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人教部编版八年级上册数学第十一章三角形（B卷能力提升）含解析答案
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这是一份人教部编版八年级上册数学第十一章三角形（B卷能力提升）含解析答案，共22页。
第十一章三角形（B卷能力提升）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各组图形中，是的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．在△ABC中，若∠A+∠B－∠C＝0，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．如图，AD，BE，CF依次是ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（ ）
A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF
4．下列命题中真命题是（ ）
A．三角形按边可分为不等边三角形，等腰三角形和等边三角形
B．三角形三个内角平分线交点到三角形三边的距离相等
C．等腰三角形的高线、角平分线、中线重合
D．三角形的外角等于它的两个内角之和
5．△ABC中，∠C=50°，∠B=30°，AE平分∠BAC，点F为E上一点，FD⊥DC于点D，则∠EFD=（ ）
A．5° B．10° C．12° D．20°
6．设三角形三边之长分别为2，9，5＋a，则a的取值范围为（ ）
A．2
A．36° B．54° C．60° D．72°
8．如图，直线CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（ ）
A．30° B．35° C．36° D．40°
9．等腰三角形底边长为17，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为9，则腰长为（ ）．
A．8 B．26 C．8或26 D．以上结论都不正确
10．一个多边形纸片剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A．14或15或16 B．15或16或17 C．15或16 D．16或17
11．如图，在中，，．若是的高，与角平分线相交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如下图，的面积为10，为边上的中线，为上任意一点，连接，，图中阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
13．如图，已知D、E分别为△ABC的边BC、AC的中点，连接AD、DE，AF为△ADE的中线．若四边形ABDF的面积为10，则△ABC的面积为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
二、填空题
14．如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1800°，那么该多边形的一个外角是 ．
15．如图，点、、、、在同一平面内，连接、、、、，若，则 ．
16．如图，小王在玩拼图游戏时，将等边三角形，正方形，正五边形按图示的位置摆放，他发现若测得∠2＝24°，∠3＝28°，那么∠1的度数就可以不用测量了，则∠1等于 ．
17．一个三角形的三个内角的度数的比是1:2:3，这个三角形是 三角形；
18．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是 ．
19．在中，已知点D、E、F分别是边AE、BF、CD上的中点，若的面积是14，则的面积为 ．
20．中，，于，，则 ．
21．周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有 个．
22．如图，在中，，平分，平分，平分，平分，则的度数是 ．
23．如图，已知，那么的度数是
三、解答题
24．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为AC上的一点，求证： 2AC> BD+CD．
25．在中，，边上的中线把三角形的周长分为10和18两部分，求腰长．
26．如图，已知，分别是的高和角平分线，，．
(1)求；
(2)若，求的长．
27．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，BF与AE相交于点O若∠ABC＝42°，∠C＝72°，求∠AEC和∠DAE的度数．
28．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角的平分线相交于点E，且∠A=60°．
(1)①若∠ABC=40°，则∠E=________；
②若∠ABC=100°，则∠E=________．
(2)嘉嘉说∠E的大小与∠B的度数无关，你认为他说得对吗？请说明理由．
29．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A十∠B=∠C十∠D．
(1)如图1，在“对顶三角形”△AOB与△OOD中，∠AOB=70°，则∠C十∠D= °．
(2)如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数．
参考答案：
1．D
【分析】根据过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【详解】解：△ABC的高AD是过顶点A与BC垂直的线段，根据题中各个选项所给的图形可知只有D选项符合，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的高线，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．A
【分析】由三角形的内角和定理，求出∠C的度数，即可作出判断.
【详解】解：∵∠A+∠B－∠C＝0，
∴∠A+∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形；
故选择：A.
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，解题的关键是正确求出∠C的度数，是一个基础题．
3．C
【分析】根据三角形的高、中线和角平分线的定义（1）三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线；（2）三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中线；（3）三角形的高定义：从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为高．求解即可．
【详解】解：A、BE是△ABC的中线，所以AE＝CE，故本表达式正确；
B、AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90，故本表达式正确；
C、由三角形的高、中线和角平分线的定义无法得出∠CAD＝∠CBE，故本表达式错误；
D、CF是△ABC的角平分线，所以∠ACB＝2∠ACF，故本表达式正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，是基础题，熟记定义是解题的关键．
4．B
【分析】根据三角形分类、角平分线的性质定理、等腰三角形性质、三角形外角性质逐项判断．
【详解】解：A、三角形按边可分为不等边三角形，等腰三角形，故A是假命题，不符合题意；
B、三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等，是真命题，符合题意；
C、等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线重合，故C是假命题，不符合题意；
D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，故D是假命题，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握三角形分类、角平分线的性质定理、等腰三角形性质、三角形外角性质等知识．
5．B
【分析】先求出∠BAE＝50°，由外角的性质求出∠FED＝80°，然后根据直角三角形两锐角互余即可求出∠EFD的度数．
【详解】∵∠C＝50°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝50°，
∴∠FED＝50°+30°＝80°，
又∵DF⊥BC，
∴∠FED+∠EFD＝90°，
∴∠EFD＝90°﹣80°＝10°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和等于180°，直角三角形中两个锐角互余，三角形外角的性质，角平分线的定义，以及垂直的定义，正确识图是解答本题的关键．
6．D
【分析】根据三角形的三边关系可得：，即，解之即可得解．
【详解】解：根据三角形三边关系可得：
，
即，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的三边关系：三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和，进而可得关于第三边的不等关系，熟练运用三角形三边关系是解题的关键．
7．B
【分析】根据正多边形的一个内角=可求出每一个内角的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BFC
【详解】∵ABCDE为正五边形
∴∠C=∠ABC==108°
∵FB⊥AB
∴∠FBC=108°-90°=18°
在△FBC中，∠BFC=180°-108°-18°=54°
故选：B
【点睛】本题主要考查了正多边形的内角求法，准确地掌握：正多边形的一个内角=，是解题的关键．
8．A
【分析】根据三角形的外角的性质可得，根据平行线的性质可得，进而即可求得．
【详解】解：∵CE∥DF，
∴
∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，
，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
9．B
【分析】设腰长为x，得出方程或，求出x后根据三角形三边关系进行验证即可．
【详解】解：设等腰三角形腰长为x，
由题意得：或，
解得或8，
当时，8，8，17无法构成三角形，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，关键是求出x的值后根据三角形三边关系进行验证．
10．A
【分析】由题意先根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论即可．
【详解】解：设新多边形的边数为n，
则（n-2）•180°=2340°，
解得：n=15，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为14，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为15，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为16，
所以多边形的边数可以为14，15或16．
故选：A．
【点睛】本题考查多边形内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式（n-2）•180°（n为边数）是解题的关键．
11．A
【分析】由三角形内角和定理得出∠BAC＝80°，根据∠BOE＝∠BAO＋∠ABO，求出∠BAO，∠ABO即可，根据补角的定义求得．
【详解】解：∵∠BCA=40°，∠ABC=60°
∴∠BAC＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝40°，
∵BF⊥AC，
∴∠BFA＝90°，
∴∠ABF＝10°，
∴∠BOE＝∠BAO＋∠ABO＝40°＋10°＝50°，
∴＝130°，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形的角平分线，高的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识属于中考常考题型．
12．A
【分析】由D是BC的中点可得出△ABD的面积等于△ACD的面积等于5，再得出△BDE的面积等于△CDE的面积，即可得出阴影部分的面积．
【详解】解：∵D是BC的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】此题主要考查三角形的中线的性质，关键是要牢记三角形的中线平分三角形的面积．
13．B
【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积即可得到结论．
【详解】设，
∵AF为△ADE的中线．
∴
∵E分别为△ABC的边AC的中点，
∴
∵D分别为△ABC的边BC的中点，
∴
∴四边形ABDF的面积=
解得
∴
故选：B
【点睛】本题考查了三角形的面积，熟练三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．
14．30°/30度
【分析】由多边形的内角和公式求得多边形的边数，然后根据任意多边形的外角和是360°求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得：（n-2）×180°=1800°，
解得：n=12，
360°÷12=30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，由多边形的内角和公式求得多边形的边数是解题的关键．
15．310°
【分析】连接AC，根据三角形内角和求出∠BAC+∠BCA，再利用四边形内角和减去∠BAC和∠BCA的和，即可得到结果．
【详解】解：连接AC，
∵∠ABC=130°，
∴∠BAC+∠BCA =180°-130°=50°，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形．
16．50°/50度
【分析】利用360°减去等边三角形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，然后减去∠3和∠2即可求得．
【详解】解：等边三角形的一个内角的度数是60°，正方形的一个内角度数是90°，
正五边形的一个内角的度数是：（5﹣2）×180°＝108°，
则∠1＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠3﹣∠2＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣28°﹣24°＝50°．
故答案是：50°．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，正确理解∠1等于360°减去等边三角形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，然后减去∠3和∠2是关键．
17．直角
【分析】依据三角形的内角和为180°，直接利用按比例分配求得最大的角，根据三角形的分类即可判断．
【详解】解：，
因为三角形中有一个角是90°，所以该三角形是直角三角形；
故答案为：直角．
【点睛】此题主要考查三角形的内角和定理以及三角形的分类方法．
18．10
【分析】先根据三角形的中线、线段中点的定义可得，再根据三角形的周长公式即可求出结果．
【详解】解：BD是的中线，即点D是线段AC的中点，
，
，的周长为12，
，即，
解得：，
，
则的周长是．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线、线段中点的定义等知识点，掌握线段中点的定义是解题关键．
19．2
【分析】连接，，，利用三角形的中线的性质，三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分进行计算，得到，计算即可求解．
【详解】解：如图，连接，，，
∵点是的中点，点是的中点，
∴是的中线，是的中线，
∴，，
∴；
同理可得；；
∴，
∵，，
∴，解得，
故答案为：2
【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，熟记三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．
20．或
【分析】分两种情况讨论，当是锐角三角形或钝角三角形时，分别画出合适的图形，再由角的和差解题．
【详解】解：分两种情况讨论：
当是锐角三角形时，如图，
于，，
；
当是钝角三角形时，如图，
于，，
；
综上所述，或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查三角形的分类，是基础考点，正确画出图形，分类讨论解题是关键．
21．/十二
【分析】三角形的边长互不相等且均为正整数，周长等于30，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【详解】解：设三角形三边长为 且由于得到
为整数，
c 为：11，12，13，14，
①当 c 为14时，有5个三角形，分别是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10
6；14，9，7；
②当 c 为13时，有4个三角形，分别是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9
8；
③当 c 为12时，有2个三角形，分别是12，11，7；12，10，8；
④当 c 为11时，有1个三角形，分别是：11，10，9；
所以各边互不相等且都是整数的三角形有12个．
故答案为：12．
【点睛】本题利用了三角形中三边的关系求解，注意不要漏掉哪一种情况．
22．110°/110度
【分析】先利用角平分线的定义和外角的性质求出，再利用三角形内角和定理得出，进而得出，即可求出的度数．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴．
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：110°
【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形内角和定理及三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质，即“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”．
23．320°
【分析】根据外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和进行角的转化计算即可．
【详解】解：如图所示，
∵ ，，
∴，
∵ ，，
∴，
∴．
故答案为：320°
【点睛】本题考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键．
24．见解析
【分析】根据三角形三边的关系证明即可．
【详解】证明：∵AD+AB>BD
∴AD+AB+CD>BD+CD
又∵AD+CD=AC
∴AC+AB>BD+CD
∵AC=AB
∴2AC>BD+CD
【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
25．12
【分析】由在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成10和18两部分，可得|AB-BC|=18-10=8，AB+BC+AC=2AB+BC=10+18=28，然后分别从AB＞BC与AB＜BC去分析求解即可求得答案．
【详解】解：如图，
∵AB=AC，BD是AC边上的中线，
即AD=CD，
∴|AB-BC|=18-10=8，AB+BC+AC=2AB+BC=10+18=28，
若AB＞BC，则AB-BC=8，
又∵2AB+BC=28，
联立方程组：
，
解得：AB=12，BC=4，
12、12、4三边能够组成三角形；
若AB＜BC，则BC-AB=8，
又2AB+BC=28，
联立方程组：
，
解得：AB=，BC=，
、、三边不能够组成三角形；
∴腰长AB为12．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．
26．(1)5°；
(2)4.8cm；
【分析】（1）由角平分线得到，由直角三角形的性质，得到，即可求出答案；
（2）利用三角形的面积公式，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴，
∵⊥，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
又∵，
∴，
∴cm；
【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
27．∠AEC=75°、∠DAE=15°
【分析】根据三角形内角和求出∠BAC， 根据AE平分∠BAC可得∠AEC，根据的内角和可得,进而在中得出∠DAE．
【详解】∵∠BAC＋∠ABC＋∠C＝180°，∠ABC＝42°，∠C＝72°，
∴∠BAC＝66°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝33°，
∵∠EAC＋∠AEC＋∠C＝180°
∴∠AEC＝180°－∠EAC－∠C＝75°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝90°－∠AEC＝15°．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，掌握相关性质与定理是解题的关键．
28．(1)①30°；②30°
(2)嘉嘉说得对，理由见解析
【分析】(1)①根据角平分线的定义及三角形外角的性质，即可解答；②同①解答即可；
(2) 根据角平分线的定义及三角形外角的性质，可得∠E=∠A，据此即可判定．
【详解】（1）解：①∵BE，CE分别是△ABC的内角和外角的平分线
∴∠DBE=∠ABC=20°，∠DCE=∠ACD
∵∠ACD=∠ABC+∠A=60°+40°=100°，∠DCE=∠DBE+∠E
∴∠DCE=∠ACD=50°，
∴∠E=∠DCE-∠DBE=50°-20°=30°；
②∵BE，CE分别是△ABC的内角和外角的平分线
∴∠DBE=∠ABC=50°，∠DCE=∠ACD
∵∠ACD=∠ABC+∠A=100°+60°=160°，∠DCE=∠DBE+∠E
∴∠DCE=∠ACD=80°，
∴∠E=∠DCE-∠DBE=80°-50°=30°；
故答案为：①30°；②30°；
（2）解：嘉嘉说得对．
理由如下：
∵BE，CE分别是△ABC的内角和外角的平分线
∴∠DBE=∠ABC，∠DCE=∠ACD
∵∠DCE=∠DBE+∠E
∴∠E=∠DCE－∠DBE=∠ACD－∠ABC=(∠ACD－∠ABC)
又∵∠ACD=∠ABC+∠A
∴∠E=(∠ABC+∠A-∠ABC）=∠A
∴∠E的大小与∠B的度数无关．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，结合题意和图形准确找到相关角之间的关系是解决本题的关键．
29．(1)110
(2)27°
【分析】（1）由对顶三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D，再根据三角形内角和定理即可得到答案；
（2）根据角平分线的性质可得∠1=∠2，∠3=∠4，根据三角形内角和定理可得到∠BAC+∠ABC=180°∠C=180°60°=120°，进而得到∠1+∠3=60°，由图知△ABF与△DEF为对顶三角形得出∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°，由题意知∠ADE比∠BED大6°，联立方程组即可解得答案．
【详解】（1）解：由对顶三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D，
在△AOB中，∠A+∠B=180°∠AOB=180°70°=110°，
∴∠C+∠D=110°；
（2）∵AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵∠C=60°，
∴∠BAC+∠ABC=180°∠C=180°60°=120°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=120°，
∴2∠1+2∠3=120°，
∴∠1+∠3=60°，
由图知△ABF与△DEF为对顶三角形，
∴∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°①，
又∵∠ADE比∠BED大6°，
∴∠ADE∠BED=6°②，
联立①②得，
解得：，
∴∠BED=27°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，利用对顶三角形的性质解答是解此题的关键．
第十一章三角形（B卷能力提升）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各组图形中，是的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．在△ABC中，若∠A+∠B－∠C＝0，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．如图，AD，BE，CF依次是ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（ ）
A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF
4．下列命题中真命题是（ ）
A．三角形按边可分为不等边三角形，等腰三角形和等边三角形
B．三角形三个内角平分线交点到三角形三边的距离相等
C．等腰三角形的高线、角平分线、中线重合
D．三角形的外角等于它的两个内角之和
5．△ABC中，∠C=50°，∠B=30°，AE平分∠BAC，点F为E上一点，FD⊥DC于点D，则∠EFD=（ ）
A．5° B．10° C．12° D．20°
6．设三角形三边之长分别为2，9，5＋a，则a的取值范围为（ ）
A．2
A．36° B．54° C．60° D．72°
8．如图，直线CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（ ）
A．30° B．35° C．36° D．40°
9．等腰三角形底边长为17，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为9，则腰长为（ ）．
A．8 B．26 C．8或26 D．以上结论都不正确
10．一个多边形纸片剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A．14或15或16 B．15或16或17 C．15或16 D．16或17
11．如图，在中，，．若是的高，与角平分线相交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如下图，的面积为10，为边上的中线，为上任意一点，连接，，图中阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
13．如图，已知D、E分别为△ABC的边BC、AC的中点，连接AD、DE，AF为△ADE的中线．若四边形ABDF的面积为10，则△ABC的面积为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
二、填空题
14．如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1800°，那么该多边形的一个外角是 ．
15．如图，点、、、、在同一平面内，连接、、、、，若，则 ．
16．如图，小王在玩拼图游戏时，将等边三角形，正方形，正五边形按图示的位置摆放，他发现若测得∠2＝24°，∠3＝28°，那么∠1的度数就可以不用测量了，则∠1等于 ．
17．一个三角形的三个内角的度数的比是1:2:3，这个三角形是 三角形；
18．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是 ．
19．在中，已知点D、E、F分别是边AE、BF、CD上的中点，若的面积是14，则的面积为 ．
20．中，，于，，则 ．
21．周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有 个．
22．如图，在中，，平分，平分，平分，平分，则的度数是 ．
23．如图，已知，那么的度数是
三、解答题
24．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为AC上的一点，求证： 2AC> BD+CD．
25．在中，，边上的中线把三角形的周长分为10和18两部分，求腰长．
26．如图，已知，分别是的高和角平分线，，．
(1)求；
(2)若，求的长．
27．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，BF与AE相交于点O若∠ABC＝42°，∠C＝72°，求∠AEC和∠DAE的度数．
28．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角的平分线相交于点E，且∠A=60°．
(1)①若∠ABC=40°，则∠E=________；
②若∠ABC=100°，则∠E=________．
(2)嘉嘉说∠E的大小与∠B的度数无关，你认为他说得对吗？请说明理由．
29．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A十∠B=∠C十∠D．
(1)如图1，在“对顶三角形”△AOB与△OOD中，∠AOB=70°，则∠C十∠D= °．
(2)如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数．
参考答案：
1．D
【分析】根据过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【详解】解：△ABC的高AD是过顶点A与BC垂直的线段，根据题中各个选项所给的图形可知只有D选项符合，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的高线，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．A
【分析】由三角形的内角和定理，求出∠C的度数，即可作出判断.
【详解】解：∵∠A+∠B－∠C＝0，
∴∠A+∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形；
故选择：A.
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，解题的关键是正确求出∠C的度数，是一个基础题．
3．C
【分析】根据三角形的高、中线和角平分线的定义（1）三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线；（2）三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中线；（3）三角形的高定义：从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为高．求解即可．
【详解】解：A、BE是△ABC的中线，所以AE＝CE，故本表达式正确；
B、AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90，故本表达式正确；
C、由三角形的高、中线和角平分线的定义无法得出∠CAD＝∠CBE，故本表达式错误；
D、CF是△ABC的角平分线，所以∠ACB＝2∠ACF，故本表达式正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，是基础题，熟记定义是解题的关键．
4．B
【分析】根据三角形分类、角平分线的性质定理、等腰三角形性质、三角形外角性质逐项判断．
【详解】解：A、三角形按边可分为不等边三角形，等腰三角形，故A是假命题，不符合题意；
B、三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等，是真命题，符合题意；
C、等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线重合，故C是假命题，不符合题意；
D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，故D是假命题，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握三角形分类、角平分线的性质定理、等腰三角形性质、三角形外角性质等知识．
5．B
【分析】先求出∠BAE＝50°，由外角的性质求出∠FED＝80°，然后根据直角三角形两锐角互余即可求出∠EFD的度数．
【详解】∵∠C＝50°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝50°，
∴∠FED＝50°+30°＝80°，
又∵DF⊥BC，
∴∠FED+∠EFD＝90°，
∴∠EFD＝90°﹣80°＝10°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和等于180°，直角三角形中两个锐角互余，三角形外角的性质，角平分线的定义，以及垂直的定义，正确识图是解答本题的关键．
6．D
【分析】根据三角形的三边关系可得：，即，解之即可得解．
【详解】解：根据三角形三边关系可得：
，
即，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的三边关系：三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和，进而可得关于第三边的不等关系，熟练运用三角形三边关系是解题的关键．
7．B
【分析】根据正多边形的一个内角=可求出每一个内角的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BFC
【详解】∵ABCDE为正五边形
∴∠C=∠ABC==108°
∵FB⊥AB
∴∠FBC=108°-90°=18°
在△FBC中，∠BFC=180°-108°-18°=54°
故选：B
【点睛】本题主要考查了正多边形的内角求法，准确地掌握：正多边形的一个内角=，是解题的关键．
8．A
【分析】根据三角形的外角的性质可得，根据平行线的性质可得，进而即可求得．
【详解】解：∵CE∥DF，
∴
∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，
，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
9．B
【分析】设腰长为x，得出方程或，求出x后根据三角形三边关系进行验证即可．
【详解】解：设等腰三角形腰长为x，
由题意得：或，
解得或8，
当时，8，8，17无法构成三角形，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，关键是求出x的值后根据三角形三边关系进行验证．
10．A
【分析】由题意先根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论即可．
【详解】解：设新多边形的边数为n，
则（n-2）•180°=2340°，
解得：n=15，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为14，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为15，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为16，
所以多边形的边数可以为14，15或16．
故选：A．
【点睛】本题考查多边形内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式（n-2）•180°（n为边数）是解题的关键．
11．A
【分析】由三角形内角和定理得出∠BAC＝80°，根据∠BOE＝∠BAO＋∠ABO，求出∠BAO，∠ABO即可，根据补角的定义求得．
【详解】解：∵∠BCA=40°，∠ABC=60°
∴∠BAC＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝40°，
∵BF⊥AC，
∴∠BFA＝90°，
∴∠ABF＝10°，
∴∠BOE＝∠BAO＋∠ABO＝40°＋10°＝50°，
∴＝130°，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形的角平分线，高的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识属于中考常考题型．
12．A
【分析】由D是BC的中点可得出△ABD的面积等于△ACD的面积等于5，再得出△BDE的面积等于△CDE的面积，即可得出阴影部分的面积．
【详解】解：∵D是BC的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】此题主要考查三角形的中线的性质，关键是要牢记三角形的中线平分三角形的面积．
13．B
【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积即可得到结论．
【详解】设，
∵AF为△ADE的中线．
∴
∵E分别为△ABC的边AC的中点，
∴
∵D分别为△ABC的边BC的中点，
∴
∴四边形ABDF的面积=
解得
∴
故选：B
【点睛】本题考查了三角形的面积，熟练三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．
14．30°/30度
【分析】由多边形的内角和公式求得多边形的边数，然后根据任意多边形的外角和是360°求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得：（n-2）×180°=1800°，
解得：n=12，
360°÷12=30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，由多边形的内角和公式求得多边形的边数是解题的关键．
15．310°
【分析】连接AC，根据三角形内角和求出∠BAC+∠BCA，再利用四边形内角和减去∠BAC和∠BCA的和，即可得到结果．
【详解】解：连接AC，
∵∠ABC=130°，
∴∠BAC+∠BCA =180°-130°=50°，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形．
16．50°/50度
【分析】利用360°减去等边三角形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，然后减去∠3和∠2即可求得．
【详解】解：等边三角形的一个内角的度数是60°，正方形的一个内角度数是90°，
正五边形的一个内角的度数是：（5﹣2）×180°＝108°，
则∠1＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠3﹣∠2＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣28°﹣24°＝50°．
故答案是：50°．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，正确理解∠1等于360°减去等边三角形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，然后减去∠3和∠2是关键．
17．直角
【分析】依据三角形的内角和为180°，直接利用按比例分配求得最大的角，根据三角形的分类即可判断．
【详解】解：，
因为三角形中有一个角是90°，所以该三角形是直角三角形；
故答案为：直角．
【点睛】此题主要考查三角形的内角和定理以及三角形的分类方法．
18．10
【分析】先根据三角形的中线、线段中点的定义可得，再根据三角形的周长公式即可求出结果．
【详解】解：BD是的中线，即点D是线段AC的中点，
，
，的周长为12，
，即，
解得：，
，
则的周长是．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线、线段中点的定义等知识点，掌握线段中点的定义是解题关键．
19．2
【分析】连接，，，利用三角形的中线的性质，三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分进行计算，得到，计算即可求解．
【详解】解：如图，连接，，，
∵点是的中点，点是的中点，
∴是的中线，是的中线，
∴，，
∴；
同理可得；；
∴，
∵，，
∴，解得，
故答案为：2
【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，熟记三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．
20．或
【分析】分两种情况讨论，当是锐角三角形或钝角三角形时，分别画出合适的图形，再由角的和差解题．
【详解】解：分两种情况讨论：
当是锐角三角形时，如图，
于，，
；
当是钝角三角形时，如图，
于，，
；
综上所述，或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查三角形的分类，是基础考点，正确画出图形，分类讨论解题是关键．
21．/十二
【分析】三角形的边长互不相等且均为正整数，周长等于30，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【详解】解：设三角形三边长为 且由于得到
为整数，
c 为：11，12，13，14，
①当 c 为14时，有5个三角形，分别是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10
6；14，9，7；
②当 c 为13时，有4个三角形，分别是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9
8；
③当 c 为12时，有2个三角形，分别是12，11，7；12，10，8；
④当 c 为11时，有1个三角形，分别是：11，10，9；
所以各边互不相等且都是整数的三角形有12个．
故答案为：12．
【点睛】本题利用了三角形中三边的关系求解，注意不要漏掉哪一种情况．
22．110°/110度
【分析】先利用角平分线的定义和外角的性质求出，再利用三角形内角和定理得出，进而得出，即可求出的度数．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴．
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：110°
【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形内角和定理及三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质，即“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”．
23．320°
【分析】根据外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和进行角的转化计算即可．
【详解】解：如图所示，
∵ ，，
∴，
∵ ，，
∴，
∴．
故答案为：320°
【点睛】本题考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键．
24．见解析
【分析】根据三角形三边的关系证明即可．
【详解】证明：∵AD+AB>BD
∴AD+AB+CD>BD+CD
又∵AD+CD=AC
∴AC+AB>BD+CD
∵AC=AB
∴2AC>BD+CD
【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
25．12
【分析】由在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成10和18两部分，可得|AB-BC|=18-10=8，AB+BC+AC=2AB+BC=10+18=28，然后分别从AB＞BC与AB＜BC去分析求解即可求得答案．
【详解】解：如图，
∵AB=AC，BD是AC边上的中线，
即AD=CD，
∴|AB-BC|=18-10=8，AB+BC+AC=2AB+BC=10+18=28，
若AB＞BC，则AB-BC=8，
又∵2AB+BC=28，
联立方程组：
，
解得：AB=12，BC=4，
12、12、4三边能够组成三角形；
若AB＜BC，则BC-AB=8，
又2AB+BC=28，
联立方程组：
，
解得：AB=，BC=，
、、三边不能够组成三角形；
∴腰长AB为12．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．
26．(1)5°；
(2)4.8cm；
【分析】（1）由角平分线得到，由直角三角形的性质，得到，即可求出答案；
（2）利用三角形的面积公式，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴，
∵⊥，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
又∵，
∴，
∴cm；
【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
27．∠AEC=75°、∠DAE=15°
【分析】根据三角形内角和求出∠BAC， 根据AE平分∠BAC可得∠AEC，根据的内角和可得,进而在中得出∠DAE．
【详解】∵∠BAC＋∠ABC＋∠C＝180°，∠ABC＝42°，∠C＝72°，
∴∠BAC＝66°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝33°，
∵∠EAC＋∠AEC＋∠C＝180°
∴∠AEC＝180°－∠EAC－∠C＝75°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝90°－∠AEC＝15°．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，掌握相关性质与定理是解题的关键．
28．(1)①30°；②30°
(2)嘉嘉说得对，理由见解析
【分析】(1)①根据角平分线的定义及三角形外角的性质，即可解答；②同①解答即可；
(2) 根据角平分线的定义及三角形外角的性质，可得∠E=∠A，据此即可判定．
【详解】（1）解：①∵BE，CE分别是△ABC的内角和外角的平分线
∴∠DBE=∠ABC=20°，∠DCE=∠ACD
∵∠ACD=∠ABC+∠A=60°+40°=100°，∠DCE=∠DBE+∠E
∴∠DCE=∠ACD=50°，
∴∠E=∠DCE-∠DBE=50°-20°=30°；
②∵BE，CE分别是△ABC的内角和外角的平分线
∴∠DBE=∠ABC=50°，∠DCE=∠ACD
∵∠ACD=∠ABC+∠A=100°+60°=160°，∠DCE=∠DBE+∠E
∴∠DCE=∠ACD=80°，
∴∠E=∠DCE-∠DBE=80°-50°=30°；
故答案为：①30°；②30°；
（2）解：嘉嘉说得对．
理由如下：
∵BE，CE分别是△ABC的内角和外角的平分线
∴∠DBE=∠ABC，∠DCE=∠ACD
∵∠DCE=∠DBE+∠E
∴∠E=∠DCE－∠DBE=∠ACD－∠ABC=(∠ACD－∠ABC)
又∵∠ACD=∠ABC+∠A
∴∠E=(∠ABC+∠A-∠ABC）=∠A
∴∠E的大小与∠B的度数无关．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，结合题意和图形准确找到相关角之间的关系是解决本题的关键．
29．(1)110
(2)27°
【分析】（1）由对顶三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D，再根据三角形内角和定理即可得到答案；
（2）根据角平分线的性质可得∠1=∠2，∠3=∠4，根据三角形内角和定理可得到∠BAC+∠ABC=180°∠C=180°60°=120°，进而得到∠1+∠3=60°，由图知△ABF与△DEF为对顶三角形得出∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°，由题意知∠ADE比∠BED大6°，联立方程组即可解得答案．
【详解】（1）解：由对顶三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D，
在△AOB中，∠A+∠B=180°∠AOB=180°70°=110°，
∴∠C+∠D=110°；
（2）∵AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵∠C=60°，
∴∠BAC+∠ABC=180°∠C=180°60°=120°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=120°，
∴2∠1+2∠3=120°，
∴∠1+∠3=60°，
由图知△ABF与△DEF为对顶三角形，
∴∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°①，
又∵∠ADE比∠BED大6°，
∴∠ADE∠BED=6°②，
联立①②得，
解得：，
∴∠BED=27°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，利用对顶三角形的性质解答是解此题的关键．
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