人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式课时训练

5.3 诱导公式

一．选择题（共3小题）

1．已知函数，给出下列四个说法：

①若，则；

②的最小正周期是；

③在区间，上是增函数；

④的图象关于直线对称．

其中正确说法的个数为　　

A．4 B．3 C．2 D．1

2．已知，则（1）（2）（3）　　

A． B．2 C． D．

3．给定函数①，②，③中，偶函数的个数是　　

A．3 B．2 C．1 D．0

二．填空题（共5小题）

4．依据三角函数线，作出如下四个判断，其中正确的是　 　

① ；  ②； ③；  ④ ．

5．已知，，，，为非零实数），，则　 　．

6．　　．

7．设，其中，，，为非零常数．若，则　　．

8．若，则计算所得的结果为　 　．

三．解答题（共4小题）

9．（1）已知角终边经过点，求的值？

（2）已知函数，在的最大值为，最小值为，求的值？

10．已知的三个内角，，满足，，求角，，的大小．

11．，

（1）求的最小正周期、最小值、图象对称轴方程；

（2）若，，，求的值．

12．设函数，

（Ⅰ）求（1）（2）；

（Ⅱ）令，若任意，，恒有，求的值．

                                5.3诱导公式

参考答案与试题解析

一．选择题（共3小题）

1．已知函数，给出下列四个说法：

①若，则；

②的最小正周期是；

③在区间，上是增函数；

④的图象关于直线对称．

其中正确说法的个数为　　

A．4 B．3 C．2 D．1

【分析】化简函数为：，利用奇函数判断①的正误；周期公式可求周期判断②的正误；利用单调性判断③，对称性判断④的正误即可．

【解答】解：，

因为它是奇函数，，所以①正确；

的最小正周期是，②不正确；

③利于，可解得函数在区间，上是增函数；正确；

④当时取得了最小值，故是对称轴，所以正确．

故选：．

【点评】本题是基础题，考查三角函数式的化简，基本函数的性质，掌握基本函数的性质是本题解答的根据，强化基本知识的学习，才能提高数学知识的应用．

2．已知，则（1）（2）（3）　　

A． B．2 C． D．

【分析】根据周期公式求出函数的周期，求出（1）（2）的值，由所求式子的项数除以12，根据余数为8即可得到所求式子化简后的式子为（1）（2）（8），其余各项为0，求出（1）（2）（8）的值即为原式的值．

【解答】解：，则的值12个一循环，

即：（1）（2），

由（1）（2）（3）共2012个加数，即2012个项，且的余数是8，

原式（1）（2）（8）．

故选：．

【点评】此题考查了余弦函数的周期性，及函数值的求法．找出的周期是解本题的关键．

3．给定函数①，②，③中，偶函数的个数是　　

A．3 B．2 C．1 D．0

【分析】把三个函数利用诱导公式化简后，把换成求出的函数值与相等还是不相等，来判断函数是否为偶函数，即可得到偶函数的个数即可．

【解答】解：对于①，是偶函数，故①正确；

对于②，是偶函数，故②正确；

对于③，

，

函数是偶函数，故③正确．

故选：．

【点评】此题考查学生灵活运用诱导公式化简求值，掌握判断函数的奇偶性的方法，是一道中档题．

二．填空题（共5小题）

4．依据三角函数线，作出如下四个判断，其中正确的是　②④　

① ；  ②； ③；  ④ ．

【分析】根据诱导公式、三角函数的单调性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

【解答】解：①，错误，因为；

根据诱导共式，②正确；

根据在上单调递增，故③错误；

根据在， 上单调递减，可得④正确．

故答案为：②④．

【点评】本题主要考查诱导公式、三角函数的单调性，属于基础题．

5．已知，，，，为非零实数），，则　3　．

【分析】由条件利用诱导公式求得，再利用诱导公式化简，运算求得结果．

【解答】解：，

，

故，

故答案为：3．

【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于中档题．

6．　　．

【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．

【解答】解：原式．

故答案为：

【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．

7．设，其中，，，为非零常数．若，则　1　．

【分析】根据，以及解析式列出等式，再将代入中，表示出，变形后利用诱导公式化简，将得出的等式代入计算即可求出值．

【解答】解：根据题意得：，

则．

故答案为：1

【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．

8．若，则计算所得的结果为　　．

【分析】直接利用诱导公式化简表达式，代入求解即可．

【解答】解：

．

故答案为：．

【点评】本题考查诱导公式以及特殊角的三角函数值的求法，考查计算能力．

三．解答题（共4小题）

9．（1）已知角终边经过点，求的值？

（2）已知函数，在的最大值为，最小值为，求的值？

【分析】（1）利用三角函数的定义求出正切函数值，利用诱导公式化简所求表达式为正切函数形式，代入求解即可．

（2）通过角的范围求解得到，利用最值求解、即可．

【解答】解：（1）角终边经过点，（2分）

（6分）

（2）（7分）

（9分）

并且在的最大值为，最小值为

，（11分）

解得：（12分）

．（13分）

【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查计算能力．

10．已知的三个内角，，满足，，求角，，的大小．

【分析】由，化为．，可得，利用平方关系可得：，由已知可得，都为锐角，可得．又由，可得，．

【解答】解：，，①

，，②

①②可得：，，

，由②可知：与同号．

因此，都为锐角，

，

．

又由，

，

．

．

，，．

【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

11．，

（1）求的最小正周期、最小值、图象对称轴方程；

（2）若，，，求的值．

【分析】（1）利用两角和与差的正弦与余弦及辅助角公式可求得，从而可求得的最小正周期、最小值、图象对称轴方程；

（2）易求；依题意，可求得，，利用两角差的正弦可求得，从而可得

的值．

【解答】解：（1）

，

的最小正周期，，

由得，图象对称轴方程；

（2）．

又，，

，

，

又，，

，

，

，

．

【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，考查两角和与差的正弦与余弦及辅助角公式，考查转化思想与综合运算求解能力，属于难题．

12．设函数，

（Ⅰ）求（1）（2）；

（Ⅱ）令，若任意，，恒有，求的值．

【分析】（Ⅰ），依题意知是以4为周期的函数，（1）（2）（3）（4），从而可求得（1）（2）的值；

（Ⅱ）依题意，，，从而将所求关系式转化为，即可求得其值．

【解答】解：（Ⅰ），

，

是以4为周期的函数，

（1），（2），（3），（4），

（1）（2）（3）（4），又，

（1）（2）（1）；

（Ⅱ），

，

．

【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，考查函数的周期性，求得是难点，突出转化思想与运算能力的考查。