2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习62抛物线（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习62抛物线（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．[2024·山东滨州模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点P(2，y0)到其焦点的距离为5，则p＝( )
A．3 B．4C．5 D．6
2．若抛物线C：x2＝2py(p>0)上的点P到焦点的距离为8，到x轴的距离为6，则抛物线C的标准方程是( )
A．x2＝4yB．x2＝6y
C．x2＝8yD．x2＝16y
3．[2024·广东深圳模拟]探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源放在焦点F处．已知灯口直径为60cm，光源距灯口的深度为40cm，则光源到反射镜的顶点的距离为( )
A．5cmB．10cm
C．15cmD．20cm
4．[2024·江西南昌模拟]抛物线C：y2＝－12x的焦点为F，P为抛物线C上一动点，定点A(－5，2)，则|PA|＋|PF|的最小值为( )
A．8 B．6C．5 D．9
5．[2024·北京海淀模拟]过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于点A，B，线段AB的中点C的横坐标为4，则AB长为( )
A．10 B．8C．5 D．4
6．[2024·广东梅州模拟]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点E(2，0)，线段EF与抛物线C相交于点M，若抛物线C在点M处的切线与直线2x＋y＋2＝0垂直，则抛物线C的方程为( )
A．x2＝3yB．x2＝12y
C．x2＝9yD．x2＝6y
7．[2024·江苏淮阴模拟]已知线段AB是抛物线y2＝4x的一条弦，且AB中点M在x＝1上，则点A横坐标( )
A．有最大值，无最小值
B．无最大值，有最小值
C．无最大值，无最小值
D．有最大值，有最小值
8．(素养提升)[2024·河北唐山模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，直线l：y＝k(x＋eq \f(p,2))(k>0)与C的一个交点为M，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，若sin∠MFO＝eq \f(\r(2),2)，则k＝( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2)C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),3)
二、多项选择题
9.
[2024·江苏常州模拟]已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为p1，p2，则( )
A．d>1B．p1＋p2＝2d
C．p1p2＝d2D．eq \f(1,p1)＋eq \f(1,p2)>eq \f(2,d)
10．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A∈l，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若eq \(FA,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，则( )
A．|eq \(BH,\s\up6(→))|＝eq \f(5,3)B．|eq \(AF,\s\up6(→))|＝4
C．|eq \(AF,\s\up6(→))|＝3|eq \(BH,\s\up6(→))|D．|eq \(AF,\s\up6(→))|＝4|eq \(BH,\s\up6(→))|
三、填空题
11．[2024·重庆沙坪坝模拟]设F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，点A在C上，过A作y轴的垂线，垂足为M，若|AF|－|AM|＝2，则p＝________．
12．[2024·河南安阳模拟]已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A，B在C上，且|AF|＝2，|BF|＝5，则|AB|＝________．
13．设F为抛物线y2＝8x的焦点，A，B，C为该抛物线上不同的三点，若eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))，O为坐标原点，则|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|＝________．
四、解答题
14．倾斜角为60°的直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点．
(1)求抛物线的准线方程；
(2)求△OAB的面积(O为坐标原点).
优生选做题
15．[2024·江西抚州模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为2，圆M：(x－1)2＋y2＝1，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则9|AP|＋4|BQ|的最小值为________．
16．[2024·河南周口模拟]已知抛物线y2＝2px(p>0)上有两点A，B，且直线AB过点(8，0)，∠AOB＝90°.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若抛物线上有一点Q，纵坐标为4，抛物线上另有两点M，N，且直线QM与QN的斜率满足kQM＋kQN＝0，△QMN重心的横坐标为4，求直线MN的方程．
课后定时检测案62 抛物线
1．解析：设抛物线的焦点为F，则|PF|＝5，由抛物线的定义知，|PF|＝2＋eq \f(p,2)＝5，解得p＝6.故选D.
答案：D
2．解析：由抛物线定义可得：6＋eq \f(p,2)＝8，解得p＝4，所以抛物线C的标准方程为x2＝8y.故选C.
答案：C
3．解析：以抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，设F(eq \f(p,2)，0)，则抛物线上一点的坐标为(eq \f(p,2)＋40，30)，代入抛物线方程y2＝2px(p>0)得302＝2p(eq \f(p,2)＋40)，解得p＝10(p＝－90舍去)，eq \f(p,2)＝5，所以光源到反射镜的顶点的距离为5cm.故选A.
答案：A
4．解析：如图，设抛物线C的准线为l，过P作PC⊥l于C，过A作AB⊥l于B，因为|PF|＝|PC|，所以当A，P，C三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值，故|PA|＋|PF|的最小值为|－5|＋eq \f(p,2)＝8.故选A.
答案：A
5．解析：
AB中点为C，则xC＝4，过A，B，C分别做准线x＝－1的垂线，垂足分别为M，N，D，因为C为AB中点，则易知CD为梯形AMNB的中位线，而|CD|＝xC＋1＝5，所以|AM|＋|BN|＝2|CD|＝10.根据抛物线定义可知|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝10.故选A.
答案：A
6．解析：抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F(0，eq \f(p,2))，设点M的坐标为(x0，y0)，抛物线方程变形为y＝eq \f(x2,2p)，由y′＝eq \f(x,p)，所以抛物线C在点M处的切线斜率为eq \f(x0,p)，由抛物线C在点M处的切线与直线2x＋y＋2＝0垂直，得eq \f(x0,p)＝eq \f(1,2)，即x0＝eq \f(1,2)p，所以y0＝eq \f(1,8)p.因为点M在线段EF上，所以eq \f(y0－\f(p,2),x0－0)＝eq \f(0－\f(p,2),2－0)，所以－eq \f(3,4)＝－eq \f(p,4)，解得p＝3，所以抛物线C的方程为x2＝6y.故选D.
答案：D
7．解析：由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线范围可知，x≥0，所以如图1，当点A在原点时横坐标有最小值，为0，由AB中点M在x＝1上，可知eq \f(x1＋x2,2)＝1，即x1＝2－x2，所以x1≤2，即如图2，当点B在原点时，点A横坐标有最大值，为2.故选D.
答案：D
8．解析：如图，
抛物线C的准线n：x＝－eq \f(p,2)，
直线n与x轴交于点A(－eq \f(p,2)，0)，
过点M作准线n的垂线，垂足为Q，由抛物线的性质可得|MF|＝|MQ|，
所以eq \f(|MQ|,|MA|)＝eq \f(|MF|,|MA|)＝eq \f(sin∠MAF,sin∠MFA)＝eq \f(sin∠MAF,\f(\r(2),2))，
又eq \f(|MQ|,|MA|)＝cs∠QMA＝cs∠MAF，
所以eq \f(sin∠MAF,\f(\r(2),2))＝cs∠MAF，
故tan∠MAF＝eq \f(sin∠MAF,cs∠MAF)＝eq \f(\r(2),2)，即k＝eq \f(\r(2),2).故选C.
答案：C
9．解析：动圆C与圆A和直线l都相切，当圆C与圆A相外切时，取到A的距离为d＋1，且平行于l的直线l1，则圆心C到A的距离等于圆心C到l1的距离，由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以A为焦点，以l1为准线的抛物线；当圆C与圆A相内切时，取到A的距离为d－1，且平行于l的直线l2，则圆心C到A的距离等于圆心C到l2的距离，由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以A为焦点，以l2为准线的抛物线；所以p1＝d＋1，p2＝d－1，当d<1时，抛物线不完整，所以d>1，p1＋p2＝2d，p1p2＝d2－1，eq \f(1,p1)＋eq \f(1,p2)＝eq \f(1,d＋1)＋eq \f(1,d－1)＝eq \f(2d,d2－1)>eq \f(2d,d2)＝eq \f(2,d)，故选ABD.
答案：ABD
10．解析：
抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)，准线l为x＝－1，设准线l与x轴交于点M，∵eq \(FA,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，由△ABH与△AFM相似得：eq \f(|BH|,|MF|)＝eq \f(|AB|,|AF|)＝eq \f(2,3)，∵|MF|＝2，∴|BH|＝eq \f(2,3)×2＝eq \f(4,3)，即|eq \(BH,\s\up6(→))|＝eq \f(4,3)，故A错误；由抛物线定义得|BF|＝|BH|，∴|AF|＝3|BF|＝3|BH|＝4，即|eq \(AF,\s\up6(→))|＝4，|eq \(AF,\s\up6(→))|＝3|eq \(BH,\s\up6(→))|，故BC正确，D错误．故选BC.
答案：BC
11．解析：由抛物线的定义知|AF|－|AM|＝eq \f(p,2)，所以eq \f(p,2)＝2，p＝4.
答案：4
12．解析：由题意知F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由|AF|＝2，得x1＋1＝2，得x1＝1，代入C：y2＝4x，得y1＝±2，所以A(1，2)或A(1，－2).由|BF|＝5，得x2＋1＝5，得x2＝4，代入C：y2＝4x，得y2＝±4，所以B(4，4)或B(4，－4).
根据抛物线的对称性可得|AB|＝eq \r(13)或|AB|＝3eq \r(5).
答案：eq \r(13)或3eq \r(5)
13．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，易知p＝4，F(2，0)，则eq \(FA,\s\up6(→))＝(x1－2，y1)，eq \(FB,\s\up6(→))＝(x2－2，y2)，eq \(FC,\s\up6(→))＝(x3－2，y3).因为eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))，所以x1－2＋x2－2＋x3－2＝2，即x1＋x2＋x3＝8.由抛物线的定义可得|eq \(FA,\s\up6(→))|＝x1＋2，|eq \(FB,\s\up6(→))|＝x2＋2，|eq \(FC,\s\up6(→))|＝x3＋2，所以|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|＝x1＋x2＋x3＋6＝14.
答案：14
14．解析：(1)由已知可得，p＝2，焦点在x轴上，
所以抛物线的准线方程为x＝－1.
(2)∵抛物线的方程为y2＝4x，∴抛物线的焦点F坐标为F(1，0).
又∵直线l的倾斜角为60°，所以斜率为eq \r(3)，
∴直线AB的方程为：y＝eq \r(3)(x－1).
代入抛物线方程消去y并化简得3x2－10x＋3＝0.
解法一 解得x1＝eq \f(1,3)，x2＝3，
所以|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋3)×|3－eq \f(1,3)|＝eq \f(16,3).
又点O到直线eq \r(3)x－y－eq \r(3)＝0的距离为d＝eq \f(\r(3),2)，
所以S△OAB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×eq \f(16,3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(4\r(3),3).
解法二 Δ＝100－36＝64>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(10,3)，
过A，B分别作准线x＝－1的垂线，设垂足分别为C，D，如图所示．
|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝eq \f(16,3).
点O到直线eq \r(3)x－y－eq \r(3)＝0的距离为d＝eq \f(\r(3),2)，
所以S△OAB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×eq \f(16,3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(4\r(3),3).
15．解析：因为抛物线的焦点到准线的距离为2，所以p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x，
如图，|PF|＝|QF|＝1，
因为9|AP|＋4|BQ|＝9(|AF|－|PF|)＋4(|BF|－|QF|)＝9|AF|＋4|BF|－13，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋1，|BF|＝x2＋eq \f(p,2)＝x2＋1，
所以9|AP|＋4|BQ|＝9x1＋4x2，
因为直线l水平时显然不合题意，故可设l：x＝my＋1，
因为直线所过定点F(1，0)在抛物线内部，则直线l必然与抛物线有两交点，同样与圆也有两交点，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,x＝my＋1，))x2－(2＋4m2)x＋1＝0，所以x1x2＝1，
所以9|AP|＋4|BQ|＝9x1＋4x2≥2eq \r(36x1x2)＝12，
当且仅当9x1＝4x2，即x1＝eq \f(2,3)，x2＝eq \f(3,2)时取等号，
所以9|AP|＋4|BQ|的最小值为12.
答案：12
16．解析：(1)由题意知直线AB的斜率不可能为0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋8，
由∠AOB＝90°得，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，即x1x2＋y1y2＝0，
即eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,2p)·eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,2p)＋y1y2＝0，即y1y2＋4p2＝0，
将x＝my＋8代入y2＝2px，得y2＝2p(my＋8)，
则y2－2pmy－16p＝0，则y1y2＝－16p，
则4p2－16p＝0，由p>0，解得p＝4，
故所求抛物线的标准方程为y2＝8x.
(2)由抛物线方程可得Q点坐标为(2，4)，设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则kQM＋kQN＝eq \f(y3－4,x3－2)＋eq \f(y4－4,x4－2)＝eq \f(y3－4,\f(（y3）2,8)－2)＋eq \f(y4－4,\f(（y4）2,8)－2)＝eq \f(8,y3＋4)＋eq \f(8,y4＋4)＝0，
则y3＋y4＋8＝0，且eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝8x3，,y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝8x4，))则(y3)2－(y4)2＝8(x3－x4)，
故kMN＝eq \f(y3－y4,x3－x4)＝eq \f(8,y3＋y4)＝－1.又eq \f(2＋x3＋x4,3)＝4，
则x3＋x4＝10，又y3＋y4＝－8，可得直线MN的中点坐标为(5，－4)，
故由点斜式得直线MN的方程为y＋4＝－(x－5)，即x＋y－1＝0.