参考数据：

20．[2023·云南省玉溪市民族中学模拟]全民健身，强国有我，某企业为增强广大职工的身体素质和健康水平，组织全体职工开启了“学习强国”平台的强国运动项目，为了解他们的具体运动情况，企业工会从该企业全体职工中随机抽取了100名，统计他们的日均运动步数，并得到如图频率分布直方图：

(1)求直方图中a的值；

(2)估计该企业职工日均运动步数的平均数；(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)

(3)若该企业恰好有的职工的日均运动步数达到了企业制定的优秀强国运动者达标线，试估计该企业制定的优秀强国运动者达标线是多少？

21．[2023·江西省南昌市第八中学月考]每年9月第三周是国家网络安全宣传周．某中学为调查本校学生对网络安全知识的了解情况，组织了《网络信息辨析测试》活动，并随机抽取50人的测试成绩绘制了频率分布直方图如图所示：

(1)某学生的测试成绩是75分，你觉得该同学的测试成绩低不低？说明理由；

(2)将成绩在[60，100]内定义为“合格”；成绩在[0，60)内定义为“不合格”．请将下边的2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为网络安全知识的掌握情况与性别有关？

(3)在(2)的前提下，对50人按是否合格，利用分层抽样的方法抽取5人，再从5人中随机抽取2人，求恰好2人都合格的概率．

附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

22．(本小题满分10分)

[2023·重庆市第八中学校月考]多年来，清华大学电子工程系黄翔东教授团队致力于光谱成像芯片的研究，2022年6月研制出国际首款实时超光谱成像芯片，相比已有光谱检测技术，实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越，为制定下一年的研发投入计划，该研发团队为需要了解年研发资金投入量x(单位：亿元)对年销售额y(单位：亿元)的影响，结合近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据(i＝1，2，…，12)，该团队建立了两个函数模型：①y＝α＋βx2；②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数，经对历史数据的初步处理，得到散点图如图，令ui＝x，vi＝ln yi(i＝1，2，…，12)计算得如下数据：

(1)设{ui}和{yi}的相关系数为r1，{xi}和{vi}的相关系数为r2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；

(2)(ⅰ)根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01)；

(ⅱ)若下一年销售额y需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元？

附：①相关系数

r＝，回归直线＝a＋bx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

＝，＝＝；

②参考数据：308＝77×4，≈8.944 3，e4.382 0≈80.