人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数精练

4.2　指数函数

4.2.1　指数函数的概念

基础过关练

　题组一　指数函数的概念及应用

1.在指数函数y=(2a-1)x中,实数a的取值范围是(　　)

A.a>0且a≠1　　　　　　B.a≥0且a≠1

C.a>且a≠1　　　　　　D.a≥

2.(2020湖南湘南中学期中)已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1), f(2)=4,则函数f(x)的解析式是(　　)

A.f(x)=2x　　　　　　B.f(x)=

C.f(x)=4x　　　　　　D.f(x)=

3.(2022山西大同期中)若函数y=(a2-4a+4)·ax是指数函数,则(　　)

A.a=1或a=3　　 　B.a=1       C.a=3　　　 　D.a>0且a≠1

4.(2020北京石景山期末)已知函数f(x)是指数函数,如果f(3)=9f(1),那么f(8)　　　 f(4)(填“>”“=”或“<”). 

题组二　指数型函数模型

5.某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x年后,若人均一年占有y千克粮食,则y关于x的解析式为(　　)

A.y=360-1　　　　　　B.y=360×1.04x

C.y=　　　　　      D.y=360

6.(2022山西太原五中月考)衣柜里的樟脑丸的体积会随着时间挥发而缩小,刚放进的新丸的体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·2-kt.已知新丸经过50天后,体积变为a.若一个新丸的体积变为a,则经过的天数为(　　)

A.125　　　　　B.100　　　　　C.75　　　　　D.50

7.某科研单位在研发某种合金产品的过程中发现了一种新型合金材料,由大数据分析得到该产品的性能指标值y(y值越大产品性能越好)与这种新型合金材料的含量x(单位:克)的关系:当0≤x<8时,y是x的二次函数;当x≥8时,y=.测得的部分数据如下:

则y关于x的函数解析式为　　　　. 

8.光线通过1块玻璃,强度要损失10%,设光线原来的强度为k,通过x块这样的玻璃以后强度变为y.

(1)写出y关于x的函数解析式;

(2)通过20块这样的玻璃后,光线强度约为多少?

(参考数据:0.919≈0.14,0.920≈0.12)

答案全解全析

基础过关练

1.C　由题意得解得a>且a≠1.

2.A　由f(2)=4得a2=4,又a>0,所以a=2,即f(x)=2x.故选A.

3.C　若函数y=(a2-4a+4)ax是指数函数,则a2-4a+4=1,a>0,且a≠1,解得a=3.

故选C.

4.答案　>

解析　由函数f(x)是指数函数,可设f(x)=ax(a>0,且a≠1),则f(3)=a3, f(1)=a.

因为f(3)=9f(1),所以a3=9a,又a>0,

所以a=3,所以f(x)=3x,

因此f(4)=34, f(8)=38=34×34>34=f(4),

所以f(8)>f(4).

5.D　设该乡镇现在人口数为M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克,

1年后,该乡镇粮食总产量为360M(1+4%)千克,人口数为M(1+1.2%),

则人均占有粮食千克,

2年后,人均占有粮食千克,

……

经过x年后,人均占有粮食千克,

则所求解析式为y=360.

6.C　由已知,得a=a·2-50k,∴2-k=.

设经过t1天后,一个新丸的体积变为a,

则a=a·,∴==,∴=,∴t1=75.

故选C.

7.答案　y=

解析　由当0≤x<8时,y是x的二次函数,可设y=ax2+bx+c(a≠0),

由题表数据可知,当x=0时,y=-4,故c=-4,

当x=2时,y=4,故4a+2b+c=4,当x=4时,y=4,故16a+4b+c=4,

所以a=-1,b=6,故y=-x2+6x-4(0≤x<8);

当x≥8时,y=,由x=12时,y=,可得t=10,即y=(x≥8).

综上,y=

8.解析　(1)光线通过1块玻璃后强度变为(1-10%)·k=0.9k;

光线通过2块玻璃后强度变为(1-10%)·0.9k=0.92k;

光线通过3块玻璃后强度变为(1-10%)·0.92k=0.93k;

……

光线通过x块玻璃后强度变为0.9xk,

∴y=0.9xk(x∈N*).

(2)将x=20代入函数解析式,

得y=0.920k≈0.12k,

即光线强度约为0.12k.