2024版新教材高考数学复习特训卷考点过关检测11数列的求和

考点过关检测11 数列的求和

1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an，n∈N*，数列{bn}是等差数列，且b1＝a2，b3＝a2＋a3＋a4.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Sn.

2．[2022·新高考Ⅰ卷] 记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．

(1)求{an}的通项公式；

(2)证明：＋＋…＋<2.

3．[2022·安徽省宿州市苐三中学高二期末]已知数列{an}的前n项和为Sn，数列是以－9为首项，1为公差的等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.

4．[2023·山东泰安模拟]已知数列{an}单调递增，其前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＝＋n.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝an·3－1，求数列{bn}的前n项和为Tn.

5．[2020·新高考Ⅰ卷]已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.

(1)求{an}的通项公式；

(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100.

6．[2023河北邯郸模拟]在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a3，a9成公比为a3的等比数列，又数列{bn}满足bn＝(k∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{bn}的前n项和Tn.

考点过关检测11　数列的求和

1．解析：（1）因为数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an，n∈N*，

所以数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列，所以an＝a1qn－1＝2n－1，

即数列{an}的通项公式为an＝2n－1，

设等差数列{bn}的公差为d，由b1＝a2＝2，b3＝a2＋a3＋a4＝2＋4＋8＝14，

得，解得d＝6，所以bn＝b1＋（n－1）d＝6n－4，

即数列{bn}的通项公式为bn＝6n－4.

（2）由（1）可知cn＝an＋bn＝2n－1＋6n－4，

所以数列{cn}的前n项和

Sn＝（1＋2＋…＋2n－1）＋[2＋8＋…＋（6n－4）]＝＋＝2n＋3n2－n－1，即Sn＝2n＋3n2－n－1.

2．解析：（1）∵a1＝1，∴S1＝a1＝1，∴＝1，

又∵是公差为的等差数列，

∴＝1＋（n－1）＝，∴Sn＝，

∴当n≥2时，Sn－1＝，

∴an＝Sn－Sn－1＝－，

整理得：（n－1）an＝（n＋1）an－1，

即＝，

∴an＝a1×××…××

＝1×××…××＝，

显然对于n＝1也成立，

∴{an}的通项公式an＝.

（2）证明：＝＝2（－），

∴＋＋…＋＝2[（1－）＋（－）＋…（－）]＝2（1－）<2.

3．解析：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

则＝－9＋（n－1）×1＝n－10，所以Sn＝n2－10n，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[（n－1）2－10（n－1）]＝2n－11，

又a1＝－9也符合上式，

故数列{an}的通项公式为an＝2n－11.

（2）当n≤5时，an＝2n－11<0，∴数列{|an|}的前n项和Tn＝－Sn＝10n－n2；

当n>5时，an＝2n－11>0，

∴数列{|an|}的前n项和Tn＝－（a1＋a2＋a3＋a4＋a5）＋a6＋a7＋a8＋…＋an

＝－2（a1＋a2＋a3＋a4＋a5）＋Sn

＝－2S5＋Sn，

∴Tn＝－2×（25－50）＋n2－10n＝n2－10n＋50.

综上所述：Tn＝（n∈N*）

4．解析：（1）因为Sn＝＋n，所以当n≥2时，Sn－1＝＋n－1，

所以当n≥2时，Sn－Sn－1＝＋1＝an，

整理得（an－2）2＝a，

因为数列{an}单调递增，且a1＝2，所以当n≥2时，an－2>0，an－1>0，

所以当n≥2时，an－2＝an－1，即an－an－1＝2，

所以数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列．

所以an＝2＋2（n－1）＝2n.

（2）bn＝2n·3n－1，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2（1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n）－n，

设Bn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，则3Bn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1，

所以－2Bn＝31＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1＝（－n）3n＋1－，

所以2Bn＝（n－）3n＋1＋，

所以Tn＝2Bn－n＝（n－）3n＋1－n＋.

5．解析：（1）由于数列{an}是公比大于1的等比数列，设首项为a1，公比为q，依题意有，解得a1＝2，q＝2，或a1＝32，q＝（舍），

所以an＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.

（2）由于21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，所以

b1对应的区间为：（0，1]，则b1＝0；

b2，b3对应的区间分别为：（0，2]，（0，3]，则b2＝b3＝1，即有2个1；

b4，b5，b6，b7对应的区间分别为：（0，4]，（0，5]，（0，6]，（0，7]，则b4＝b5＝b6＝b7＝2，即有22个2；

b8，b9，…，b15对应的区间分别为：（0，8]，（0，9]，…，（0，15]，则b8＝b9＝…＝b15＝3，即有23个3；

b16，b17，…，b31对应的区间分别为：（0，16]，（0，17]，…，（0，31]，则b16＝b17＝…＝b31＝4，即有24个4；

b32，b33，…，b63对应的区间分别为：（0，32]，（0，33），…，（0，63]，则b32＝b33＝…＝b63＝5，即有25个5；

b64，b65，…，b100对应的区间分别为：（0，64]，（0，65]，…，（0，100]，则b64＝b65＝…＝b100＝6，即有37个6.

所以S100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480.

6．解析：（1）公差d不为0的等差数列{an}中，a1，a3，a9成公比为a3的等比数列，

所以a＝a1a9，则a＝a1a3a3，解得a1＝1，

在公差不为0的等差数列{an}中，由a＝a1a9，可得（a1＋2d）2＝a1（a1＋8d），

代入a1＝1，可得（1＋2d）2＝1＋8d，整理可得4d2－4d＝0，解得a1＝d＝1，

所以an＝n，n∈N*.

（2）由（1）可得bn＝，（k∈N*），

当n为偶数时，Tn＝（2＋8＋32＋…＋2n－1）＋（4＋8＋12＋…＋2n）

＝＋＝＋；

当n为奇数时，

Tn＝Tn－1＋bn＝＋＋2n＝＋－.

所以Tn＝