数学4.1.2 乘法公式与全概率公式学案及答案

4.1.2　乘法公式与全概率公式

(教师独具内容)

课程标准：1.结合古典概型，会用乘法公式计算概率.2.会利用全概率公式计算概率.3.了解贝叶斯公式．

教学重点：理解并掌握乘法公式、全概率公式．

教学难点：应用乘法公式、全概率公式解题.

知识点一　　　乘法公式

根据事件A发生的概率，以及事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率．一般地，这个结论称为乘法公式，即P(BA)＝P(A)P(B|A)．推广到三个事件：P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)，一般地，P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An－1)与次序无关．乘法公式的应用：主要应用于求几个事件同时发生的概率．

知识点二　　　全概率公式

一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，则BA与B是互斥的，当P(A)＞0且P()＞0时，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．这称为全概率公式．

定理1　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：

(1)任意两个事件均互斥，即AiAj＝ ，i，j＝1,2，…，n，i≠j；

(2)A1＋A2＋…＋An＝Ω；

(3)P(Ai)>0，i＝1,2，…，n.

则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝(BAi)＝(Ai)P(B|Ai)．上述公式也称为全概率公式．

知识点三　　　贝叶斯公式

一般地，当1>P(A)>0且P(B)>0时，有P(A|B)＝.这称为贝叶斯公式．同全概率公式一样，贝叶斯公式也可以进行推广．

定理2　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：(1)任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；

(2)A1＋A2＋…＋An＝Ω；

(3)1>P(Ai)>0，i＝1,2，…，n.

则对Ω中的任意概率非零的事件B，有

P(Aj|B)＝.

上述公式也称为贝叶斯公式．

1．乘法公式的理解：两个事件同时发生的概率等于第一个事件发生的概率乘以第一个事件发生的条件下第二个事件发生的条件概率．

2．全概率公式的理解：“全”部概率被分解成了许多部分之和．某事件B的发生有各种可能的原因(i＝1,2，…，n)．如果B发生是由原因Ai所引起的，则B发生的概率是P(B)＝P(BAi)＝P(Ai)P(B|Ai)．每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生的概率的总和，即全概率公式．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．(　　)

(2)P(B|A)＝P(AB)．(　　)

(3)P((A∩B)|A)＝P(B)．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)×

2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于________．

(2)已知P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)＝________，P(A|B)＝________.

(3)已知P(BA)＝0.35，P(B)＝0.72，则P(B)＝________.

答案　(1)　(2)　　(3)0.37

题型一  乘法公式的应用

例1　10个考签中有4个难签，3人参加抽签(不放回)，甲先，乙次，丙最后．求：

(1)甲抽到难签的概率；

(2)甲、乙都抽到难签的概率；

(3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率；

(4)甲、乙、丙都抽到难签的概率．

[解]　记事件A，B，C分别表示甲、乙、丙抽到难签，则

(1)P(A)＝＝.

(2)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝.

(3)P(B)＝P()P(B|)＝×＝.

(4)P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)＝××＝.

点睛

由条件概率公式P(B|A)＝，可推导得出乘法公式：P(AB)＝P(B|A)P(A)(P(A)>0)．即要求A，B事件同时发生的概率，需建立缩小的事件空间，再由概率相乘可得．

　在标有1,2,3,4,5这5个数字的卡片里，无放回地抽取两次，一次一张，求：

(1)第一次取到奇数卡片的概率；

(2)已知第一次取到偶数卡片，求第二次取到奇数卡片的概率；

(3)第二次才取到奇数卡片的概率．

解　设A，B分别表示第一次和第二次取到奇数卡片这两个事件，则

(1)P(A)＝.

(2)第一次取出一张偶数卡片，还剩4张卡片，而其中有3张奇数卡片，故此时取一张奇数卡片的概率为，即P(B|)＝.

(3)∵第二次才取到奇数卡片，∴第一次应取偶数卡片，即第一次发生，故{第二次才取到奇数卡片}应是与B同时发生，∴P(B)＝P()P(B|)＝×＝.

题型二  全概率公式的应用

例2　已知某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的产品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率．

[解]　设B＝{从仓库中随机提出的一台是合格品}，

Ai＝{提出的一台是第i车间生产的}，i＝1,2，

则有B＝A1B∪A2B.

由题意知，P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88.

由全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝×0.85＋×0.88＝0.868.

点睛

全概率公式的实际意义

在较复杂情况下直接计算P(B)不易，但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造一组互斥的Ai，用P(BAi)之和计算P(B)即可．

　市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为30%,20%,50%，且三家工厂的次品率分别为3%,3%,1%，试求市场上该品牌产品的次品率．

解　设A表示买到一件次品；B1，B2，B3分别表示买到一件甲厂、乙厂、丙厂的产品．则

P(A)＝P(AB1)＋P(AB2)＋P(AB3)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝30%×3%＋20%×3%＋50%×1%＝2%.

题型三  贝叶斯公式的应用

例3　设某公路上经过的货车与客车数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．

[解]　设B＝{中途停车修理}，A1＝{经过的是货车}，A2＝{经过的是客车}，则B＝A1B∪A2B，由贝叶斯公式有

P(A1|B)＝

＝＝0.80.

点睛

利用贝叶斯公式解题，即在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致事件A发生的每个原因Ai的概率．

　对以往的数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%.每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%.已知某天早上第一件产品是合格品，机器调整得良好的概率是多少？

解　设A表示产品合格，B表示机器调整良好．则

P(B|A)＝

＝＝90%.

1．设A，B是任意两个随机事件，且A⊂B，P(B)>0，则下列各式中正确的是(　　)

A．P(A)<P(A|B)  B．P(A)≤P(A|B)

C．P(A)>P(A|B)  D．P(A)≥P(A|B)

答案　B

解析　因为A⊂B，所以A∩B＝A，所以P(A|B)＝，所以P(A)＝P(B)P(A|B)．又0＜P(B)≤1，所以P(A)≤P(A|B)，故选B.

2．有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是，，，而乘飞机则不会迟到．则他迟到的概率为(　　)

A．0.09  B．0.10  C．0.15  D．0.20

答案　C

解析　P＝0.3×＋0.2×＋0.1×＝0.15，故选C.

3．公司销售10台洗衣机，其中有3台次品．现已售出1台洗衣机，在余下的洗衣机中任取两台，发现均为正品，则原先售出的一台为次品的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　设事件A为“售出的1台洗衣机为次品”，B为“余下的9台洗衣机中取出2台均为正品”．显然P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝＝，P(B|)＝＝，由贝叶斯公式有P(A|B)＝＝＝.故选D.

4．一批产品中有4%的次品，而合格品中一等品占45%，从这批产品中任取一件，则该产品是一等品的概率为________．

答案　43.2%

解析　设A表示取到的产品是一等品，B表示取到的产品是合格品，则P(A|B)＝45%，P()＝4%，∴P(B)＝1－P()＝96%，∴P(A)＝P(AB)＝P(B)P(A|B)＝96%×45%＝43.2%.

5．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则从2号箱中取出红球的概率是多少？

解　记事件A为“最后从2号箱中取出的是红球”，事件B为“从1号箱中取出的是红球”，

则P(B)＝＝，P()＝1－P(B)＝，P(A|B)＝＝，P(A|)＝＝，

从而P(A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝.

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．已知P(B|A)＝0.3，P(A)＝0.4，P(B|)＝0.2，则P(B)＝(　　)

A．0.28  B．0.12  C．0.24  D．0.36

答案　C

解析　由P(A)＝0.4，得P()＝0.6，故P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()P(B|)＝0.4×0.3＋0.6×0.2＝0.24，故选C.

2．下列式子成立的是(　　)

A．P(A|B)＝P(B|A)

B．0<P(B|A)<1

C．P(AB)＝P(A)P(B|A)

D．P((A∩B)|B)＝P(B|A)

答案　C

解析　显然A错误；0≤P(B|A)≤1，B错误；由P(B|A)＝，得P(AB)＝P(B|A)P(A)，C正确；

P((A∩B)|B)＝＝P(A|B)，D错误．故选C.

3．一个盒子有6只白球，4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次，则第二次取到白球的概率为(　　)

A．0.6  B．0.4  C．0.2  D．0.1

答案　A

解析　设A＝{第一次取到白球}，B＝{第二次取到白球}，因为B＝AB∪B，且AB与B互斥，所以P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝0.6.

4．设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时打破的概率为.若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率是.则透镜落下两次未打破的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　设A1＝{透镜第一次落下打破}，A2＝{透镜第二次落下打破}，B＝{透镜落下两次未打破}，则B＝12，P(B)＝P(12)＝P(1)P(2|1)＝1－×1－＝.

5．袋中有a个白球和b个黑球，不放回摸球两次，则第二次摸出白球的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　分别记A，B为第一次、第二次摸到白球，由全概率公式， 得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝·＋·＝.

二、填空题

6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球．若随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球的概率为________．

答案　

解析　记B＝{该球是红球}，A1＝{取自甲袋}，A2＝{取自乙袋}．已知P(B|A1)＝＝，P(B|A2)＝＝，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝.

7．甲、乙两人比赛乒乓球，甲发球．已知甲发球不会失误，乙接发球失误率为0.3，接甲回球的成功率为0.5，甲接乙回球的失误率为0.4.则乙在两个回合中失分的概率为________．

答案　0.51

解析　失误有两种情况：①第一次回球乙失分，概率为0.3；②第二次回球乙失分，概率为0.7×0.6×0.5，即甲发球成功后，乙第一次回球成功，然后甲回球成功，最后乙回球失误．故乙在两个回合中失分的概率为0.3＋0.7×0.6×0.5＝0.51.

8．袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币(次品硬币的两面均为数字)，在袋中任取一枚，将它投掷r次，已知每次都得到数字，则这枚硬币是正品的概率为________．

答案　

解析　记T为“将硬币投掷r次每次都出现数字”，记A为“所取到的是正品”，由题设得P(A)＝，P()＝，P(T|A)＝，P(T|)＝1.需求P(A|T)，由贝叶斯公式可得P(A|T)＝＝＝.

三、解答题

9．100件产品中有5件是次品，从中连续无放回地抽取3次，求第三次才取得次品的概率(精确到0.001)．

解　设Ai表示“第i次取得次品(i＝1,2,3)”，

B表示“第三次才取得次品”，则B＝12A3，P(B)＝P(12A3)＝P(1)P(2|1)P(A3|12)＝××≈0.046.

所以第三次才取得次品的概率约为0.046.

10．轰炸机轰炸某目标，它能飞到距目标400,200，100(米)的概率分别是0.5,0.3,0.2，又设它在距目标400,200,100(米)时的命中率分别是0.01,0.02,0.1，求目标被命中的概率为多少？

解　设事件A1表示“飞机能飞到距目标400米处”，事件A2表示“飞机能飞到距目标200米处”，事件A3表示“飞机能飞到距目标100米处”，用事件B表示“目标被击中”．由题意得P(A1)＝0.5，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.2，又P(B|A1)＝0.01，P(B|A2)＝0.02，P(B|A3)＝0.1.

由全概率公式得，P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)·P(A2)＋P(B|A3)P(A3)＝0.01×0.5＋0.02×0.3＋0.1×0.2＝0.031.

所以目标被命中的概率为0.031.

B级：“四能”提升训练

1．某家公司有三台机器A1，A2，A3生产同一种产品，生产量分别占总产量的，，，且其产品的不良率分别各占其产品量的2%,1.2%,1%，任取公司的一件产品，则其为不良品的概率为________，若已知此产品为不良品，则此产品由A1所生产出的概率为________．

答案　　

解析　记事件A′1为“该产品是A1生产的”，事件A′2为“该产品是A2生产的”，事件A′3为“该产品是A3生产的”，事件B为“该产品为不良品”，则P(B)＝P(B|A′1)·P(A′1)＋P(B|A′2)P(A′2)＋P(B|A′3)P(A′3)＝2%×＋1.2%×＋1%×＝.若此产品为不良品，则此产品由A1所生产的概率为P(A′1|B)＝＝＝.

2．同一种产品由甲、乙、丙三个工厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起．

(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；

(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个工厂中哪个厂生产的可能性最大？

解　设事件A表示“取到的产品为正品”，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”．由已知得

P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，

P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8.

(1)由全概率公式得，P(A)＝(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86.

(2)由贝叶斯公式得，

P(B1|A)＝＝≈0.2209，

P(B2|A)＝＝≈0.3140，

P(B3|A)＝＝≈0.4651，

由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大．