高中人教B版 (2019)4.1.2 乘法公式与全概率公式课时练习

第四章4.1.2　乘法公式与全概率公式

A级 必备知识基础练

1.[探究点一]若P(A)=,P(B|A)=,则P(AB)等于(　　)

A. B. C. D.

2.[探究点二]已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02,0.01,则一辆汽车中途停车修理的概率为(　　)

A. B. C. D.

3.[探究点一·2023云南昆明一中高二阶段练习]设P(A|B)=P(B|A)=,P(A)=,则P(B)等于(　　)

A. B. C. D.

4.[探究点三]两批同规格的产品,第一批占40%,次品率为5%;第二批占60%,次品率为4%.将两批产品混合,从混合产品中任取一件,则这件产品合格的概率是　　　　　,已知取得的产品是合格品,则它取自第一批产品的概率是　　　　　. 

5.[探究点一·人教A版教材例题]已知3张奖券中只有1张有奖,甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗?

B级 关键能力提升练

6.[2023江苏南京天印高级中学高二期中]设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片,已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的,且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为.现从这10盒中任取一盒,再从这盒中任取一张X光片,则取得的X光片是次品的概率为(　　)

A.0.08 B.0.1 C.0.15 D.0.2

7.(多选题)在某一季节,疾病D1的发病率为2%,病人中40%表现出症状S,疾病D2的发病率为5%,病人中18%表现出症状S,疾病D3的发病率为0.5%,病人中60%表现出症状S.则(　　)

A.任意一位病人有症状S的概率为0.02

B.病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4

C.病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45

D.病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25

8.甲箱中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙箱中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,分别以A1,A2和A3表示由甲箱取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙箱中随机取出一球,以B表示由乙箱取出的球是红球的事件,则下列结论正确的是(　　)

A.事件B与事件Ai(i=1,2,3)相互独立

B.P(A1B)=

C.P(B)=

D.P(A2|B)=

9.甲和乙两个箱子中各装有10个球,其中甲箱中5个红球、5个白球,乙箱中8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子,如果点数为1或2,从甲箱中摸出1个球;如果点数为3,4,5,6,从乙箱中摸出1个球,则摸到红球的概率是　　　　　. 

10.有两台车床加工同一型号的零件,第1台车床加工的次品率为5%,第2台车床加工的次品率为6%,加工出来的零件混放在一起.已知两台车床加工的零件数分别占总数的45%,55%,则任取一个零件是次品的概率为　　　　. 

11.有3箱同种型号零件,里面分别装有50件、30件、40件,而且一等品分别有20件、12件和24件,现在任取一箱,从中不放回地先后取出2个零件.

(1)求先取出的零件是一等品的概率;

(2)求两次取出的零件均为一等品的概率.(结果保留两位小数)

C级 学科素养创新练

12.某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据:

设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志.

(1)在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率;

(2)在仓库中随机地取一只元件,若已知取到的是次品,为分析此次品出自何厂,需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少.试求这些概率.

参考答案

4.1.2　乘法公式与全概率公式

1.B　由条件概率公式可得P(AB)=P(A)P(B|A)=.故选B.

2.B　设B表示汽车中途停车修理,A1表示公路上经过的汽车是货车,A2表示公路上经过的汽车是客车,则P(A1)=,P(A2)=,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01,则由全概率公式,可知一辆汽车中途停车修理的概率为P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×0.02+×0.01=.故选B.

3.B　∵P(AB)=P(A)P(B|A)=,由P(A|B)=,得P(B)=×2=.故选B.

4.0.956　　设A1表示“产品取自第一批产品”,A2表示“产品取自第二批产品”,B=“取得的产品为合格品”,根据题意P(A1)=0.4,P(A2)=0.6,P(B|A1)=0.95,P(B|A2)=0.96.

由全概率公式,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.4×0.95+0.6×0.96=0.956,由贝叶斯公式,P(A1|B)=.

5.解 用A,B,C分别表示甲、乙、丙中奖的事件,则B=B,C=.

P(A)=;

P(B)=P(B)=P()P(B|)=;

P(C)=P()=P()P()=.

因为P(A)=P(B)=P(C),所以中奖的概率与抽奖的次序无关.

6.A　以A1,A2,A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,B表示取得的X光片为次品,P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,则由全概率公式得所求概率为P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)==0.08.故选A.

7.ABC　P(D1)=0.02,P(D2)=0.05,P(D3)=0.005,P(S|D1)=0.4,P(S|D2)=0.18,P(S|D3)=0.6,由全概率公式得P(S)=P(Di)P(S|Di)=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02.由贝叶斯公式得P(D1|S)==0.4,P(D2|S)==0.45,P(D3|S)==0.15.故选ABC.

8.BD　由题意P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,若A1发生,此时乙袋有5个红球,3个白球和3个黑球,则P(B|A1)=,若A2发生,此时乙袋有4个红球,4个白球和3个黑球,则P(B|A2)=,若A3发生,此时乙袋有4个红球,3个白球和4个黑球,则P(B|A3)=,所以P(A1B)=P(B|A1)P(A1)=,B正确;P(A2B)=P(B|A2)P(A2)=,P(A3B)=P(B|A3)P(A3)=,P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=,C错误;则P(A1)P(B)≠P(A1B),P(A2)P(B)≠P(A2B),P(A3)P(B)≠P(A3B),A错误;P(A2|B)=,D正确.故选BD.

9.　设A表示“球取自甲箱”,B表示“球取自乙箱”,C表示“取出红球”,由全概率公式,得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=.

10.0.0555　依题意,任取一个零件,它是次品的概率为5%×45%+6%×55%=5.55%.

11.解 (1)记事件Ai表示“任取的一箱为第i箱零件”,则i=1,2,3;

记事件Bj表示“第j次取到的是一等品”,则j=1,2.

由题意得P(A1)=P(A2)=P(A3)=,

P(B1|A1)==0.4,

P(B1|A2)==0.4,

P(B1|A3)==0.6,

由全概率公式得P(B1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)·P(B1|A2)+P(A3)P(B1|A3)=×(0.4+0.4+0.6)=.

(2)P(B1B2|A1)=,

P(B1B2|A2)=,

P(B1B2|A3)=,

由全概率公式得P(B1B2)=P(A1)P(B1B2|A1)+P(A2)P(B1B2|A2)+P(A3)P(B1B2|A3)=×=≈0.22.

12.解设A表示“取到的是一只次品”,Bi(i=1,2,3)表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”.

易知B1,B2,B3是样本空间的一个划分,且有P(B1)=0.15,P(B2)=0.80,P(B3)=0.05,P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.03.

(1)由全概率公式,得P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.0125.

(2)由贝叶斯公式,得P(B1|A)==0.24,

P(B2|A)=0.64,P(B3|A)=0.12.

以上结果表明,这只次品来自第2家工厂的可能性最大.