初中数学人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程随堂练习题

22.2　二次函数与一元二次方程

一、选择题

1.(2022山东潍坊中考)抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点,则c的值为              (　　)

A.-　　　　C.-4　　　　D.4

2.(2023浙江台州温岭期末)二次函数y=ax2-bx-5的图象与x轴交于点(1,0)、(-3,0),则关于x的方程ax2-bx=5的根为              (　　)

A.1,3　　　　B.1,-5　　　　C.-1,3　　　　D.1,-3

3.(2023江苏宿迁泗阳期末)若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),则方程ax2-2ax+c=0的解为              (　　)

A.x=-1　　　　B.x1=3,x2=1

C.x1=-1,x2=-3　　　　D.x1=3,x2=-1

4.(2023河北石家庄新华期末)小亮在利用二次函数的图象求方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解的范围时,为精确到0.01,进行了下面的试算,由此确定这个解的范围是              (　　)

A.3.25<x<3.26　　　　B.3.24<x<3.25

C.3.23<x<3.24　　　　D.3<x<3.23

5.(2021江苏宿迁中考)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有下列结论:①a>0;②b2-4ac>0;③4a+b=1;④不等式ax2+(b-1)x+c<0的解集为1<x<3,其中正确结论的个数是              (　　)

A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4

二、填空题

6.(2023天津北辰期末)若抛物线y=2x2-4x-k与x轴没有交点,则k的取值范围为　　　　. 

7.(2023黑龙江绥化明水期末)若关于x的一元二次方程a(x+m)2-3=0的两个实数根分别为x1=-1,x2=3,则抛物线y=a(x+m)2-3与x轴的交点坐标为　　　　　　　　. 

8.(2023北京大兴期末)如图,二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象与直线y2=kx+m(k≠0)相交于点M、N,则当y1<y2时,自变量x的取值范围是　　　　. 

三、解答题

9.(2023北京门头沟期末)已知二次函数y=x2-2x-3.

(1)求此二次函数图象的顶点坐标;

(2)求此二次函数图象与x轴的交点坐标;

(3)当y<0时,直接写出x的取值范围.

10.(2021湖南长沙开福月考)已知抛物线y=x2-(2m+2)x+m2+2m,其中m是常数.

(1)求证:无论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点;

(2)若该抛物线的对称轴为直线x=4.

①求该抛物线的解析式;

②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点?

答案全解全析

1.答案　B　∵抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点,∴方程x2+x+c=0有两个相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=12-4×1·c=0,∴c=.故选B.

2.答案　D　∵二次函数y=ax2-bx-5的图象与x轴交于(1,0)、(-3,0)两点,∴方程ax2-bx-5=0的根为1,-3,即方程ax2-bx=5的根为1,-3.故选D.

3.答案　D　∵y=ax2-2ax+c=a(x-1)2+c-a,∴二次函数的图象的对称轴为直线x=1,∵二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为(3,0),∴方程ax2-2ax+c=0的解为x1=3,x2=-1.故选D.

4.答案　B　由表格可发现ax2+bx+c的值在-0.02与0.03之间最接近0,∴方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是3.24<x<3.25.故选B.

5.答案　C　①由图象可知抛物线开口向上,则a>0,故①正确;②由图象可知抛物线与x轴无交点,∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0无实数根,∴Δ=b2-4ac<0,故②错误;③抛物线过点(1,1),(3,3),即当x=1时,y=a+b+c=1,当x=3时,y=9a+3b+c=3,∴8a+2b=2,∴4a+b=1,故③正确;④易知点(1,1),(3,3)在直线y=x上,由图象可知,点(1,1),(3,3)也在抛物线y=ax2+bx+c上,∴点(1,1),(3,3)是抛物线与直线y=x的交点,如图,观察图象可知,ax2+bx+c<x时,1<x<3,∴不等式ax2+bx+c<x的解集为1<x<3,即ax2+(b-1)x+c<0的解集为1<x<3,故④正确.

6.答案　k<-2

解析　∵抛物线y=2x2-4x-k与x轴没有交点,∴一元二次方程2x2-4x-k=0没有实数根,∴Δ=(-4)2-4×2×(-k)<0,∴k<-2.

7.答案　(3,0)和(-1,0)

解析　一元二次方程a(x+m)2-3=0的实数根即为抛物线y=a(x+m)2-3与x轴的交点的横坐标,由已知可得抛物线y=a(x+m)2-3与x轴的交点坐标是(3,0)和(-1,0).

8.答案　-1<x<2

解析　抛物线与直线的交点为M(-1,4),N(2,1),当y1<y2时,直线要在抛物线的上方,∴-1<x<2.

9.解析　(1)y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

∴该二次函数图象的顶点坐标为(1,-4).

(2)令y=0,得x2-2x-3=0,

解得x1=-1,x2=3,

∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为(-1,0)和(3,0).

(3)∵抛物线开口向上,与x轴的交点坐标为(-1,0)和(3,0),

∴当y<0时,x的取值范围为-1<x<3.

10.解析　(1)证明:令x2-(2m+2)x+m2+2m=0,

则Δ=[-(2m+2)]2-4×1×(m2+2m)

=4m2+8m+4-4m2-8m

=4>0,

∴无论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点.

(2)①∵抛物线y=x2-(2m+2)x+m2+2m的对称轴为直线x=4,

∴-=4,

解得m=3,

∴该抛物线的解析式为y=x2-8x+15.

②∵y=x2-8x+15=(x-4)2-1,

∴把该抛物线沿y轴向上平移1个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.