人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.4 随机变量的数字特征第1课时课后复习题

第四章4.2.4　随机变量的数字特征

第一课时　离散型随机变量的均值

A级 必备知识基础练

1.[探究点一(角度1)]已知离散型随机变量X的分布列为

则X的数学期望E(X)等于(　　)

A. B.2 

C. D.3

2.[探究点一(角度2)]有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,用X表示取到次品的个数,则E(X)等于(　　)

A. B. C. D.1

3.[探究点一(角度1)]已知随机变量X的分布列是

若E(X)=7.5,则a等于(　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

4.[探究点一(角度1)]两名教师和两名学生排成一排拍合照,记ξ为两名学生中间的教师人数,则E(ξ)=(　　)

A. B. C. D.

5.[探究点二](多选题)把某班级的全体学生平均分成6个小组,且每个小组均有4名男生和多名女生.现从各个小组中随机抽取1名学生参加社区服务活动,若抽取的6名学生中至少有1名男生的概率为,则(　　)

A.该班级共有36名学生

B.第1个小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为

C.抽取的6名学生中男、女生人数相同的概率是

D.设抽取的6名学生中女生人数为X,则E(X)=2

6.[探究点二]随机变量X~B10,,变量Y=20+4X,则E(Y)=　　　　　　. 

7.[探究点一(角度2)]甲、乙两人对同一目标各射击一次,甲命中的概率为,乙命中的概率为,且他们的结果互不影响,若命中目标的人数为ξ,则E(ξ)=　. 

8.[探究点一(角度1)]设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3,4.P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4).若X的数学期望E(X)=3,则a+b=.

9.[探究点一(角度2)·北师大版教材习题]从4名男生和3名女生中任选3人参加辩论比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数.

(1)求X的分布列;

(2)求X的均值.

B级 关键能力提升练

10.已知0<a<,随机变量ξ的分布列如下表,则当a增大时,ξ的期望E(ξ)的变化情况是(　　)

A.E(ξ)增大 B.E(ξ)减小

C.E(ξ)先增大后减小 D.E(ξ)先减小后增大

11.(多选题)已知<p<1,随机变量X的分布列如下,则下列结论正确的有(　　)

A.P(X=2)的值最大

B.P(X=0)<P(X=1)

C.E(X)随着p的增大而减小

D.E(X)随着p的增大而增大

12.(多选题)某市有A,B,C,D四个景点,一位游客来该市游览,已知该游客游览A的概率为,游览B,C和D的概率都是,且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示该游客游览的景点的个数,则下列选项正确的是(　　)

A.该游客至多游览一个景点的概率为

B.P(X=2)=

C.P(X=4)=

D.E(X)=

13.袋中装有除颜色外其他均相同的5个红球、m个白球,现从中任取2个球.若取出的两球都是红球的概率为,记取出的红球个数为X,则E(X)=　　　　. 

14.一个不透明袋中放有除颜色外其他均相同的小球,其中红球3个、黑球2个,现随机等可能取出小球.当有放回依次取出2个小球时,记取出的红球数为ξ1,则E(ξ1)=　　　　;若第一次取出1个小球后,放入1个红球和1个黑球,再第二次随机取出1个小球.记取出的红球总数为ξ2,则E(ξ2)=　　　　. 

15.某学校对课间操活动做了如下规定:课间操时间若有雾霾则停止课间操,若无雾霾则组织课间操.预报得知,在未来一周从周一到周五的课间操时间出现雾霾的概率是:前3天均为,后2天均为,且每一天出现雾霾与否是相互独立的.

(1)求未来5天至少一天停止课间操的概率;

(2)求未来5天组织课间操的天数X的分布列和数学期望.

C级 学科素养创新练

16.在某次投篮测试中,有两种投篮方案.方案甲:先在A点投篮一次,以后都在B点投篮;方案乙:始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为,命中一次记3分,没有命中得0分;在B点命中的概率为,命中一次记2分,没有命中得0分,用随机变量ξ表示该选手一次投篮测试的累计得分,如果ξ的值不低于3分,则认为其通过测试并停止投篮,否则继续投篮,但一次测试最多投篮3次.

(1)若该选手选择方案甲,求测试结束后所得分ξ的分布列和数学期望;

(2)试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大?请说明理由.

参考答案

4.2.4　随机变量的数字特征

第一课时　离散型随机变量的均值

1.A　E(X)=1×+2×+3×.

2.A　X的可能取值为0,1,2,

P(X=0)=,P(X=1)=,

P(X=2)=,所以E(X)=0×+1×+2×.

3.C　因为E(X)=4×0.3+0.1a+9b+10×0.2=7.5,

又0.3+0.1+b+0.2=1,所以a=7,b=0.4.

4.C　根据题意,随机变量ξ的取值为0,1,2,可得P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,所以E(ξ)=0×+1×+2×.故选C.

5.AD　设该班级每个小组有n名女生,∵抽取的6名学生中至少有1名男生的概率为,∴抽取的6名学生中没有男生,即抽取的6名学生全为女生的概率为1-,∴6==6,解得n=2.∴每个小组有4名男生、2名女生,共6名学生,∴该班级共有36名学生,A正确;易知第1个小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为,B错误;每组男生被抽取的概率为,女生被抽取的概率为,则抽取的6名学生中男、女生人数相同的概率是33=,C错误;易知X~B6,,∴E(X)=2,D正确.故选AD.

6.40　因为X~B10,,所以E(X)=10×=5,

因为Y=20+4X,所以E(Y)=20+4E(X)=20+20=40.

7.　ξ的可能取值为0,1,2,

则P(ξ=0)=,

P(ξ=1)=,

P(ξ=2)=,

所以E(ξ)=0×+1×+2×.

8.　由题意可得随机变量X的分布列为

由分布列的性质得(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1①.

又E(X)=3,所以1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)+4×(4a+b)=3,即30a+10b=3②.

联立①②两式解得a=,b=0.

所以a+b=.

9.解 (1)X的所有可能取值为0,1,2,3,

则P(X=k)=,k=0,1,2,3.

P(X=0)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=3)=.

所以X的分布列为

(2)X的均值E(X)=0×+1×+2×+3×.

10.B　由题意可知

即E(ξ)=--a=-a,所以当a增大时,ξ的期望E(ξ)减小.故选B.

11.BD　当p=时,P(X=2)=,P(X=1)=1-,A错误;因为<p<1,所以p-p2=p(1-p)<1-p,即P(X=0)<P(X=1),B正确;E(X)=(1-p)+2p2=2p-2+,因为<p<1,所以E(X)随着p的增大而增大,C错误,D正确.故选BD.

12.ABD　记该游客游览i个景点为事件Ai,i=0,1,

则P(A0)=1-×1-×1-×1-=,P(A1)=×1-3+1-×1-2=,所以该游客至多游览一个景点的概率为P(A0)+P(A1)=,故A正确;

随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,

P(X=0)=P(A0)=,

P(X=1)=P(A1)=,

P(X=2)=×1-2+1-××2×1-=,故B正确;

P(X=3)=×2×1-+1-××3=,

P(X=4)=×3=,故C错误;

数学期望为E(X)=0×+1×+2×+3×+4×,故D正确.

故选ABD.

13.　由题意知,整理得m2+9m-36=(m+12)(m-3)=0(m>0),∴m=3.由X的取值范围是{0,1,2},则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,∴E(X)=0×+1×+2×=0+.

14.　ξ1的可能取值为0,1,2,

P(ξ1=0)=,

P(ξ1=1)=,

P(ξ1=2)=,

所以E(ξ1)=0×+1×+2×.

ξ2的可能取值为0,1,2,

P(ξ2=0)=,

P(ξ2=1)=,

P(ξ2=2)=,

所以E(ξ2)=0×+1×+2×.

15.解(1)由题意,可知未来5天每天都组织课间操的概率为P1=32=,所以未来5天至少一天停止课间操的概率P=1-P1=1-.

(2)未来5天组织课间操的天数X的可能取值为0,1,2,3,4,5,P(X=0)=32=,P(X=1)=3+2×2=,

P(X=2)=22+×2·+32=,

P(X=3)=22+2×+32=,

P(X=4)=22+3×=,

P(X=5)=32=,

所以X的分布列为

数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=2.

16.解(1)在A点投篮命中记作事件A,不中记作事件;在B点投篮命中记作事件B,不中记作事件,

其中P(A)=,P()=1-,P(B)=,P()=1-,

ξ的所有可能取值为0,2,3,4,则P(ξ=0)=P()=P()P()P()=,P(ξ=2)=P()+P(B)=2×,P(ξ=3)=P(A)=,P(ξ=4)=P(BB)=P()P(B)P(B)=.

ξ的分布列为

所以E(ξ)=0×+2×+3×+4×=3.05,所以ξ的数学期望为3.05.

(2)选手选择方案甲通过测试的概率P1=P(ξ≥3)==0.91,

选手选择方案乙通过测试的概率P2=P(ξ≥3)=2×=0.896,因为P1>P2,所以该选手选择方案甲通过测试的概率更大.