2023七年级数学上册第1章有理数单元测试新版沪科版

《有理数》单元测试

一．选择题（共12小题）

1．已知地球上海洋面积约为316 000 000km2，数据316 000 000用科学记数法可表示为（　　）

A．3.16×109 B．3.16×107 C．3.16×108 D．3.16×106

2．﹣2的倒数是（　　）

A．2 B．﹣3 C．﹣ D．

3．计算（﹣16）÷的结果等于（　　）

A．32 B．﹣32 C．8 D．﹣8

4．下列各数|﹣2|，﹣（﹣2）2，﹣（﹣2），（﹣2）3中，负数的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．如图，点A、B在数轴上表示的数的绝对值相等，且AB=4，那么点A表示的数是（　　）

A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．3

6．对于任何有理数a，下列各式中一定为负数的是（　　）

A．﹣（﹣3+a） B．﹣a C．﹣|a+1| D．﹣|a|﹣1

7．如图，现有3×3的方格，每个小方格内均有不同的数字，要求方格内每一行．每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则P处对应的数字是（　　）

A．7 B．5 C．4 D．1

8．下列说法不正确的是（　　）

A．0既不是正数，也不是负数

B．绝对值最小的数是0

C．绝对值等于自身的数只有0和1

D．平方等于自身的数只有0和1

9．已知a，b，c为非零的实数，则的可能值的个数为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

10．“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b=2a﹣b，如果x△（1△3）=2，那么x等于（　　）

A．1 B． C． D．2

11．如图，在日历中任意圈出一个3×3的正方形，则里面九个数不满足的关系式是（　　）

A．a1+a2+a3+a7+a8+a9=2（a4+a5+a6）

B．a1+a4+a7+a3+a6+a9=2（a2+a5+a8）

C．a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5

D．（a3+a6+a9）﹣（a1+a4+a7）=（a2+a5+a8）

12．当a=﹣1时，n为整数，则﹣an+1（a2n+3﹣a2n+1﹣3an+1+6an）的值是（　　）

A．9 B．3 C．﹣3 D．﹣9

二．填空题（共4小题）

13．当a，b互为相反数，则代数式a2+ab﹣2的值为　   　．

14．计算﹣2+3×4的结果为　   　

15．规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．当﹣1＜x＜1时，化简[x]+（x）+[x）的结果是　   　．

16．一个整数的所有正约数之和可以按如下方法求得，如：

6=2×3，则6的所有正约数之和（1+3）+（2+6）=（1+2）×（1+3）=12；

12=22×3，则12的所有正约数之和（1+3）+（2+6）+（4+12）=（1+2+22）×（1+3）=28；

36=22×32，则36的所有正约数之和（1+3+9）+（2+6+18）+（4+12+36）=（1+2+22）×（1+3+32）=91．

参照上述方法，那么200的所有正约数之和为　   　

三．解答题（共7小题）

17．已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足（c﹣5）2+|a+b|=0，试回答下列问题：

（1）求a，b，c的值

（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点C以每秒5个点位长度的速度向右运动，试求几秒后点A与点C距离为12个点位长度？

18．如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB=3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M、点N同时出发）

（1）数轴上点B对应的数是　   　．

（2）经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？

19．同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：

（1）|4﹣（﹣2）|的值．

（2）若|x﹣2|=5，求x的值是多少？

（3）同理|x﹣4|+|x+2|=6表示数轴上有理数x所对应的点到4和﹣2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣4|+|x+2|=6，写出求解的过程．

20．（1）﹣|﹣7+1|+3﹣2÷（﹣）

（2）（）÷（﹣）×

（3）

21．观察下列两个等式：3+2=3×2﹣1，4+﹣1，给出定义如下：

我们称使等式a+b=ab﹣1成立的一对有理数c，b为“椒江有理数对”，记为（a，b），如：数对（3，2），（4，），都是“椒江有理数对”．

（1）数对（﹣2，1），（5，）中是“椒江有理数对”的是　   　；

（2）若（a，3）是“椒江有理数对”，求a的值；

（3）若（m，n）是“椒江有理数对”，则（﹣n，﹣m）　   　“椒江有理数对”（填“是”、“不是”或“不确定”）．

（4）请再写出一对符合条件的“椒江有理数对”　   　

（注意：不能与题目中已有的“椒江有理数对”重复）

22．如图A在数轴上所对应的数为﹣2．[来源:Zxxk.Com]

（1）点B在点A右边距A点4个单位长度，求点B所对应的数；

（2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到﹣6所在的点处时，求A，B两点间距离．

（3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度．

23．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB=2（单位长度），慢车长CD=4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是b．若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且|a+8|与（b﹣16）2互为相反数．

（1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度？

（2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度？

（3）此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即PA+PC+PB+PD为定值）．你认为学生P发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由．

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．已知地球上海洋面积约为316 000 000km2，数据316 000 000用科学记数法可表示为（　　）

A．3.16×109 B．3.16×107 C．3.16×108 D．3.16×106

【解答】解：316 000 000用科学记数法可表示为3.16×108，

故选：C．

2．﹣2的倒数是（　　）

A．2 B．﹣3 C．﹣ D．

【解答】解：﹣2的倒数是﹣．

故选：C．

3．计算（﹣16）÷的结果等于（　　）

A．32 B．﹣32 C．8 D．﹣8

【解答】解：（﹣16）÷=（﹣16）×2=﹣32，

故选：B．

4．下列各数|﹣2|，﹣（﹣2）2，﹣（﹣2），（﹣2）3中，负数的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：|﹣2|=2，

﹣（﹣2）2=﹣4，

﹣（﹣2）=2，

（﹣2）3=﹣8，

﹣4，﹣8是负数，

∴负数有2个．

故选：B．

5．如图，点A、B在数轴上表示的数的绝对值相等，且AB=4，那么点A表示的数是（　　）

A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．3

【解答】解：如图，AB的中点即数轴的原点O．

根据数轴可以得到点A表示的数是﹣2．

故选：B．

6．对于任何有理数a，下列各式中一定为负数的是（　　）

A．﹣（﹣3+a） B．﹣a C．﹣|a+1| D．﹣|a|﹣1

【解答】解：A、﹣（﹣3+a）=3﹣a，a≤3时，原式不是负数，故A错误；

B、﹣a，当a≤0时，原式不是负数，故B错误；

C、∵﹣|a+1|≤0，∴当a≠﹣1时，原式才符合负数的要求，故C错误；

D、∵﹣|a|≤0，∴﹣|a|﹣1≤﹣1＜0，所以原式一定是负数，故D正确．

故选：D．

7．如图，现有3×3的方格，每个小方格内均有不同的数字，要求方格内每一行．每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则P处对应的数字是（　　）

A．7 B．5 C．4 D．1

【解答】解：设下面中间的数为x，如图所示：

p+6+8=7+6+5，

解得P=4．

故选：C．

8．下列说法不正确的是（　　）

A．0既不是正数，也不是负数

B．绝对值最小的数是0

C．绝对值等于自身的数只有0和1

D．平方等于自身的数只有0和1

【解答】解：A、B、D均正确，绝对值等于它自身的数是所有非负数，所以C错误，

故选：C．

9．已知a，b，c为非零的实数，则的可能值的个数为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【解答】解：①a、b、c三个数都是正数时，a＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，

原式=1+1+1+1

=4；

②a、b、c中有两个正数时，

设为a＞0，b＞0，c＜0，

则ab＞0，ac＜0，bc＜0，

原式=1+1﹣1﹣1

=0；

设为a＞0，b＜0，c＞0，

则ab＜0，ac＞0，bc＜0，

原式=1﹣1+1﹣1

=0；

设为a＜0，b＞0，c＞0，[来源:Z*xx*k.Com]

则ab＜0，ac＜0，bc＞0，

原式=﹣1﹣1﹣1+1

=﹣2；

③a、b、c有一个正数时，

设为a＞0，b＜0，c＜0，

则ab＜0，ac＜0，bc＞0，

原式=1﹣1﹣1+1

=0；

设为a＜0，b＞0，c＜0，

则ab＜0，ac＞0，bc＜0，

原式=﹣1﹣1+1﹣1

=﹣2；

设为a＜0，b＜0，c＞0，

则ab＞0，ac＜0，bc＜0，

原式=﹣1+1﹣1﹣1

=﹣2；

④a、b、c三个数都是负数时，即a＜0，b＜0，c＜0，

则ab＞0，ac＞0，bc＞0，

原式=﹣1+1+1+1[来源:学科网ZXXK]

=2．

综上所述，的可能值的个数为4．

故选：A．

10．“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b=2a﹣b，如果x△（1△3）=2，那么x等于（　　）

A．1 B． C． D．2

【解答】∵x△（1△3）=2，

x△（1×2﹣3）=2，

x△（﹣1）=2，

2x﹣（﹣1）=2，

2x+1=2，

∴x=．

11．如图，在日历中任意圈出一个3×3的正方形，则里面九个数不满足的关系式是（　　）

A．a1+a2+a3+a7+a8+a9=2（a4+a5+a6）

B．a1+a4+a7+a3+a6+a9=2（a2+a5+a8）

C．a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5

D．（a3+a6+a9）﹣（a1+a4+a7）=（a2+a5+a8）

【解答】解：A、a1+a2+a3+a7+a8+a9=（a4+a5+a6）﹣21+（a4+a5+a6）+21=2（a4+a5+a6），正确，不符合题意；

B、a1+a4+a7+a3+a6+a9=a1+a3+a4+a6+a7+a9=2（a2+a5+a8），正确，不符合题意；

C、a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a5，正确，不符合题意

D、（a3+a6+a9）﹣（a1+a4+a7）=6，错误，符合题意．

故选：D．

12．当a=﹣1时，n为整数，则﹣an+1（a2n+3﹣a2n+1﹣3an+1+6an）的值是（　　）

A．9 B．3 C．﹣3 D．﹣9

【解答】解：当n是偶数时，原式=1×（﹣1+1+3+6）=9，

当n是奇数时，原式=﹣1×（﹣1+1﹣3﹣6）=9．

故选：A．

二．填空题（共4小题）

13．当a，b互为相反数，则代数式a2+ab﹣2的值为　﹣2　．[来源:Z*xx*k.Com]

【解答】解：∵a，b互为相反数，

∴a+b=0，

∴a2+ab﹣2=a（a+b）﹣2=0﹣2=﹣2，

故答案为：﹣2．

14．计算﹣2+3×4的结果为　10　

【解答】解：﹣2+3×4=﹣2+12=10，

故答案为：10．

15．规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．当﹣1＜x＜1时，化简[x]+（x）+[x）的结果是　﹣2或﹣1或0或1或2　．

【解答】解：①﹣1＜x＜﹣0.5时，

[x]+（x）+[x）=﹣1+0﹣1=﹣2；

②﹣0.5＜x＜0时，

[x]+（x）+[x）=﹣1+0+0=﹣1；

③x=0时，

[x]+（x）+[x）=0+0+0=0；

④0＜x＜0.5时，

[x]+（x）+[x）=0+1+0=1；

⑤0.5＜x＜1时，

[x]+（x）+[x）=0+1+1=2．

故答案为：﹣2或﹣1或0或1或2．

16．一个整数的所有正约数之和可以按如下方法求得，如：

6=2×3，则6的所有正约数之和（1+3）+（2+6）=（1+2）×（1+3）=12；

12=22×3，则12的所有正约数之和（1+3）+（2+6）+（4+12）=（1+2+22）×（1+3）=28；

36=22×32，则36的所有正约数之和（1+3+9）+（2+6+18）+（4+12+36）=（1+2+22）×（1+3+32）=91．

参照上述方法，那么200的所有正约数之和为　465　

【解答】解：200的所有正约数之和可按如下方法得到：

因为200=23×52，

所以200的所有正约数之和为（1+2+22+23）×（1+5+52）=465．

故答案为：465．

三．解答题（共7小题）

17．已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足（c﹣5）2+|a+b|=0，试回答下列问题：

（1）求a，b，c的值

（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点C以每秒5个点位长度的速度向右运动，试求几秒后点A与点C距离为12个点位长度？

【解答】解：（1）由题意得，b=1，c﹣5=0，a+b=0，

则a=﹣1，b=1，c=5；

（2）设x秒后点A与点C距离为12个点位长度，

则x+5x=12﹣6，

解得，x=1，

答：1秒后点A与点C距离为12个点位长度．

18．如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB=3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M、点N同时出发）

（1）数轴上点B对应的数是　30　．

（2）经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？

【解答】（1）∵OB=3OA=30，

∴B对应的数是30．

故答案为：30．

（2）设经过x秒，点M、点N分别到原点O的距离相等，

此时点M对应的数为3x﹣10，点N对应的数为2x．

①点M、点N在点O两侧，则

10﹣3x=2x，

解得x=2；

②点M、点N重合，则，

3x﹣10=2x，

解得x=10．

所以经过2秒或10秒，点M、点N分别到原点O的距离相等．

19．同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：

（1）|4﹣（﹣2）|的值．

（2）若|x﹣2|=5，求x的值是多少？

（3）同理|x﹣4|+|x+2|=6表示数轴上有理数x所对应的点到4和﹣2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣4|+|x+2|=6，写出求解的过程．

【解答】解：（1）∵4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，

∴|4﹣（﹣2）|=6．

（2）|x﹣2|=5表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，

∵﹣3或7与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，

∴若|x﹣2|=5，则x=﹣3或7．

（3）∵4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，

∴使得|x﹣4|+|x+2|=6成立的整数是﹣2和4之间的所有整数（包括﹣2和4），

∴这样的整数是﹣2、﹣1、0、1、2、3、4．

20．（1）﹣|﹣7+1|+3﹣2÷（﹣）

（2）（）÷（﹣）×

（3）

【解答】解：（1）原式=﹣6+3+6=3；

（2）原式=﹣×（﹣）×=1；

（3）原式===2.2．

21．观察下列两个等式：3+2=3×2﹣1，4+﹣1，给出定义如下：

我们称使等式a+b=ab﹣1成立的一对有理数c，b为“椒江有理数对”，记为（a，b），如：数对（3，2），（4，），都是“椒江有理数对”．

（1）数对（﹣2，1），（5，）中是“椒江有理数对”的是　（5，）　；

（2）若（a，3）是“椒江有理数对”，求a的值；

（3）若（m，n）是“椒江有理数对”，则（﹣n，﹣m）　不是　“椒江有理数对”（填“是”、“不是”或“不确定”）．

（4）请再写出一对符合条件的“椒江有理数对”　（6，1.4）　

（注意：不能与题目中已有的“椒江有理数对”重复）[来源:Z§xx§k.Com]

【解答】解：（1）﹣2+1=﹣1，﹣2×1﹣1=﹣3，

∴﹣2+1≠﹣2×1﹣1，

∴（﹣2，1）不是“共生有理数对”，

∵5+=，5×﹣1=，

∴5+=5×﹣1，

∴（5，）中是“椒江有理数对”；

（2）由题意得：

a+3=3a﹣1，

解得a=2．

（3）不是．     

理由：﹣n+（﹣m）=﹣n﹣m，

﹣n•（﹣m）﹣1=mn﹣1

∵（m，n）是“椒江有理数对”

∴m+n=mn﹣1

∴﹣n﹣m=﹣（mn﹣1）m

∴（﹣n，﹣m）不是“椒江有理数对”，

（4）（5，1.5）等．

故答案为：（5，）；不是；（5，1.5）．

22．如图A在数轴上所对应的数为﹣2．

（1）点B在点A右边距A点4个单位长度，求点B所对应的数；

（2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到﹣6所在的点处时，求A，B两点间距离．

（3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度．

【解答】解：（1）﹣2+4=2．

故点B所对应的数；

（2）（﹣2+6）÷2=2（秒），

4+（2+2）×2=12（个单位长度）．

故A，B两点间距离是12个单位长度．

（3）运动后的B点在A点右边4个单位长度，

设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，依题意有

2x=12﹣4，

解得x=4；

运动后的B点在A点左边4个单位长度，

设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，依题意有

2x=12+4，

解得x=8．

故经过4秒或8秒长时间A，B两点相距4个单位长度．

23．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB=2（单位长度），慢车长CD=4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是b．若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且|a+8|与（b﹣16）2互为相反数．

（1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度？

（2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度？

（3）此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即PA+PC+PB+PD为定值）．你认为学生P发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由．

【解答】解：（1）∵|a+8|与（b﹣16）2互为相反数，

∴|a+8|+（b﹣16）2=0，

∴a+8=0，b﹣16=0，

解得a=﹣8，b=16．

∴此时刻快车头A与慢车头C之间相距16﹣（﹣8）=24单位长度；

（2）（24﹣8）÷（6+2）

=16÷8

=2（秒）．

或（24+8）÷（6+2）=4（秒）

答：再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度；

（3）∵PA+PB=AB=2，

当P在CD之间时，PC+PD是定值4，

t=4÷（6+2）

=4÷8

=0.5（秒），

此时PA+PC+PB+PD=（PA+PB）+（PC+PD）=2+4=6（单位长度）．

故这个时间是0.5秒，定值是6单位长度．