数学必修 第一册4.2 指数函数达标测试

4.2.1《指数函数的概念)》

分层练习

考查题型一  指数函数的概念及判断

1．下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】指数函数解析式为且，

对于①②④，、和不符合指数函数解析式特征，①②④错误；

对于③，符合指数函数解析式特征，③正确.

故选：B.

2．已知指数函数的图像经过点，则      ．

【答案】/0.5

【详解】设（，且），由于其图像经过点 ，

所以，解得或（舍去），

因此，故 .

故答案为：.

3.已知函数．

(1)若函数的图象过点，求实数a的值；

(2)求关于x的不等式的解集．

【答案】(1)；(2).

【详解】（1）因为函数的图象过点，则，

又∵，∴．

（2）由可得，∵，∴，解得，

即不等式的解集为．

考查题型二  根据指数函数的概念求参数问题

1.若函数为指数函数，则（    ）

A．或 B．且

C． D．

【答案】C

【详解】因为函数为指数函数，

则，且，解得，

故选：C.

2.已知函数和都是指数函数，则      .

【答案】

【详解】因为函数是指数函数，所以，

由是指数函数，所以，所以，

故答案为：.

(多选题)3.函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】ACD

【详解】由指数函数的定义知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3.

故选：ACD.

4.已知函数是指数函数.

(1)求实数的值；

(2)判断的奇偶性，并加以证明.

【答案】(1)；(2)是偶函数，证明见解析.

【详解】（1）由函数是指数函数可得，解得

（2）是偶函数，

证明：由（1）可得，所以，定义域为

∵，

∴是偶函数.

考查题型三  指数函数的实际应用

1.碳14的半衰期为5730年，那么碳14的年衰变率为（    ）

A． B．25730 C． D．

【答案】C

【详解】设碳14的年衰变率为m，原有量为1，则，故，

所以碳14的年衰变率为.

故选：C

2.据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近年内减少了，如果按此速度，设2022年的冬季冰雪覆盖面积为，从2022年起，经过年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积与的函数关系式是（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【详解】设北冰洋冬季冰盖面积为上一年的倍，

则，，

所以设2022年的冬季冰雪覆盖面积为，从2022年起，经过年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积与的函数关系式是，故选：C.

3.当物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中称为环境温度，称为半衰期，现有一杯的热水，放在的房间中，如果水温降到需要分钟．那么在16环境下，水温从降到时，需要       分钟．

【答案】20

【详解】由已知可得，

由题意知，即，

解得，

当时，

由，得．

解得，

故答案为：.

4.某海滨城市现有人口100万人，如果年平均自然增长率为.解答下面的问题：

(1)写出该城市人口数y（万人）与经过年数x（年）的函数关系；

(2)计算10年后该城市的人口总数（精确到0.1万人）；

(3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人（精确到1年）．

【答案】(1)；(2)112.7（万人）；(3)16年.

【详解】（1）1年后该城市人口总数为，

2年后该城市人口总数为，

3年后该城市人口总数为，……

x年后该城市人口总数为．

（2）10年后该城市人口总数为（万人）．

（3）设x年后人口将达到120万人，

即可得到，

，所以大约16年后该城市人口总数达到120万人．

5．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年．

(1)求森林面积的年增长率；

(2)到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？

【答案】(1)；(2).

【详解】（1）设森林面积的年增长率为，根据题意可得：，

即，则，故.故森林面积的年增长率为.

（2）设该地已经植树造林年，根据题意可得：，

即，则，解得.故该地已经植树造林年.

1．若函数是指数函数，则等于（    ）

A．或     B．      C． D．

【答案】C

【详解】由题意可得，解得.

故选：C.

(多选题)2．若函数，且）是指数函数，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【详解】解：因为函数是指数函数，所以，所以，所以，所以，，故B、D错误，A．C正确．

故选.

【点睛】本题考查指数函数的定义，及函数值的求解，属于基础题．

3．写出一个同时具有性质①②③的函数         ．

①；②当时，；③是增函数．

【答案】（写一个满足，的即可）.

【详解】当，时，

所以定义域为R，且恒成立，且是增函数，

又因为，

所以，符合题意.

所以可以是满足，的即可，如：（或、、等）.

故答案为：.