人教A版 (2019)必修第一册第三章函数概念与性质3.2 函数的基本性质同步达标检测题

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这是一份人教A版 (2019)必修第一册第三章函数概念与性质3.2 函数的基本性质同步达标检测题，共20页。试卷主要包含了2 函数的基本性质，下列命题正确的是，函数f=2x的单调递减区间为，下列函数中,在R上是增函数的是等内容，欢迎下载使用。

新20版练B1数学人教A版3.2.1单调性与最大(小)值
第三章函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大(小)值
第1课时函数的单调性
考点1 单调性定义的理解
1.下列命题正确的是(　　)。
A.定义在(a,b)上的函数f(x),若存在x1,x2∈(a,b),当x1 B.定义在(a,b)上的函数f(x),若有无穷多对x1,x2∈(a,b),当x1 C.若函数f(x)在区间I1上为减函数,在区间I2上也为减函数,那么f(x)在区间I1∪I2上一定是减函数
D.若函数f(x)是区间I上的增函数,且f(x1) 答案:D
解析: A项中,应是对定义域内任意x1,x2且x1 2.如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论中不正确的是(　　)。
A.f(x1)-f(x2)x1-x2>0
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C.f(a)≤f(x1) D.f(x1)≠f(x2)
答案:C
解析: 由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B,D正确;对于C,若x1>x2,则f(x1)>f(x2),故C不正确。
3.如图3-2-1-1-1是函数y=f(x)的图像,则此函数的单调递减区间的个数是(　　)。

图3-2-1-1-1
A.1　 B.2 C.3 D.4
答案:B
解析: 由图像,可知函数y=f(x)的单调递减区间有2个。故选B。
4.(2019·河南周口高一上调考)设(a,b),(c,d)都是f(x)的单调递增区间,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1 A.f(x1)f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.不能确定
答案:D
解析: 由函数单调性的定义,知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值,才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小,而本题中的x1,x2不在同一单调区间内,所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定。故选D。
5.(2019·福建莆田一中高一上期中考试)若函数f(x)在R上是减函数,则下列关系式一定成立的是(　　)。
A.f(a)>f(2a) B.f(a2) C.f(a2+a) 答案:D
解析: 因为f(x)是R上的减函数,且a2+1>a2,所以f(a2+1) 6.函数y=f(x)的图像如图3-2-1-1-2所示,则函数f(x)的单调递增区间是　　　　。

图3-2-1-1-2
答案: (-∞,1]和(1,+∞)
解析: 由题图可知函数f(x)的单调递增区间是(-∞,1]和(1,+∞)。
7.若函数f(x)是[-2,2]上的减函数,则f(-1)　　　　f(2)。(填“>”“<”或“=”)
答案: >
解析: ∵f(x)在[-2,2]上是减函数,且-1<2,∴f(-1)>f(2)。
考点2　函数单调性的判定
8.如图3-2-1-1-3所示的是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图像,则下列关于函数f(x)的说法错误的是(　　)。

图3-2-1-1-3
A.函数在区间[-5,-3]上单调递增
B.函数在区间[1,4]上单调递增
C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减
D.函数在区间[-5,5]上没有单调性
答案:C
解析: 若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间,不一定能用“∪”连接。故选C。
9.(2019·广东揭阳第三中学高一期末)函数f(x)=2x的单调递减区间为(　　)。
A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)∪(0,+∞)
C.(-∞,0),(0,+∞) D.(0,+∞)
答案:C
解析: 由函数的图像(图略)知,函数以原点为对称中心,在(-∞,0),(0,+∞)上均为减函数。故选C。
10.(2019·广西桂林高一期末调考)下列函数中,在R上是增函数的是(　　)。
A.y=|x|　　　B.y=x　　　C.y=x2　　　D.y=1x
答案:B
解析: 对于A,y=|x|,当x<0时,函数为减函数,故错误;对于C,y=x2,当x<0时,函数为减函数,故错误;对于D,函数y=1x在(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数,故错误。故选B。
11.函数f(x)是定义在R上的单调递减函数,其图像过点(-3,2)和(1,-2),则使|f(x)|<2的自变量x的取值范围是　　　　。
答案: (-3,1)
解析: ∵f(x)是定义在R上的减函数,f(-3)=2,f(1)=-2,∴当x>-3时,f(x)<2,当x<1时,f(x)>-2,故当-3 12.函数y=-(x-3)|x|的单调递增区间为　　　　。
答案: 0,32
解析: y=-(x-3)|x|=-x2+3x,x>0,x2-3x,x≤0,作出其图像如图,观察图像知单调递增区间为0,32。

考点3　函数单调性的应用
13.(2018·河北定州中学高三月考)已知函数f(x)=2x2-kx-4在区间[-2,4]上具有单调性,则k的取值范围是(　　)。
A.[-8,16]
B.(-∞,-8]∪[16,+∞)
C.(-∞,-8)∪(16,+∞)
D.[16,+∞)
答案:B
解析: ∵f(x)=2x2-kx-4,∴其对称轴为x=k4,k4≥4或k4≤-2,即k≥16或k≤-8,故选B。
14.(2019·北师大附中高一期中)若函数y=f(x)在R上为增函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是(　　)。
A.(-∞,-3) B.(0,+∞)
C.(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(3,+∞)
答案:C
解析: 函数y=f(x)在R上为增函数,且f(2m)>f(-m+9),所以2m>-m+9,解得m>3。故选C。
15.(2019·江西新余第一中学高一段考)已知函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且对任意的x1,x2>1(x1≠x2),有f(x1)-f(x2)x1-x2>0。设a=f-12,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为(　　)。
A.c C.b 答案:D
解析: ∵f(1+x)=f(1-x),∴函数f(x)的图像关于直线x=1对称,∵对任意的x1,x2>1(x1≠x2),有f(x1)-f(x2)x1-x2>0,∴函数在x>1时单调递增。∵f-12=f1-32=f1+32=f52,∴f(2) 16.(2019·湖北黄石二中高一上月考)若函数f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数,则有(　　)。
A.a≥12　　　B.a≤12　　　C.a>12　　　D.a<12
答案:D
解析: 函数f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数,则2a-1<0,即a<12。故选D。
17.函数y=f(x)在R上单调递增,且f(m2)>f(-m),则实数m的取值范围是　　　　。
答案: (-∞,-1)∪(0,+∞)
解析: 由函数y=f(x)在R上单调递增,且f(m2)>f(-m),得m2>-m,结合二次函数y=m2+m的图像,解得m<-1或m>0。
18.若二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间12,1上是增函数,则实数a的取值范围是　　　　。
答案: (-∞,2]
解析: 因为函数f(x)在区间12,1上是增函数,且其图像的对称轴为直线x=a-12,所以a-12≤12,解得a≤2。故实数a的取值范围是(-∞,2]。
19.已知f(x)=(3-a)x-4a,x<1,x2,x≥1是R上的增函数,则实数a的取值范围是　　　　。
答案: 25,3
解析: 由f(x)=(3-a)x-4a,x<1,x2,x≥1是R上的增函数,得3-a>0,3-5a≤1,解得25≤a<3。
20.(2019·四川遂宁高一期末)已知函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则f(1)的取值范围是　　　　。
答案: [3,+∞)　　
解析: ∵函数f(x)的图像的对称轴为直线x=a4,且f(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数,∴a4≤1,解得a≤4。又f(1)=7-a,∴f(1)≥7-4=3。即f(1)的取值范围是[3,+∞)。
21.已知函数f(x)是区间(0,+∞)上的减函数,那么f(a2-a+1)与f34的大小关系为　　　　。
答案: f(a2-a+1)≤f34
解析: ∵a2-a+1=a-122+34≥34>0,又∵f(x)在(0,+∞)上为减函数,∴f(a2-a+1)≤f34。
考点4　函数单调性的综合问题
22.(2019·山西大同一中月考)已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,-1),B(3,1)是其图像上的两点,则-1 A.(-3,0)
B.(0,3)
C.(-∞,-1]∪[3,+∞)
D.(-∞,0]∪[1,+∞)
答案:B
解析: 由已知,得f(0)=-1,f(3)=1,∴-1 23.(2019·云南昆明一中高一上期中考试)已知函数f(x)=4-x2,若0 A.f(x1)x1 C.f(x3)x3 答案:C
解析: 由题意可得0 24.(2019·山东青岛二中期中考试)已知函数f(x)在区间[-4,7]上是增函数,则函数y=f(x-3)的一个单调增区间为(　　)。
A.[-2,3] B.[-1,7]
C.[-1,10] D.[-10,-4]
答案:C
解析: 由函数y=f(x)的图像向右平移3个单位长度后得到函数y=f(x-3)的图像,所以y=f(x-3)的一个单调增区间为[-1,10]。
25.(2019·江苏徐州一中月考)已知函数f(x),g(x)在(a,b)上是增函数,且a 答案: 证明:任取x1,x2∈(a,b),且x1 因为g(x)在(a,b)上是增函数,
所以g(x1) 又f(x)在(a,b)上是增函数,
所以f(g(x1)) 所以函数f(g(x))在(a,b)上是增函数。
26.(2019·江西临川一中月考)已知函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x>0时,f(x)>1。
(1)求证:f(x)是R上的增函数;
答案: 证明:设x1,x2∈R,且x1 则x2-x1>0,即f(x2-x1)>1,
所以f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0。
所以f(x1) 所以f(x)是R上的增函数。
(2)若fxy=f(x)-f(y),f(2)=1,解不等式f(x)-f1x-3≤2。
答案: 解:因为fxy=f(x)-f(y),
所以f(y)+fxy=f(x)。
在上式中取x=4,y=2,则有f(2)+f(2)=f(4),
因为f(2)=1,所以f(4)=2。
于是不等式f(x)-f1x-3≤2等价于
f(x(x-3))≤f(4)(x≠3)。
又由(1),知f(x)是R上的增函数,
所以x(x-3)≤4,x-3≠0,
解得-1≤x<3或3 所以原不等式的解集为[-1,3)∪(3,4]。
第2课时　函数的最大(小)值
考点1　函数的最大(小)值的判定
1.设函数f(x)的定义域为R,以下三种说法:①若存在常数M,使得对任意x∈R,有f(x)≤M,则M是f(x)的最大值;②若存在x0∈R,使得对任意x∈R,有f(x)≤f(x0),则f(x0)是f(x)的最大值;③若存在x0∈R,使得对任意x∈R,且x≠x0有f(x)≤f(x0),则f(x0)是f(x)的最大值。其中正确说法的个数为(　　)。
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:C
解析: 由函数最大值的概念知②③正确。
2.函数f(x)在[-2,+∞)上的图像如图3-2-1-2-1所示,则此函数的最大值、最小值分别为(　　)。

图3-2-1-2-1
A.3,0 B.3,1
C.3,无最小值 D.3,-2
答案:C
解析: 观察题中图像可以知道,图像的最高点坐标是(0,3),从而其最大值是3;图像无最低点,即该函数不存在最小值。故选C。
3.函数f(x)=x2+3x+2在区间(-5,5)上的最大值、最小值分别为(　　)。
A.42,12 B.42,-14
C.12,-14 D.无最大值,最小值为-14
答案:D
解析: ∵f(x)=x+322-14,x∈(-5,5),
∴当x=-32时,f(x)有最小值-14,f(x)无最大值。
4.函数f(x)=11-x(1-x)的最大值是(　　)。
A.45 B.54 C.34 D.43
答案:D
解析: f(x)=1x-122+34≤43,所以f(x)的最大值为43。
5.已知函数f(x)在[-2,2]上的图像如图3-2-1-2-2所示,则此函数的最小值、最大值分别是(　　)。

图3-2-1-2-2
A.f(-2),0
B.0,2
C.f(-2),2
D.f(2),2
答案:C
解析: 观察函数图像,知图像最低点的纵坐标为f(-2),最高点的纵坐标为2,故选C。
6.函数f(x)=2-3x在区间[1,3]上的最大值是(　　)。
A.2 B.3 C.-1 D.1
答案:D
解析: 容易判断函数f(x)在区间[1,3]上是增函数,所以在区间[1,3]上的最大值是f(3)=1。
7.(2019·四川成都高一上调考)函数y=x2-2x+2在区间[-2,3]上的最大值、最小值分别是(　　)。
A.10,5 B.10,1 C.5,1 D.12,5
答案:B
解析: 因为y=x2-2x+2=(x-1)2+1,且x∈[-2,3],所以当x=1时,ymin=1,当x=-2时,ymax=(-2-1)2+1=10。故选B。
8.(2019·河南林州一中期末考试)函数f(x)=1x,x≥1,-x2+2,x<1的最大值为(　　)。
A.1 B.2 C.12 D.13
答案:B
解析: 当x≥1时,函数f(x)=1x为减函数,此时f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=1;当x<1时,函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,最大值为f(0)=2。综上可得,f(x)的最大值为2。故选B。
9.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是(　　)。
A.2 B.-2 C.2或-2 D.0
答案:C
解析: 依题意,当a>0时,2a+1-(a+1)=2,即a=2;当a<0时,a+1-(2a+1)=2,即a=-2。故选C。
10.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)的最小值为-2,则f(x)的最大值为(　　)。
A.1 B.0 C.-1 D.2
答案:A
解析: ∵f(x)=-x2+4x+a在[0,1]上为增函数,∴其最小值为f(0)=a=-2,∴其最大值为f(1)=3+a=1。
11.(2018·山东淄博高三期中考试)用长度为24 m的材料围成一个中间加两道隔墙的矩形场地,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为(　　)。
A.3 m B.4 m C.32 m D.52 m
答案:A
解析: 设隔墙的长度为x m,场地面积为S m2,则S=x·24-4x2=12x-2x2=-2(x-3)2+18,所以当x=3时,S有最大值,为18。故选A。
12.记min{a,b}=a,a≤b,b,a>b。若f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为　　　　。
答案:6
解析: 由题意,知f(x)=x+2,0≤x≤4,10-x,x>4,易知f(x)max=f(4)=6。
13.函数f(x)=x-x+1的最小值为　　　　。
答案:-54
解析: 令x+1=t(t≥0),则x=t2-1,所以y=t2-t-1(t≥0)。又y=t2-t-1(t≥0)的图像是对称轴为直线t=12、开口向上的抛物线的一部分,所以ymin=122-12-1=-54。故函数f(x)的最小值为-54。
【名师点睛】本题考查无理函数的最值问题。求解这类问题常常使用的方法是换元法,通过换元将无理函数的最值问题化为二次函数的最值问题,需要注意的是换元后的新元的取值范围。
14.(2019·河北成安一中高一月考)已知0 答案: 98
解析: 原函数可化为y=-2x2+3x=-2x-342+98,所以当x=34时,函数有最大值98。
15.对于函数f(x)=x2+2x,在使f(x)≥M成立的所有实数M中,我们把M的最大值Mmax=-1叫函数f(x)=x2+2x的下确界,则对于a∈R,且a≠0,y=a2-4a+6的下确界为　　　　。
答案:2
解析: y=a2-4a+6=(a-2)2+2≥2,则y=a2-4a+6的下确界为2。
考点2　函数的最大(小)值的应用
16.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,销售x辆该品牌车的利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x。若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为(　　)。
A.90万元 B.60万元
C.120万元 D.120.25万元
答案:C
解析: 设公司在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x)辆,公司获利为L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30=-x-1922+30+1924,∴当x=9或10时,L最大,为120万元。
17.当0≤x≤2时,a<-x2+2x恒成立,则实数a的取值范围是(　　)。
A.(-∞,1] B.(-∞,0]
C.(-∞,0) D.(0,+∞)
答案:C
解析: a<-x2+2x恒成立,则a小于函数f(x)=-x2+2x,x∈[0,2]的最小值,而f(x)=-x2+2x,x∈[0,2]的最小值为0,故a<0。
18.已知函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是(　　)。
A.[1,+∞) B.[0,2]
C.(-∞,2] D.[1,2]
答案:D
解析: 由y=x2-2x+3=(x-1)2+2知,当x=1时,y的最小值为2;当y=3时,x2-2x+3=3,解得x=0或x=2。由y=x2-2x+3的图像知,当m∈[1,2]时,能保证y在区间[0,m]上的最大值为3,最小值为2。
19.(2019·江苏苏州高一期末调考)已知函数f(x)=x2+ax+2(a>0)在区间[0,2]上的最大值等于8,则函数y=f(x)在区间[-2,1]上的值域为　　　　。
答案:74,4
解析: 由题知函数f(x)图像的对称轴为直线x=-a2<0,故f(x)max=f(2)=6+2a=8,所以a=1,则f(x)=x2+x+2=x+122+74。因为f(x)的对称轴为直线x=-12∈[-2,1]且f-12=74,f(-2)=4,f(1)=4,所以所求值域为74,4。
20.已知关于x的不等式x2-x+a-1≥0在R上恒成立,则实数a的取值范围是(　　)。
A.-∞,54 B.-∞,54
C.54,+∞ D.54,+∞
答案:D
解析: 记f(x)=x2-x+a-1,则原问题等价于二次函数f(x)=x2-x+a-1的最小值大于或等于0。而f(x)=x-122+a-54,当x=12时,f(x)min=a-54,所以a-54≥0,求得a≥54。故选D。
考点3　单调性与最大(小)值的综合问题
21.已知一次函数f(x)=2x+3m+1,若当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥0恒成立,则实数m的取值范围是　　　　。
答案: 13,+∞
解析:当x∈[-1,+∞)时,f(x)min≥0。因为f(x)=2x+3m+1在[-1,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(-1)=3m-1,则3m-1≥0,解得m≥13,所以实数m的取值范围是13,+∞。
22.(2019·黑龙江大庆铁人中学高一期中改编)已知二次函数g(x)=mx2-2mx+n+1(m>0)在区间[0,3]上有最大值4,最小值0。
(1)求函数g(x)的解析式;
答案: ∵g(x)=m(x-1)2-m+1+n,∴函数g(x)的图像的对称轴方程为x=1。
又∵m>0,
∴依题意得g(1)=0,g(3)=4,即-m+1+n=0,3m+1+n=4,解得m=1,n=0。
∴g(x)=x2-2x+1。
(2)设f(x)=g(x)-2xx,若f(x)-kx≤0在x∈18,8时恒成立,求k的取值范围。
答案: ∵f(x)=g(x)-2xx,∴f(x)=x+1x-4。
∵f(x)-kx≤0在x∈18,8时恒成立,即x+1x-4-kx≤0在x∈18,8时恒成立,∴k≥1x2-4x+1在x∈18,8时恒成立,只需k≥1x2-4x+1max。
令t=1x,由x∈18,8得t=1x∈18,8,
设h(t)=t2-4t+1=(t-2)2-3。
∴函数h(t)的图像的对称轴方程为t=2,
∴当t=8时,函数h(t)取得最大值33。
∴k≥h(t)max=h(8)=33,
∴k的取值范围为[33,+∞)。
23.(2019·武汉二中单元测评)已知函数f(x)=x2+2x+ax,x∈[1,+∞)。
(1)当a=12时,求函数f(x)的最小值;
答案: 当a=12时,f(x)=x2+2x+12x=x+12x+2。
任取x1,x2∈[1,+∞),且x1 则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)1-12x1x2<0,
所以f(x1) (2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围。
答案: 依题意f(x)=x2+2x+ax>0在[1,+∞)上恒成立,即x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立。
记y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),
由y=(x+1)2+a-1在[1,+∞)上单调递增,
知当x=1时,y取得最小值3+a。
所以当3+a>0,即a>-3时,f(x)>0恒成立。
于是实数a的取值范围为(-3,+∞)。
24.(2019·河南南阳一中高一上月考)已知函数f(x)=|x-a|-9x+a,x∈[1,6],a∈R。
(1)若a=1,试判断函数f(x)的单调性,并给予证明;
答案: 当a=1时,函数f(x)在[1,6]上单调递增。证明如下:当a=1时,f(x)=x-9x,
在区间[1,6]上取任意x1,x2,设x1 则f(x1)-f(x2)=x1-9x1-x2-9x2=(x1-x2)-9x1-9x2=(x1-x2)(x1x2+9)x1x2<0,
所以f(x1) (2)当a∈(1,6)时,求函数f(x)的最大值M(a)。
答案: 因为a∈(1,6),
所以f(x)=2a-x+9x,1≤x≤a,x-9x,a ①当1 所以当x=6时,f(x)取得最大值,为92。
②当392,此时函数f(x)的最大值为2a-6。
综上,得M(a)=92,1 25.(2018·吉林省实验中学高三模拟)已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3。
(1)求f(x)的解析式;
答案: ∵f(x)是二次函数,且f(0)=f(2),
∴f(x)图像的对称轴为x=1。又f(x)的最小值为1,∴设f(x)=k(x-1)2+1,又f(0)=3,∴k=2。∴f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3。
(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求a的取值范围;
答案: 要使f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,则2a<1 故实数a的取值范围是0,12。
(3)若x∈[t,t+2],试求y=f(x)的最小值。
答案: 由(1)知,y=f(x)图像的对称轴为x=1。
若t≥1,则y=f(x)在[t,t+2]上是增函数,
ymin=2t2-4t+3;
若t+2≤1,即t≤-1,则y=f(x)在[t,t+2]上是减函数,ymin=f(t+2)=2t2+4t+3;
若t<1 综上,当t≥1时,ymin=2t2-4t+3,
当-1 当t≤-1时,ymin=2t2+4t+3。