初中数学苏科版八年级上册3.2 勾股定理的逆定理习题

3.2 勾股定理的逆定理

一、单选题

1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是　　

A．3， 4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12

2．三角形的三边长为，则这个三角形是（    ）

A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形

3．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）

A．∠A+∠C＝∠B B．a＝，b＝，c＝

C．（b+a）（b﹣a）＝c2 D．∠A：∠B：∠C＝5：3：2

4．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ）

A．4,5,6 B．1.5,2，2.5 C．2,3,4 D．1，， 3

5．五根小木棒，其长度分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（     ）

A．  B．  C．  D．

6．如图，正方形小方格的边长为1，则网格中的是（    ）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对

7．下列命题中，是假命题的是(    )

A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形

B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形

C．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形

D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形

8．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）

A．a：b：c＝3：4：5 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5

C．∠A+∠B＝∠C D．a：b：c＝1：2：

9．由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　）

A． B．

C． D．

10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

11．已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于_____．

12．已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为      

13．如图，点A、B、C分别是正方体展开图的小正方形的顶点，则∠BAC的大小为_____．

14．已知a、b、c是△ABC的三边长且c=5，a、b满足关系式+（b﹣3）2=0，则△ABC的形状为_______三角形．

15．如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，若BD2+CE2=DE2，则∠A的度数为___________．

三、解答题

16．如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°．

（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．

（2）求四边形ABCD的面积.

17．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，DE分别交BC、AB于点D、E.

(1)求证：△ABC为直角三角形．

(2)求AE的长．

18．一艘轮船以30千米/时的速度离开港口，向东南方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以40千米/时的速度航行，它们离开港口一个半小时后相距75千米，求第二艘船的航行方向．

19．如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．

20．若的三边a，b，c满足，求的面积．

21．阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状．

（解析）解：∵，

∴

∴

∴△ABC是直角三角形------------------------(C)

问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：             ；

（2）错误的原因为：                  ；   

（3）从错误的那一步起写出正确完整过程．

22.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．

（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；

（2）求新路CH比原路CA少多少千米？

答案

一、单选题

A．C．B.B．C．A．C.B.C．A．

二、填空题

11．．

12．等腰直角三角形．

13．45°．

14．直角．

15．135．

三、解答题

16．

（1）∠D是直角．理由如下：

连接AC．

∵AB=20，BC=15，∠B=90°，

∴由勾股定理得AC2=202+152=625．

又∵CD=7，AD=24，

∴CD2+AD2=625，

∴AC2=CD2+AD2，

∴∠D=90°．

（2）四边形ABCD的面积=AD•DC+AB•BC=×24×7+×20×15=234．

17．

（1）证明：∵△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，

又∵42+32=52，

即AB2+AC2=BC2，

∴△ABC是直角三角形；

（2）证明：连接CE． 

∵DE是BC的垂直平分线，

∴EC=EB，

设AE=x，则EC=4-x．

∴x2+32=（4-x）2．

解之得x=，即AE的长是．

18.解：如图，

根据题意，得

（千米），（千米），千米．

∵，

∴，∴

∴第二艘船的航行方向为东北或西南方向．

19.， ，，

,

,

,

,

是直角三角形，

四边形的面积

．

20.解：∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，

∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16c2﹣10c+25＝0，

即（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，

∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，

即a＝3，b＝4，c＝5，

∵32+42＝52，

∴a2+b2＝c2，

∴△ABC为直角三角形，c为斜边，

∴△ABC的面积＝ab＝×3×4＝6．

21.解：（1）上述解题过程，从B出现错误，错误原因为在等式两边除以，没有考虑是否为0；

（2）错误原因为在等式两边除以，没有考虑是否为0；

（3）∴，

∴或，

∴（-b舍去）或，

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

22.解：(1)是，理由如下：

在△CHB中，

∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2，

即CH2+BH2=BC2，

∴△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，

∴CH⊥AB，

由点到直线的距离垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边AB的最近路；

 (2)设AC=x千米，

在Rt△ACH中，由已知设AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，

由勾股定理得：AC2=AH2+CH2

∴x2=(x-0.9)2+1.22，

解得x=1.25，即AC=1.25，

故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米）

答：新路CH比原路CA少0.05千米．