人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质巩固练习

3.2.1   单调性与最大（小）值

一、选择题

1．（2017·佛山市高明区第一中学高一课时练习）函数的递增区间依次是(     )

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

函数，该函数的单调递增区间为；

二次函数：开口向下，对称轴为，该函数的单调递增区间为；

本题选择C选项.

2．（2017·佛山市高明区第一中学高一课时练习）在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】A选项在 上是增函数；B选项在 是减函数，在 是增函数；C选项在是减函数；D选项 在是减函数，在是增函数；故选C.

3．（2017·全国高一课时练习）设函数f(x)的定义域为R，有下列四个命题：

(1)若存在常数M，使得对任意的x∈R，有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值

(2)若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，且x≠x0，有f(x)<f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值

(3)若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，有f(x)<f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值

(4)若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值

这些命题中，正确命题的个数是(　　)

A．0 B．1

C．2 D．3

【答案】C

【解析】若存在常数，使得对任意的，有，则有可能取不到，不一定是最大值，所以(2)，(4)是正确的.

故选C.

4．（2017·全国高一课时练习）设c<0，f(x)是区间[a，b]上的减函数，下列命题中正确的是(　　)

A．f(x)在区间[a，b]上有最小值f(a)    B．f(x)＋c在[a，b]上有最小值f(a)＋c

C．f(x)－c在[a，b]上有最小值f(a)－c    D．cf(x)在[a，b]上有最小值cf(a)

【答案】D

【解析】因为f(x)是区间[a，b]上的减函数，所以f(x)在区间[a，b]上有最大值f(a)，f(x)＋c在[a，b]上有最大值f(a)＋c，f(x)－c在[a，b]上有最大值f(a)－c，cf(x)在[a，b]上有最小值cf(a)，所以选D.

5．（2017·全国高一课时练习）若函数y＝在区间[2，4]上的最小值为5，则k的值为(　　)

A．5    B．8

C．20    D．无法确定

【答案】C

【解析】∴或∴k＝20.选C.

6．（2017·全国高一课时练习）函数y＝x－在[1，2]上的最大值为(　　)

A．0 B．

C．2 D．3

【答案】B

【解析】

y＝x－在[1，2]上单调递增，所以当x=2时，取最大值为，选B.

二、填空题

7．（2018·全国高一课时练习）如图表示某人的体重与年龄的关系：

①体重随年龄的增长而增加；

②25岁之后体重不变；

③体重增加最快的是15岁至25岁；

④体重增加最快的是15岁之前．

上述判断正确的是__________．(填序号)

【答案】④

【解析】根据函数图像,体重有递增,也有递减的年龄段,故①错误.岁以后,体重还是有增有减的,故②错误.增长最快的在岁,故③错误, ④正确.

8．（2017·全国高一课时练习）函数f(x)＝|x－3|的单调递增区间是_______，单调递减区间是________．

【答案】  [3，＋∞)  (－∞，3]

【解析】

，其图象如图所示，则 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．

9．（2017·全国高一课时练习）已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)________．

【答案】≥25

【解析】由 的对称轴是直线，可知 在上递增，由题设知只需 ，所以 .

10．（2017·全国高一课时练习）若f(x)在R上是减函数，则f(－1)________f(a2＋1)(填“>”或“<”或“≥”或“≤”)．

【答案】>

【解析】∵f(x)在R上是减函数，

∴对任意x1，x2，若x1<x2均有f(x1)>f(x2)．

又∵－1<a2＋1，

∴f(－1)>f(a2＋1)．

三、解答题

11．（2017·佛山市高明区第一中学高一课时练习）已知函数，∈[0,2]，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值．

【答案】证明见解析；最小值是 ，最大值是

【解析】解：设 ，则.

由 ，

得 ，

所以 ，即 ，

故f(x)在区间 上是增函数.

因此，函数在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是 ，最大值是.

12．（2019·全国高一课时练习）已知一元二次函数．

（1）写出该函数的顶点坐标；

（2）如果该函数在区间上的最小值为，求实数的值.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）由二次函数顶点的坐标公式，

顶点横坐标，顶点纵坐标.

所以抛物线的顶点坐标为；

（2）二次函数图象开口向上，对称轴为，在区间上的最小值，分情况：

①当时，即当时，二次函数在区间上随着的增大而增大，

该函数在处取得最小值，即，

解得，又，所以；

②当时，即当时，二次函数在区间上随着的增大而减小，在区间上随着的增大而增大，该函数在处取得最小值，即，

解得，舍去；

③当时，即当时，二次函数在区间上随着的增大而减小，

该函数在处取得最小值，即，

解得，又，解的.

综上，或.