高中人教A版 (2019)2.2 基本不等式课文内容课件ppt

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知识点一:基本不等式我们称不等式 为基本不等式,其中a　　　　,b　　　　,当且仅当a=b时,等号成立. 名师点睛基本不等式
微思考(1)我们知道一个重要不等式:若a,b∈R,则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,等号成立).如果a>0,b>0,我们用 分别代替不等式中的a,b,可得到什么形式?
提示 得到a+b≥2 .
(2)我们称 为a,b的几何平均数,称 为a,b的算术平均数.如何用这两个概念描述基本不等式?能否用图形来表示基本不等式的证明?
提示 基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.具体图形证明如图.在圆中,令AC=a,CB=b,AB为圆的直径,则圆的半径
知识点二:利用基本不等式求最值已知x,y都是正数. 　 常数 (1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得　　　　　　　　　. (2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得　　　　　　　　. 
名师点睛利用基本不等式求最值的注意事项1.应用基本不等式求最值时,要识别基本不等式的模型结构,把握正数的和或积这两个关键要素及之间的关系.积为定值和有最小值;和为定值积有最大值.
2.基本不等式的代数变形(识别本质):
微思考不等式x+ ≥2(x>0)是一个真命题,若把x>0改为x∈R是否成立?把x>0改为x>1是否成立?把x+ ≥2(x>0)改为x- ≥2(x>0)是否成立?
提示 均不成立.第1个改变,x不是正数,不适用于基本不等式模型;第2个改变,不满足等号成立的条件,x=1取不到,不适用于基本不等式模型;第3个改变,根本不是基本不等式模型.
问题1不等式的性质保证了代数运算的正确性,体现了运算过程中的不变性.对于具体的不等式来讲,是否会为解决某一类问题提供方便?问题2基本不等式 是一类具体的不等式,能够解决满足一定条件的代数式的最值问题.基于此,基本不等式可以看成一类解决具体问题的数学模型,这类模型有何特征?问题3对于基本不等式,是否可以从不等式a2+b2≥2ab得出?还可以如何证明?能否构建出基本不等式的几何解释?问题4对于基本不等式,请归纳有哪些适用条件?
探究点一 对基本不等式的理解
【例1】 下列结论正确的是(　　)
解析 对于选项A,当x<0时,不成立;对于选项B,符合应用基本不等式的三个基本条件“一正,二定,三相等”;对于选项C,等号成立的条件x= ,即x=1不满足x≥2;对于选项D,x= =1时,x+ 取最小值.
规律方法　应用基本不等式模型时要注意以下三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值(基本不等式模型的重要特征),定值有时会隐含,如x(1-x)就隐含了和为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正、二定、三相等”.
探究点二 利用基本不等式证明不等式
问题5对于基本不等式模型,是否可以简便证明一些不等式?【例2】 已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c>
规律方法　利用基本不等式证明不等式的注意事项(1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式.(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.(3)解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式.
探究点三 利用基本不等式求最值
问题6基本不等式模型更多的是用来解决一类代数式的最值问题,对于这类代数式,可以如何变形?【例3】 已知a>0,b>0,且ab=1,则a+4b的最小值为　　　　. 
延伸探究本例改为“已知a>0,b>0,且a+4b=4”,求ab的最大值.
【例4】 [2023山西晋城陵川月考]已知正实数a,b满足a+b=ab,则ab的最小值为(　　)A.1B. C.2 D.4
∴ab≥4,当且仅当a=b=2时取等号,故ab的最小值为4.
变式训练已知正数x,y满足 =1,则xy有(　　)A.最小值12B.最大值12C.最小值144D.最大值144
1.(例1对点题)已知0解析 ∵00.
2.(例1对点题)已知y=4x+ (x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=　　　　. 
3.(例2对点题)已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
4.(例3对点题)已知x>0,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为　　　　　. 
5.(例4对点题)(多选题)设a>0,b>0,下列不等式恒成立的是(　　)A.a2+1>a