初中数学湘教版九年级上册3.2 平行线分线段成比例精练

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专题11 比例性质、黄金分割、平行线分线段成比例压轴题六种模型全攻略
【考点导航】
【典型例题】 1
【考点一 比例的性质之等比性质】 1
【考点二 利用黄金分割求线段的长】 3
【考点三 与黄金分割有关的证明】 4
【考点四 由平行判断成比例的线段】 8
【考点五 由平行截线求相关线段的长或比值】 11
【考点六 构造平行线截线求相关线段的长或比值】 13
【过关检测】 17

【典型例题】
【考点一 比例的性质之等比性质】
例题：（2023·全国·九年级假期作业）若，求的值．
【答案】6或
【分析】分两种情况：当时，当时，分别求出m的值即可．
【详解】解：当时，
根据比例的等比性可得：
；
当时，可得，
∴．
【点睛】本题主要考查比例的等比性质，但需要注意对式子用等比性时一定要注意根据分母是否为0进行分类讨论．
【变式训练】
1．（2023秋·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考期末）若，则 .
【答案】3
【分析】根据比例设，则，然后代入比例式进行计算即可．
【详解】解：，
设，则，，
．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，掌握比的基本性质是解题的关键．
2．（2023秋·八年级课时练习）已知（，，均不为0），则式子的值是 ．
【答案】1
【分析】设，则，，，然后把，，代入代数式中进行分式的化简运算即可．
【详解】解：设，则，，，
所以．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．
3．（2022秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）已知，求的值．
【答案】8或
【分析】观察 与 发 现，后者是通过前者相乘得来，那么只要找出 的值解出，因此设 通过变换化为 那么可能是 或 对这两种情况分别讨论；
【详解】设
则


即
所以或
当时，则
同理
所以
当时，

所以
故答案为 8 或 -1
【点睛】做好本题的关键是找出a、b、c三个变量间的关系，因而假设做到这步已经成功了一半，因而同学们在解题中一定要仔细观察已知与结论找出其存在或隐含的关系


【考点二 利用黄金分割求线段的长】
例题：（2023·全国·九年级假期作业）一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm，则它的宽为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据黄金比例求解即可．
【详解】解：∵一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为，
∴它的宽，
故选：D．
【点睛】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）若线段的长为2cm，点P是线段的黄金分割点，则最短的线段的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】较长的线段的长为cm，则较短的线段长是．根据黄金分割的定义即可列方程求解．
【详解】解：较长的线段的长为cm，则较短的线段长是．
则，
解得或（舍去）．
较短的线段长是
故选：C．
【点睛】本题考查了黄金分割，与一元二次方程的解法，正确理解黄金分割的定义是关键．
2．（2023春·河南郑州·九年级郑州外国语中学校考开学考试）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为4cm，则的长为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据黄金分割的定义可得据此求解即可．
【详解】解：∵P是AB的黄金分割点，，
∴；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键．


【考点三 与黄金分割有关的证明】
例题：（2023·全国·九年级假期作业）中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线．

(1)求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点；
(2)若，求的面积．（结果保留根号）
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先由等高的两个三角形面积之比等于底之比，可得，，又因为，等量代换得出，根据黄金分割点的定义即可证明D是的黄金分割点；
（2）由（1）知，那么，，又等高的两个三角形面积之比等于底之比，将代入，即可求出的面积．
【详解】（1）证明：∵，，
又∵，
∴，
∴D是的黄金分割点；
（2）解：由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．也考查了三角形的面积．
【变式训练】
1．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，以长为2的定线段为边作正方形，取的中点P，连接，在的延长线上取点F，使，以AF为边作正方形，点M在上．

(1)求的长；
(2)点M是的黄金分割点吗？为什么？
【答案】(1)的长为，的长为；
(2)点M是的黄金分割点，理由见解析
【分析】（1）要求AM的长，只需求得AF的长，又，
，则；
（2）根据（1）中的数据得：，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．
【详解】（1）在中，，由勾股定理知∶
，
∴，
；
故的长为，的长为；
（2）点M是AD的黄金分割点．
∵，
∴点M是的黄金分割点．
【点睛】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段的长，然后求得线段和之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．
2．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：黄金分割：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约前408年一前355年）发现：如图1，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫做线段PB，AB的比例中项），则可得出这一比值等于（0.618…）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图2，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB于点B，且使BD＝AB，连接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是线段AB的黄金分割点．

任务：（1）求证：C是线段AB的黄金分割点．
（2）若BD＝1，则BC的长为 ．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）在直角三角形△ABD中设则 ，利用勾股定理求出，再求出，即，则，即可得出结论；
（2）若BD＝1，则 ，把AB代入到即可求出AC，进而可求出BC．
【详解】解：（1）∵BD⊥AB，
∴△ABD是直角三角形，
∵BD＝AB，
∴设则 ，
∴ ，
∵DE＝DB，AC＝AE，
∴ ，
∴
∴，
∴ ，
故C是线段AB的黄金分割点．
（2）若BD＝1，则 ，
由（1）知，
∴，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查黄金分割、勾股定理等知识，解题关键是正确理解题意，掌握黄金分割的定义．


【考点四 由平行判断成比例的线段】
例题：（2023春·山西临汾·九年级统考开学考试）如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（　　）
  
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可．
【详解】解：A．由，得，故A选项错误；
B．由，得，又由，得，则，故B选项错误，D选项正确；
C．由，得，故C选项错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　）
  
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可．
【详解】解：A．∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，故A正确，不符合题意；
B．∵，
∴，
∵，
∴，故B正确，不符合题意；
C．∵，
∴，故C正确，不符合题意；
D．∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理．
2．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】解：，
，，，；
∴选项A、C、D正确，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练运用平行线分线段成比例定理是解题的关键．


【考点五 由平行截线求相关线段的长或比值】
例题：（2023春·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图，、相交于点，点、分别在、上，，如果，，，，那么 ．

【答案】10
【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【详解】解：，
，
，，，，
，
，
．
故答案为：10．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式训练】
1．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）如图，已知直线，如果，，那么线段的长是 ．
  
【答案】6
【分析】由平行线所截线段对应成比例可知，然后代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查平行线所截线段对应成比例，熟练掌握比例线段的计算是解决本题的关键．
2．（2023秋·河南周口·九年级统考期末）如图，点分别在的边上，且，过点作，分别交、的平分线于点．若，平分线段，则 ．

【答案】//
【分析】设、交于点，结合可得；由平行线分线段成比例定理可得，即有，再证明，进一步可得，易知，可得，即可获得答案．
【详解】解：如下图，设、交于点，

∵，平分线段，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、平行线的判定、角平分线的定义等知识，熟练运用平行线分线段定理是解题关键．


【考点六 构造平行线截线求相关线段的长或比值】
例题：（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，D为边的中点，点E在线段上，的延长线交边于点F，若，，则线段的长为 ．
  
【答案】
【分析】过点作于点,由平行线分线段成比例定理得，求得，再结合中点进一步可得，从而得到答案．
【详解】解：如图，过点作于点；
则；
而，，
；
为边的中点，
，
，
故答案为：．
  
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确构造平行线是解决此题的关键．
【变式训练】
1．（2023·四川成都·一模）如图，点D、E是边 上的点，，连接，交点为F，，那么的值是 ．

【答案】/
【分析】过作，交于，依据平行线分线段成比例定理，即可得到，，进而可得的值．
【详解】解：如图所示，过作，交于，

则，即：，，
，即：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
2．（2021春·辽宁沈阳·八年级东北育才双语学校校考期中）如图，在中，，，与相交于点，则 .

【答案】
【分析】先过E作，交于G，再作交于H，由平行线分线段成比例定理的推论，再结合已知条件，可分别求出和的值，相加即可．
【详解】解：作交于，作交于，如图所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例定理．






【过关检测】
一、单选题
1．（2023春·全国·九年级专题练习）若（），则（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据已知条件得到，，代入代数式即可得到结论．
【详解】解：，
，，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了比例线段，正确的理解题意是解题的关键．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图，在中，点D、E、F分别在边上，，，则下列比例式中错误的是（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【详解】A、∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∴，不符合题意；
B、∵，
∴，
∴，不符合题意；
C、∵，
∴，
∴，不符合题意；
D、∵，
∴，
∴，
故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线判定三角形的相似和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
3．（2023·山东淄博·校考一模）如图，在四边形中，，过点C作交于点E，连接，，若，则的长度是（    ）

A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】B
【分析】延长交于点P，先说明，利用全等三角形的性质说明，再利用平行线分线段成比例定理说明是中位线，利用中位线的性质得结论．
【详解】解：延长交于点P．
∵，
∴．
在和中
，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴是的中位线．
∴．
故选：B．

【点睛】本题主要考查了三角形的全等，掌握全等三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、三角形的中位线定理等知识点是解决本题的关键．
4．（2023秋·湖北十堰·九年级统考期末）“黄金分割”广泛存在于人们生活实践中．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（    ）（参考数据：，，）

A．0.73m B．0.76m C．1.24m D．1.36m
【答案】C
【分析】根据黄金分割比列方程直接进行求解．
【详解】解：设该雕像的下部设计高度为xm，由题意得：
，
解得：；
故选C．
【点睛】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键．
二、填空题
5．（2023秋·四川眉山·九年级统考期末）如果，则 ．
【答案】
【分析】设，，将，代入即可求解．
【详解】设，，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查比例的性质，解题的关键是能够根据比例的性质设，．
6．（2023·吉林松原·统考一模）如图，abc，若，，则的长为 ．

【答案】6
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
解得，，
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
7．（2023·四川·九年级专题练习）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，之间的距离为 ．

【答案】
【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为，由此即可求解．
【详解】解：弦，点是靠近点的黄金分割点，设，则，
∴，解方程得，，
点是靠近点的黄金分割点，设，则，
∴，解方程得，，
∴之间的距离为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．
8．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）作业本中有一道题：“如图，在中，点为的中点，点在上，且，，交于点，求的值”，小明解决时碰到了困难，哥哥提示他过点作，交于点．最后小明求解正确，则的值为 ．

【答案】
【分析】根据可得，结合，可得，根据点为的中点即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
故答案为；
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据比例性质得到线段比例．
三、解答题
9．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）（1）若，求的值；
（2）若，且，求．
【答案】（1）5；（2）
【分析】（1）先设，得到，然后代入计算即可；
（2）先设，得到，再根据求出，最后进行比较即可．
【详解】解：（1）设，
∴，
∴；
（2）设，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个参数，把题目中的几个量用所设的参数表示出来，然后消掉所设的参数，即可求得所给代数式的值．
10．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且
（1）如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的长；
（2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的长．

【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由，可得再代入数据即可得到结论；
（2）由，可得可得 结合，从而可得答案.
【详解】解（1），

AB＝3，BC＝6，DE＝4，

经检验：符合题意；
（2），
而DE：EF＝2：3，



【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握“两条直线被一组平行线所截的对应线段成比例”是解题的关键.
11．（2023秋·陕西西安·九年级统考期末）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．

(1)如图1已知小明的身高是1.6米，他在路灯AB下的影子长为2米，此时小明距路灯灯杆的底部3米，求灯杆AB的高度；
(2)如图2现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度．
【答案】(1)灯杆AB的高度为4米
(2)灯杆AB的高度为米

【分析】（1）利用平行线分线段成比例的推论可知，代入求解即可；
（2）同（1）可得，，先求出BC，进而求出AB．
【详解】（1）解：由题意可知，，，
∴，
由题意，，
∴，即，
解得，
∴灯杆AB的高度为4米；
（2）解：由题意可知，，，，
∵中，，
∴，即，
同理，中，，
∴，即，
∴
解得，
∴，
∴，
∴灯杆AB的高度为米．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的实际应用，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
12．（2023·河北石家庄·校考模拟预测）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理：如图，在中，平分，则．
下面是这个定理的部分证明过程．

证明：如图②，过点C作，交的延长线于点E……
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
(2)如图③，在中，是角平分线，，，．求的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）过点C作，交BA的延长线于点E，由，可求证，，，可得，即可求解；
（2）根据（1）中的结论即可求解．
【详解】（1）过点C作，交BA的延长线于点E，如图②，
∵，
∴，，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）的结论，可得，
∵，，，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的根，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、角平分线的定义、解分式方程，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
13．（2023·全国·九年级假期作业）材料一：北师大版数学教材九年级上册第四章，对“黄金分割比”的定义如下：
“如图 ，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，＝叫做黄金比.”根据定义不难发现，在线段AB另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，满足＝，所以点D也是线段AB的黄金分割点．
材料二：对于实数：a1＜a2＜a3＜a4，如果满足（a3﹣a1）2＝（a4﹣a3）（a4﹣a1），（a4﹣a2）2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）则称a3为a1，a4的黄金数，a2为a1，a4的白银数．
请根据以上材料，回答下列问题
（1）如图 ，若AB＝4，点C和点D是线段AB的黄金分割点，则AC＝　　　　　　，CD＝　　　　　　．
（2）实数0＜a＜b＜1，且b为0，1的黄金数，a为0，1的白银数，求b﹣a的值．
（3）实数k＜n＜m＜t，t＝2|k|，m，n分别为k，t的黄金数和白银数，求的值．
【答案】（1）2﹣2，4﹣8；（2）b﹣a＝﹣2；（3）的值是或
【分析】（1）根据黄金分割的定义分别计算AC和BD的长，可得CD的长；
（2）根据黄金数和白银数的定义分别列式，得关于a和b的一元二次方程，解出代入b﹣a可得结论；
（3）对于t＝2|2k|分两种情况讨论：对于m，n分别为k，t的黄金数和白银数，根据定义列两个等式，将t＝2k和t＝﹣2k代入分别解方程可得结论．
【详解】解：（1）∵AB＝4，点C和点D是线段AB的黄金分割点，
∴AC＝BD＝AB＝×4＝2﹣2，
∴DC＝AC+BD﹣AB＝2（2﹣2）﹣4＝4﹣8；
故答案为：2﹣2，4﹣8；
（2）∵b为0，1的黄金数，且实数0＜b＜1，
∴（b﹣0）2＝（1﹣b）（1﹣0），
b2+b﹣1＝0，
b1＝＜0（舍），b2＝＞0，
∵a为0，1的白银数，且实数0＜a＜1，
∴（1﹣a）2＝（a﹣0）（1﹣0），
a2﹣3a+1＝0，
a1＝＞1（舍），a2＝＜1，
∴b﹣a＝﹣＝﹣2；
（3）∵m，n分别为k，t的黄金数和白银数，实数k＜n＜m＜t，
∴
分两种情况：
i）当k≥0时，t＝2k，
由①得：（m﹣k）2＝（2k﹣m）（2k﹣k），
m2﹣km﹣k2＝0，
m＝k；
由②得：（2k﹣n）2＝（n﹣k）（2k﹣k），
n2﹣5kn+5k2＝0，
n＝k，
∵k＜n＜m＜t，
∴m＝k，n＝k
∴＝＝＝；
ii）当k＜0时，t＝﹣2k，
由①得：（m﹣k）2＝（﹣2k﹣m）（﹣2k﹣k），
m2﹣5km﹣5k2＝0，
m＝k；
由②得：（﹣2k﹣n）2＝（n﹣k）（﹣2k﹣k），
n2+7kn+k2＝0，
n＝k＞0，
∵k＜n＜m＜t，
∴m＞0，
∴m＝k，n＝k，
∴     ＝＝＝；
综上，的值是或．
【点睛】本题考查了新定义的理解和掌握：黄金分割、黄金数，白银数，分类讨论的思想；把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB，并且线段AB的黄金分割点有两个，第三问与方程相结合解决问题．