2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习60椭圆（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习60椭圆（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．[2024·河南郑州模拟]椭圆x2＋4y2＝1的焦距为( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \r(3)C．2eq \r(3) D．2eq \r(5)
2．已知椭圆C：eq \f(x2,3＋k)＋eq \f(y2,5－k)＝1的焦点在y轴上，则实数k的取值范围为( )
A．(－3，1) B．(1，5)
C．(－3，5) D．(1，3)
3．如图所示，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A．椭圆B．双曲线
C．抛物线D．圆
4．[2024·安徽蚌埠模拟]若椭圆C：eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2)＝1的离心率为eq \f(\r(6),3)，则椭圆C的长轴长为( )
A．6B．eq \f(2\r(6),3)或2eq \r(6)
C．2eq \r(6)D．2eq \r(2)或2eq \r(6)
5．曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与曲线eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,25－k)＝1(k<9且k≠0)的( )
A．长轴长相等B．短轴长相等
C．焦距相等D．离心率相等
6．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点(1，－eq \f(\r(3),2)b)，且C的离心率为eq \f(1,2)，则C的方程是( )
A．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1B．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1
C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1D．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1
7．[2024·河南安阳模拟]已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为eq \f(\r(6),3)，过坐标原点O作直线l交椭圆于A，B两点，若AF⊥BF，则直线l的方程为( )
A．y＝±eq \f(\r(3),2)xB．y＝±eq \f(\r(3),3)x
C．y＝±eq \r(3)xD．y＝±eq \r(2)x
8．(素养提升)[2024·辽宁辽阳模拟]已知A，B，C为椭圆D上的三点，AB为长轴，AB＝7，AC＝3，∠BAC＝60°，则D的离心率是( )
A．eq \f(2,11)B．eq \f(3\r(2),11)
C．eq \f(3,11)D．eq \f(\r(22),11)
二、多项选择题
9．(素养提升)已知椭圆M：eq \f(x2,4)＋y2＝1，若P在椭圆M上，F1，F2是椭圆M的左、右焦点，则下列说法正确的有( )
A．若|PF1|＝|PF2|，则∠PF1F2＝30°
B．△F1PF2面积的最大值为2
C．|PF1|－|PF2|的最大值为2eq \r(3)
D．满足△F1PF2是直角三角形的点P有4个
三、填空题
10．[2024·山西大同模拟]已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，且四边形PF1QF2的面积为eq \f(4,9)a2，则C的离心率为________．
11．(素养提升)[2024·山东东营模拟]如图，已知椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1的焦点为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为点Q.过点Q作y轴的垂线，垂足为N，若线段QN的中点为M，则点M的轨迹方程为________________．
四、解答题
12．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为C上一点且在第一象限．已知△MF1F2为等腰三角形，且|MF1|＝2|MF2|.
(1)求C的离心率；
(2)若△MF1F2的周长为10，求点M的坐标．
优生选做题
13．[2024·河北衡水模拟]已知：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积成比例，那么这两个几何体的体积也对应成比例．则椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)绕长轴旋转半周形成的几何体的体积为( )
A．eq \f(4,3)πa2bB．eq \f(4,3)πab2
C．eq \f(4,3)πa3D．eq \f(4,3)πb3
14．已知F1，F2是椭圆的焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
课后定时检测案60 椭圆
1．解析：先将椭圆x2＋4y2＝1化为标准方程x2＋eq \f(y2,\f(1,4))＝1，则a＝1，b＝eq \f(1,2)，c＝eq \r(a2－b2)＝eq \f(\r(3),2).故焦距为2c＝eq \r(3).故选B.
答案：B
2．解析：因为椭圆C：eq \f(x2,3＋k)＋eq \f(y2,5－k)＝1的焦点在y轴上，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3＋k>0，,5－k>0，,5－k>3＋k，))解得－3答案：A
3．解析：连接QA.由已知得|QA|＝|QP|，所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，知点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆，故选A.
答案：A
4．解析：当焦点在y轴时，由e＝eq \f(\r(6),3)＝eq \f(\r(2－m),\r(2))，解得m＝eq \f(2,3)，符合题意，此时椭圆C的长轴长为2eq \r(2)；当焦点在x轴时，由e＝eq \f(\r(6),3)＝eq \f(\r(m－2),\r(m))，解得m＝6，符合题意，此时椭圆C的长轴长为2eq \r(m)＝2eq \r(6).故选D.
答案：D
5．解析：曲线eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为eq \f(4,5)，焦距为8的椭圆．曲线eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,25－k)＝1(k<9且k≠0)表示焦点在y轴上，长轴长为2eq \r(25－k)，短轴长为2eq \r(9－k)，焦距为2eq \r(（25－k）－（9－k）)＝8，离心率为eq \f(4,\r(25－k))的椭圆．故选C.
答案：C
6．解析：由题可知，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)＋\f(3b2,4b2)＝1，,\f(c,a)＝\r(1－\f(b2,a2))＝\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝3，))所以椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.故选A.
答案：A
7．解析：由椭圆离心率为eq \f(\r(6),3)，知1－eq \f(b2,a2)＝(eq \f(\r(6),3))2，∴a2＝3b2，c2＝a2－b2＝2b2，由题意可设A(m，n)，B(－m，－n)，则eq \f(m2,3b2)＋eq \f(n2,b2)＝1，∴m2＋3n2＝3b2，由F(c，0)，AF⊥BF可得eq \f(n,m－c)×eq \f(－n,－m－c)＝－1，即m2＋n2＝c2＝2b2，结合m2＋3n2＝3b2可得2n2＝b2，故m2＝3n2，则eq \f(n,m)＝±eq \f(\r(3),3)，所以直线l的方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，故选B.
答案：B
8．解析：设椭圆D的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，如图，点C的横坐标为－(eq \f(7,2)－3cs60°)＝－2，纵坐标为3sin60°＝eq \f(3\r(3),2)，因为AB＝7，所以a＝eq \f(7,2)，将点C的坐标代入eq \f(x2,（\f(7,2)）2)＋eq \f(y2,b2)＝1，得eq \f(16,49)＋eq \f(27,4b2)＝1，解得b2＝eq \f(9×49,44)，故e＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \r(1－\f(9,11))＝eq \f(\r(22),11).故选D.
答案：D
9．解析：由椭圆方程知a＝2，b＝1，c＝eq \r(3)；
对于A，若|PF1|＝|PF2|，∵|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|＝|PF2|＝a＝2，
又|F1F2|＝2c＝2eq \r(3)，
∴cs∠PF1F2＝eq \f(|PF1|2＋|F1F2|2－|PF2|2,2|PF1|·|F1F2|)＝eq \f(12,4×2\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，
又0°<∠PF1F2<180°，∴∠PF1F2＝30°，A正确；
对于B，当P为短轴端点时，△F1PF2面积最大，最大值为eq \f(1,2)·2c·b＝bc＝eq \r(3)，B错误；
对于C，∵|PF2|∈[a－c，a＋c]，即|PF2|∈[2－eq \r(3)，2＋eq \r(3)]，
∴|PF1|－|PF2|＝2a－2|PF2|＝4－2|PF2|∈[－2eq \r(3)，2eq \r(3)]，即|PF1|－|PF2|的最大值为2eq \r(3)，C正确；
对于D，当PF1⊥F1F2或PF2⊥F1F2，即P(－eq \r(3)，eq \f(1,2))或(－eq \r(3)，－eq \f(1,2))或(eq \r(3)，eq \f(1,2))或(eq \r(3)，－eq \f(1,2))时，△F1PF2为直角三角形；
当PF1⊥PF2时，设P(x0，y0)，则＝x eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(0)) －3＋y eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(0)) ＝0，
∴x eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(0)) ＋y eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(0)) ＝3，又eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,4)＋y eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(0)) ＝1，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝\f(2\r(6),3),y0＝\f(\r(3),3)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝\f(2\r(6),3),y0＝－\f(\r(3),3)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝－\f(2\r(6),3),y0＝\f(\r(3),3)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝－\f(2\r(6),3)，,y0＝－\f(\r(3),3)，))
即P(eq \f(2\r(6),3)，eq \f(\r(3),3))或(eq \f(2\r(6),3)，－eq \f(\r(3),3))或(－eq \f(2\r(6),3)，eq \f(\r(3),3))或(－eq \f(2\r(6),3)，－eq \f(\r(3),3))；
综上所述：满足△F1PF2是直角三角形的点P有8个，D错误．
故选AC.
答案：AC
10．解析：因为点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，
所以四边形PF1QF2为矩形，即PF1⊥PF2，
所以＝2＝|PF1|·|PF2|，
由椭圆定义与勾股定理知：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝2a，,|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，))
所以|PF1|·|PF2|＝2b2，所以eq \f(4,9)a2＝2b2＝2(a2－c2)，所以eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),3)，即C的离心率为eq \f(\r(7),3).
答案：eq \f(\r(7),3)
11．解析：延长F2Q交F1P的延长线于点H，连接OQ，作图如下：
容易知点F2关于PQ的对称点为H，
故可得F1H＝F1P＋PH＝F1P＋PF2＝2a＝2eq \r(3)，
又因为O，Q分别为F1F2，F2H的中点，
故可得OQ＝eq \f(1,2)F1H＝eq \r(3)，
不妨设点M的坐标为(x，y)，故可得Q点的坐标为(2x，y)，
则eq \r(3)＝eq \r(（2x）2＋y2)，整理得eq \f(x2,\f(3,4))＋eq \f(y2,3)＝1(y≠0).
答案：eq \f(x2,\f(3,4))＋eq \f(y2,3)＝1(y≠0)
12．解析：(1)由题意可知，|MF1|＝|F1F2|＝2c，|MF2|＝2a－|MF1|＝2a－2c，
所以2c＝2(2a－2c)，得eq \f(c,a)＝eq \f(2,3)，即C的离心率为eq \f(2,3).
(2)△MF1F2的周长为2a＋2c＝10，即a＋c＝5，
eq \f(c,a)＝eq \f(2,3)，所以得a＝3，c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，
所以椭圆方程C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1.
设M(x0，y0)，则在△MF1F2中，|MF1|＝|F1F2|＝2c＝4，
所以|MF2|＝2a－|MF1|＝2a－2c＝2，得边MF2的高为eq \r(42－12)＝eq \r(15).
因为M在第一象限，所以＝eq \f(1,2)×4×y0＝eq \f(1,2)×2×eq \r(15)，得y0＝eq \f(\r(15),2)，
代入椭圆方程得eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,9)＋eq \f(15,5×4)＝1，得x0＝eq \f(3,2)，
所以M(eq \f(3,2)，eq \f(\r(15),2)).
13．解析：
将椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)和圆x2＋y2＝a2绕着x轴旋转半周后，利用垂直于x轴的平面去截椭球体与球体，设截面面积分别为S、S′，由x2＋y2＝a2，令x＝t，可得r′＝eq \r(a2－t2)，则S′＝π(a2－t2)，由eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，令x＝t，可得r＝eq \f(b,a)eq \r(a2－t2)，则S＝π(a2－t2)·eq \f(b2,a2)，球体的体积V′＝eq \f(4π,3)a3，则对于椭球体的体积V，有：eq \f(V′,V)＝eq \f(S′,S)＝eq \f(a2,b2)，V＝eq \f(V′·S,S′)＝eq \f(4π,3)a3·eq \f(b2,a2)＝eq \f(4π,3)ab2.故选B.
答案：B
14．解析：(1)设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
|PF1|＝m，|PF2|＝n.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncs60°.
∵m＋n＝2a，∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn，
∴4c2＝4a2－3mn.即3mn＝4a2－4c2.又mn≤(eq \f(m＋n,2))2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，
∴4a2－4c2≤3a2，∴eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,4)，即e≥eq \f(1,2)，
∴e的取值范围是[eq \f(1,2)，1).
(2)证明：由(1)，得mn＝eq \f(4（a2－c2）,3)＝eq \f(4,3)b2，
∴＝eq \f(1,2)mnsin60°＝eq \f(\r(3),3)b2，
面积表达式中的字母只含有b，可得：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．