高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.1.2 乘法公式与全概率公式课后作业题

4.1.2　乘法公式与全概率公式

基础过关练

题组一　乘法公式及其应用

1.(2019北京顺义一中高二模拟)已知P(B|A)=,P(AB)=,则P(A)等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　

A. B. C. D.

2.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)等于(　　)

A. B. C. D.

3.(多选)(2020山东省实验中学高二段考)下列说法一定不成立的是(　　)

A.P(B|A)<P(AB) 

B.P(B)=P(A)P(B|A)

C.P(AB)=P(A)·P(B) 

D.P(A|A)=0

4.(2020辽宁大连第二十四中学高二月考)设P(A|B)=P(B|A)=,P(A)=,则P(B)等于　　　　. 

5.(2020福建泉州高二段考)设袋中有5个红球,3个黑球,2个白球,试按:

(1)有放回;(2)不放回两种方式摸球三次,每次摸一球,求第三次才摸到白球的概率.

题组二　全概率公式及其应用

6.(2020河南新乡一中高二月考)袋中有a个白球和b个黑球,不放回地摸球两次,则第二次摸到白球的概率为　　　　. 

7.(2020山东聊城一中高二模拟)某保险公司把被保险人分为3类:“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明,这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30.如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”被保险人占50%,“冒失的”被保险人占30%,则一个被保险人在一年内出事故的概率是　　　　. 

8.已知P()=,P(|A)=,P(B|)=,求P(),P(|B).

9.(2020山东青岛二中高二月考)三个罐子分别编号为 1,2,3,其中1号罐中装有2个红球和1个黑球, 2号罐中装有3个红球和1个黑球,3号罐中装有2个红球和2个黑球.若某人从中随机取一罐,再从中任意取出一球,求取得红球的概率.

题组三　贝叶斯公式及其应用

10.(2020山东滕州一中高二月考)设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的概率为0.95,而未患肺结核病的人通过胸透被误诊为有病的概率为0.002,已知某城市居民患肺结核的概率为0.1%.若从该城市居民中随机地选出一人,通过胸透被诊断为肺结核,求这个人确实患有肺结核的概率.

11.(2020山西太原高二模拟)根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试验具有如下的效果:若以A表示事件“试验反应为阳性”,以C表示事件“被诊断者患有癌症”,则有P(A|C)=0.95,P(|)=0.95.现在对自然人群进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为0.005,即P(C)=0.005,试求P(C|A).

答案全解全析

4.1.2　乘法公式与全概率公式

基础过关练

1.C　由P(AB)=P(B|A)P(A),可得P(A)==.故选C.

2.C　由乘法公式得P(AB)=P(B|A)·P(A)=×=,故选C.

3.AD　∵P(B|A)=,而0<P(A)≤1,∴P(B|A)≥P(AB),故A不成立;∵P(AB)=P(A)P(B|A),∴当P(AB)=P(B)时,B成立;当A、B相互独立时,P(AB)=P(A)·P(B),故C可能成立;P(A|A)=1,故D不成立.故选AD.

4.答案　

解析　∵P(AB)=P(B|A)·P(A)=×=,

∴P(B)===.

5.解析　设A={第一次未摸到白球},B={第二次未摸到白球}, C={第三次摸到白球},

则事件“第三次才摸到白球”可表示为ABC.

(1)有放回时,

P(A)=,P(B|A)=,P(C|AB)=,

P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)

=××=.

(2)不放回时,

P(A)=,P(B|A)=,P(C|AB)=,

P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)

=××=.

6.答案　

解析　分别记A,B为第一次、第二次摸到白球,由全概率公式得,P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=·+·=.

7.答案　0.175

解析　设B1=“他是谨慎的”,B2=“他是一般的”,B3=“他是冒失的”,则B1,B2,B3构成了Ω的一个划分,设事件A=“出事故”,由全概率公式得,

P(A)=P(Bi)P(A|Bi)(i=1,2,3)=0.05×20%+0.15×50%+0.30×30%=0.175.

8.解析　因为P(|A)====,所以P(A)=,

因为P(|)=,P(|)=1-P(B|)=,所以P( )=,

因此P()=P(A)+P( )=+=,P(B)=1-P()=,

从而P(|B)=P(B|)=×=.

9.解析　记Bi={球取自i号罐}(i=1,2,3),A={取得红球},显然A的发生总是伴随着B1,B2,B3之一同时发生,即A=AB1+AB2+AB3,且AB1,AB2,AB3两两互斥,

P(A|B1)=,P(A|B2)=,P(A|B3)=,

所以P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)=P(Bi)P(A|Bi)==×+×+×=.

10.解析　设A表示“被诊断为肺结核”,C表示“患有肺结核”.

由题意得,P(C)=0.001, P()=0.999,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.002.由贝叶斯公式知,

P(C|A)=

=.

11.解析　因为P(A|C)=0.95,

P(A|)=1-P(|)=0.05,

P(C)=0.005,P()=0.995,

所以,由贝叶斯公式得所求概率

P(C|A)==.