江苏专版2023_2024学年新教材高中数学第四章数列培优课1求数列的通项分层作业新人教A版选择性必修第二册

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培优课1 求数列的通项A级 必备知识基础练1. ［探究点二］将一些数排成倒三角形如图所示,其中第一行各数依次为1,2,3,,,从第二行起,每一个数都等于他“肩上”的两个数之和,最后一行只有一个数,则等于( )A. B. C. D. 2. ［探究点三］（多选题）设首项为1的数列的前项和为,已知,则下列结论正确的是( )A. 数列 为等比数列 B. 数列 的通项公式为C. 数列 为等比数列 D. 数列 为等比数列3. ［探究点一］已知在数列中,,,则数列的通项公式为.4. ［探究点二］已知各项均为正数的数列的首项为1,且前项和满足.试求数列的通项公式.5. ［探究点四］已知是数列的前项和,且.（1） 求的值;（2） 若,试求数列的通项公式.B级 关键能力提升练6. 在数列中,,且满足,则数列的通项公式为( )A. B. C. D. 7. 已知数列满足,.若,则数列的通项公式等于( )A. B. C. D. 8. 已知在数列中,,且,则数列的通项公式为.9. 在数列中,,,求数列的通项公式.10. 设关于的二次方程有两根 和 ,且满足.（1） 试用表示；（2） 求证:是等比数列；（3） 当时,求数列的通项公式.C级 学科素养创新练11. 已知有穷数列的各项均不相等,将的项由大到小重新排列后相应的项数构成新数列,称为的“序数列”,例如：数列,,满足,则其“序数列”为1,3,2.（1） 若数列的通项公式为,写出的“序数列”;（2） 若项数不少于5项的有穷数列,的通项公式分别为,,且的“序数列”与的“序数列”相同,求实数的取值范围;（3） 已知有穷数列的“序数列”为,求证：“为等差数列”的充要条件是“为单调数列”.培优课1 求数列的通项A级 必备知识基础练1. B[解析]记第行的第一个数为,则,,,,,,,即是以为首项,1为公差的等差数列.,.又每行比上一行的数字少1个, 最后一行为第2 021行,.2. AD[解析]因为,所以.又,所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,故正确;所以,则.当时,,但,故错误;由,,可得,,,即,故错误;由,所以,故正确.3. [解析]由,可得,所以,,,,,.上述各式左右两边分别相乘得,故.又满足上式,所以数列的通项公式为4. 解,又,.又, 数列{}是首项为1,公差为1的等差数列,,故.当时,.当时,符合上式..5. （1） 解 因为,所以当时,,解得.（2） 证明 因为,所以当时,,,即,所以,又,所以,且,所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列,则.B级 关键能力提升练6. C[解析]因为,所以,又,所以数列是以为首项,公差为2的等差数列,所以,所以.7. C[解析]由,得,所以,又,所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以,所以.8. [解析],,即 数列是公差为3的等差数列.又,,.9. 解 由,得当时,,两式作差得,得,即数列从第二项起是公比为3的等比数列,且,,于是,故当时,.于是.10. （1） 解 根据根与系数的关系,得代入题设条件,得.所以.（2） 证明 因为,所以.若,则方程,可化为,即.此时,所以,即.所以数列是以为公比的等比数列.（3） 解 当时,,所以数列是首项为,公比为的等比数列.所以,所以,,即数列的通项公式为,C级 学科素养创新练11. （1） 解 由,可得,,,,于是,故的“序数列”为4,2,1,3.（2） 解 由于,则,当时,,即,,,,,于是,由于,且的“序数列”与的“序数列”相同,则,由于,,,，则,得,当时，由二次函数的知识可知成立,即实数的取值范围是.（3） 证明 必要性：若有穷数列的“序数列”为等差数列,①若为1,2,3,,,,,则有穷数列为递减数列;②若为,,,,3,2,1,则有穷数列为递增数列,所以由①②知,有穷数列为单调数列.充分性：由于有穷数列为单调数列,则①若有穷数列为递减数列，为1,2,3,,,,,是等差数列;②若有穷数列为递增数列,则为,,,,3,2,1,是等差数列,所以由①②知,“序数列”为等差数列.综上,有穷数列的“序数列”为等差数列的充要条件是有穷数列为单调数列.