人教A版高中数学必修第一册第3章一元二次函数、方程和不等式3-2-2奇偶性课件

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第三章3.2.2　奇偶性基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引 学以致用·随堂检测全达标基础落实·必备知识全过关知识点一:奇、偶函数的定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) 名师点睛对函数奇偶性定义的理解函数的奇偶性是相对于定义域I内的任意一个x而言的,而函数的单调性是相对于定义域内的某个子集而言的,从这个意义上讲,函数的单调性属于“局部性质”,而函数的奇偶性则属于“整体性质”.微思考1若一个函数具有奇偶性,其定义域有何特点?  微思考2对于定义域内的任意x,若f(-x)+f(x)=0,则函数f(x)是否具有奇偶性?若f(-x)-f(x)=0呢?提示 定义域关于原点对称. 提示 由f(-x)+f(x)=0得f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数.由f(-x)-f(x)=0得f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数.知识点二:奇、偶函数的图象特征1.偶函数的图象关于　　　　对称;反之,结论也成立,即图象关于　　　　　对称的函数是偶函数. 2.奇函数的图象关于　　　　对称;反之,结论也成立,即图象关于　　　　　对称的函数是奇函数. y轴 y轴 原点 原点 名师点睛奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反;若奇函数f(x)在区间[a,b](00时,-x<0,f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x).当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.规律方法　判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法:(2)图象法: 探究点二 奇、偶函数性质的几何应用问题5奇、偶函数在几何上体现了怎样的特征?如何应用?【例2】 已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.(1)请补出完整函数y=f(x)的图象;(2)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.解(1)由题意作出函数图象如图, (2)据图可知,使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(0,2). 规律方法　由于奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,因此根据奇、偶函数图象的对称性可以解决如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题.探究点三 函数奇偶性的代数应用问题6奇偶性从几何角度来看,就是函数图象的对称性.若给出函数的y轴一侧图象,根据奇偶性能作出y轴另一侧图象.据此,若给出函数的一侧解析式,根据奇偶性,能否求出y轴另一侧图象的解析式?【例3】 已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1.(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.解(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.(2)当x<0时,-x>0,由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x)=-[-2(-x)2+3(-x)+1]=2x2+3x-1,所以f(x)=2x2+3x-1(x<0).当x=0时,f(0)=0.延伸探究若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.解 当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式为规律方法　利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设.(2)要利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)与f(-x)的关系式,如奇函数有f(x)=-f(-x),从而解出f(x).提醒:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,偶函数则未必.问题7对于含参的奇、偶函数,可否利用奇偶性确定参数?【例4】 若函数f(x)=ax2+2bx+4a+b是偶函数,定义域为[3a,a+2],则a+b=　　　　　. 规律方法　利用奇偶性求参数的方法:(1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,系数对应相等即可求解.探究点四 抽象函数奇偶性的探究问题8函数有解析式相对形象,若不给解析式,只给出函数关系,可否判断其奇偶性?【例5】 若定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),则(　　)A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数C.f(x)是非奇非偶函数 D.f(x)是既奇又偶函数B解析 令x1=x2=0,则f(0)=2f(0),所以f(0)=0.令x1=x,x2=-x,则f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),故函数y=f(x)是奇函数.规律方法　1.判断抽象函数的奇偶性,应利用函数奇偶性的定义,找准方向,巧妙赋值,构造f(-x),变形找出f(-x)与f(x)的关系,从而判断或证明抽象函数的奇偶性.2.有时需要整体上研究f(-x)+f(x)的和的情况.比如本例中利用f(-x)+f(x)=0可得出y=f(x)是奇函数.学以致用·随堂检测全达标123451.(例1对点题)判断下列函数的奇偶性: (4)f(x)=|x+2|+|x-2|. 解f(x)的定义域是R,又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函数.123452.(例2对点题)[2023北京西城高一月考]已知f(x)为奇函数,其局部图象如图所示,那么(　　)A.f(2)=2 B.f(2)=-2C.f(2)>-2 D.f(2)<-2C解析 由图可知f(-2)<2,因为函数是奇函数,所以f(-2)=-f(2),即-f(2)<2,则f(2)>-2.故选C.123453.(例3对点题)已知函数f(x)为定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式;(2)画出函数f(x)的图象.12345解 (1)①当x=0时,f(0)=0;②当x<0时,-x>0,∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x.123454.(例4对点题)函数f(x)=x3+(m2-1)x2+x为奇函数,求m的值. 解 根据题意f(x)=x3+(m2-1)x2+x为奇函数,则f(-x)=-f(x),则有(-x)3+(m2-1)(-x)2+(-x)=-[x3+(m2-1)x2+x],则有2(m2-1)x2=0,故m2-1=0,解得m=±1.123455.(例5对点题)已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1),f(-1)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性.解 (1)∵f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),∴令x=y=1时,有f(1×1)=1×f(1)+1×f(1),∴f(1)=0.∴令x=y=-1时,有f[(-1)×(-1)]=(-1)×f(-1)+(-1)×f(-1),∴f(-1)=0.(2)∵f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),∴令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1).将f(-1)=0代入,得f(-x)=-f(x),∴函数f(x)是R上的奇函数.