（文科版）2024年高考数学第一轮复习全程考评特训单元检测(五)

单元检测(五)　平面向量

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．[2021·重庆市期末]已知a＝(2，1)，b＝(sin α，cos α)，若a⊥b，则tan α＝(　　)

A．    B．－    C．2    D．－2

2．[2021·北京市期末]已知向量a＝(1，)，向量b＝(－，)，则向量a与向量b的夹角为(　　)

A．60°    B．30°    C．120°    D．150°

3．[2021·北京市期末]设非零向量a，b，则“(a－b)·(a＋b)＝0”是“|a|＝|b|”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

4．[2023·江苏省徐州市高三上学期期中]已知a，b，c均为单位向量，且a＋2b－2c＝0，则b·c＝(　　)

A．    B．    C．    D．

5．[2023·山西省长治市月考]在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3＋＝0，点O在线段CD上(与点C，D不重合).若＝x＋，则x的取值范围是(　　)

A．    B．

C．    D．

6．[2023·湖南五校联考]已知x>0，y>0，a＝(x，1)，b＝(1，y－1)，若a⊥b，则＋的最小值为(　　)

A．4    B．9    D．8    D．10

7．[2023·河南省豫南九校联考]已知圆O的半径为2，AB为圆O的直径，点C在圆O上，若cos ∠BOC＝，则·＝(　　)

A．－    B．    C．－    D．

8.

[2023·沧州模拟]在△ABC中，＝3，D是BE上的点，若＝x＋，则实数x的值为(　　)

A．    B．－    C．    D．

9．[2021·辽宁铁岭市二模]△ABC的外接圆的半径等于3，AB＝4，则·的取值范围是(　　)

A．[－4，24]    B．[－8，20]

C．[－8，12]    D．[－4，20]

10．[2023·四川省成都市树德中学模拟]平面直角坐标系xOy中，A(2，0)，B(1，)，C(3，)，下列说法不正确的是(　　)

A．若＝x＋，则的最小值为

B．若＝x＋y＋，则的最大值为2

C．若＝x＋y，＋≤1，则点P表示的平面区域的面积为4

D．若＝x＋y＋z，＋＋z≤1，z≥0，则点P表示平面区域的面积为8

11．[2023·岐山模拟]已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，4)，t∈R，则|ta－b|的最小值为(　　)

A．　    B．　    C．2    D．10

12．[2023·辽宁省实验中学高三期中测试]数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线．若AB＝4，AC＝2，则下列各式不正确的是(　　)

A．·－4＝0

B．2＝－

C．·＋6＝0

D．＝＋＋

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．[2023·宁夏石嘴山市平罗中学高三模拟]已知向量a＝(1，2)，b＝(3，－1)，c＝(1，λ).若 c∥，则λ＝________．

14．[2023·北京海淀区模拟]已知正方形ABCD的边长为，若＝3，则·的值为________．

15．已知向量a＝(1，3)，b＝(sin α，cos α)，若a∥b，则tan ＝________．

16．[2023·江西省丰城中学考试]已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足||＝1，若＝m＋n，其中m、n∈R.则的最大值为__________．

三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)

[2023·江苏省盐城市检测]已知|a|＝1，a·b＝，(a＋b)·(a－b)＝.

(1)求|b|的值；

(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．

18．(本小题满分12分)

在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上．

(1)若＝，设＝λ＋μ，求λ·μ的值；

(2)若AB＝3，BC＝4，当·＝2时，求DF的长．

19.(本小题满分12分)

[2023·江苏省扬州中学高三考试]已知△ABO中，延长BA到C，使AC＝BA，D是将分成2∶1的一个分点，DC和OA交于E，设＝a，＝b.

(1)用a，b表示向量，.

(2)若＝λ，求实数λ的值．

20．(本小题满分12分)

[2023·安徽省示范高中联考]已知M，P，N是平面上不同的三点，点A是此平面上任意一点，则“M，P，N三点共线”的充要条件是“存在实数λ，使得＝λ＋”．此结论往往称为向量的爪子模型．

(1)给出这个结论的证明；

(2)在△OAB的边OA、OB上分别取点E、F，使＝，＝，连结BE、AF交于点G.设＝a，＝b.利用上述结论，求出用a、b表示向量的表达式．

21.(本小题满分12分)

[2023·湖南月考]已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C满足sin B sin C＝(sin2B＋sin2C－sin2A)tanA.

(1)求角A的大小；

(2)若△ABC的外接圆的圆心是O，半径是1，求·(＋)的取值范围．

22．(本小题满分12分)

[2023·山东济南月考]在平面中，已知向量a，b的夹角为，|a－b|＝6，向量c－a，c－b的夹角为，|c－a|＝2.

(1)求a与c的夹角；

(2)求a·c的最大值．