2023新教材高中数学第4章概率与统计4.2随机变量4.2.4随机变量的数字特征第2课时离散型随机变量的方差对点练新人教B版选择性必修第二册

第2课时　离散型随机变量的方差

知识点一  方差的求法

1. 已知X的分布列为

则D(X)的值为(　　)

A．  B．

C．  D．

答案　C

解析　∵E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，

∴D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.

2．设0<p<1，随机变量ξ的分布列是

则当p在(0,1)内增大时(　　)

A．D(ξ)减小  B．D(ξ)增大

C．D(ξ)先减小后增大  D．D(ξ)先增大后减小

答案　D

解析　由题可得E(ξ)＝＋p，所以D(ξ)＝－p2＋p＋＝－2＋，所以当p在(0,1)内增大时，D(ξ)先增大后减小．故选D.

知识点二  方差的性质

3. D(ξ－D(ξ))的值为(　　)

A．0  B．1

C．D(ξ)  D．2D(ξ)

答案　C

解析　D(ξ)是一个常数，而常数的方差等于零，∴D(ξ－D(ξ))＝D(ξ)．

4．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是(　　)

A．6,2.4  B．2,2.4

C．2,5.6  D．6,5.6

答案　B

解析　∵X～B(10,0.6)，∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4.又X＋Y＝8，∴Y＝8－X.∴E(Y)＝E(8－X)＝8－E(X)＝8－6＝2，D(Y)＝D(－X＋8)＝D(X)＝2.4.

5．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．

(1)求ξ的分布列、均值和方差；

(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．

解　(1)由题意得，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，

P(ξ＝0)＝＝，

P(ξ＝1)＝，

P(ξ＝2)＝＝，

P(ξ＝3)＝，

P(ξ＝4)＝＝.

故ξ的分布列为

所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，

D(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.

(2)由E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝1，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)＝11，及E(ξ)＝1.5，D(ξ)＝2.75，得

1．5a＋b＝1,2.75a2＝11，

解得a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝4.

知识点三  两点分布与二项分布的方差

6. 设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量X＝则X的方差D(X)等于(　　)

A．m  B．2m(1－m)

C．m(m－1)  D．m(1－m)

答案　D

解析　随机变量X的分布列为

∴E(X)＝0×(1－m)＋1×m＝m.

∴D(X)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．

7．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝________.

答案　

解析　由题意知取到次品的概率为，

∴X～B，∴D(X)＝3××＝.

8．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳．各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，均值E(ξ)为3，标准差为.

(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；

(2)若有3株或3株以下的沙柳未成活，则需要补种．求需要补种沙柳的概率．

解　由题意知，ξ服从二项分布B(n，p)，

P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1，…，n.

(1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝，

得1－p＝，从而n＝6，p＝.

ξ的分布列为

(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(ξ≤3)，

得P(A)＝＝，

或P(A)＝1－P(ξ>3)＝1－＝.

所以需要补种沙柳的概率为.

一、选择题

1．已知随机变量X的分布规律为P(X＝k)＝，k＝3,6,9，则D(X)等于(　　)

A．6  B．9

C．3  D．4

答案　A

解析　E(X)＝3×＋6×＋9×＝6，D(X)＝(3－6)2×＋(6－6)2×＋(9－6)2×＝6.

2．若ξ的分布列如下表所示，且E(ξ)＝1.1，则(　　)

A．D(ξ)＝2  B．D(ξ)＝0.51

C．D(ξ)＝0.5  D．D(ξ)＝0.49

答案　D

解析　因为0.2＋p＋0.3＝1，所以p＝0.5.又E(ξ)＝0×0.2＋1×0.5＋0.3x＝1.1，所以x＝2，所以D(ξ)＝(0－1.1)2×0.2＋(1－1.1)2×0.5＋(2－1.1)2×0.3＝0.49.故选D.

3．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为(　　)

A．3×2－2  B．2－4

C．3×2－10  D．2－8

答案　C

解析　E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，

∴p＝，n＝12，则P(X＝1)＝C×1×11＝3×2－10.

4．若随机变量ξ的分布规律为P(ξ＝m)＝，P(ξ＝n)＝a，若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于(　　)

A．0  B．2

C．4  D．无法计算

答案　A

解析　由分布列中概率和为1，则a＋＝1，a＝.

∵E(ξ)＝2，∴＋＝2.∴m＝6－2n.∴D(ξ)＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝×(n－2)2＋×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2.∴n＝2时，D(ξ)取最小值0.

5．(多选)设离散型随机变量X的分布列为

若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(　　)

A．q＝0.1  B．E(X)＝2，D(X)＝1.4

C．E(X)＝2，D(X)＝1.8  D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2

答案　ACD

解析　由离散型随机变量X的分布列的性质，得q＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1，E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，∵离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，∴E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2.故选ACD.

二、填空题

6．已知离散型随机变量X的分布列如下表：

若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________.

答案　

解析　E(X)＝0，D(X)＝1，由离散型随机变量X的分布列的性质知计算得出a＝.

7．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或选错得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的方差为________．

答案　48

解析　设小王选对个数为X，得分η＝5X，

则X～B(12,0.8)，

D(X)＝12×0.8×(1－0.8)＝1.92

D(η)＝D(5X)＝25D(X)＝25×1.92＝48.

8．设每次试验成功的概率都为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的方差的值最大，其最大值为________．

答案　　25

解析　设每次试验失败的概率为q，则p＋q＝1，设进行100次独立重复试验成功的次数为ξ，则D(ξ)＝100pq≤1002＝＝25，当且仅当p＝q＝时等号成立，此时，D(ξ)＝25.

三、解答题

9．某班共50名同学，在一次数学考试中全班同学成绩全部在90分到140分之间．将成绩按如下方式分成五组：第一组：[90,100)，第二组：[100,110)，…，第五组：[130,140]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示．将成绩大于或等于100分且小于120分记为“良好”，120分及以上记为“优秀”，小于100分记为“及格”．

(1)求该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数；

(2)若从第一、五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X的分布列、数学期望与方差．

解　(1)由频率分布直方图知，成绩在[100,120)内的人数为50×0.016×10＋50×0.038×10＝27，所以该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数为27.

(2)由频率分布直方图可知第一组有0.006×10×50＝3个成绩，第五组有0.008×10×50＝4个成绩，即第一、五组中共有7个成绩．

由题意，X的可能取值为0,1,2，

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝.

则X的分布列为

E(X)＝0×＋1×＋2×＝，

D(X)＝×2＋×2＋×2＝.

10．为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．

(1)求甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；

(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的分布列、均值和方差．

解　(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A，

则P(A)＝＝.

所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为.

(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，

P(X＝4)＝＝.

随机变量X的分布列为

因此，E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，

D(X)＝×2＋×2＋×2＋×2＋×2＝.