专题02 有理数应用及数轴满分突破-2022-2023学年七年级数学上学期期中期末考点大串讲（人教版）

专题02 有理数应用及数轴满分突破

 考点1  有理数应用满分突破

1．（2021秋•文山市期末）检修工乘汽车沿东西方向检修电路，规定向东为正，向西为负，某天检修工从A地出发，到收工时行程记录为（单位：千米）

+8，﹣9，+4，﹣7，﹣2，﹣10，+11，﹣3，+7，﹣5；

（1）收工时，检修工在A地的哪边？距A地多远？

（2）若每千米耗油0.3升，从A地出发到收工时，共耗油多少升？

【解答】解：（1）（+8）+（﹣9）+（+4）+（﹣7）+（﹣2）+（﹣10）+（+11）+（﹣3）+（+7）+（﹣5）

＝8﹣9+4﹣7﹣2﹣10+11﹣3+7﹣5＝8+4+11+7﹣9﹣7﹣2﹣10﹣3﹣5＝30﹣36＝﹣6（千米），

答：收工时，检修工在A地的西边，距A地6千米；

（2）|+8|+|﹣9|+|+4|+|﹣7|+|﹣2|+|﹣10|+|+11|+|﹣3|+|+7|+|﹣5|

＝8+9+4+7+2+10+11+3+7+5＝66（千米）

66×0.3＝19.8（升）

答：从A地出发到收工时，共耗油19.8升．

2．（2022春•崇明区校级期中）某股民上星期六买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况：（单位：元）

（1）星期三收盘时每股是多少元？

（2）本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？

（3）已知该股民买进股票时付了0.15%的手续费，卖出时需付成交额0.15%的手续费和0.1%的交易税，如果他一直观望到星期六才将股票全部卖出，请算算他本周的收益如何？

【解答】解：（1）27+4+4.5+（﹣1）＝34.5（元），

答：星期三收盘时每股是34.5元；

（2）周一27+4＝31（元），

周二31+4.5＝35.5（元），

周三35.5﹣1＝34.5（元），

周四34.5﹣2.5＝32（元），

周五32﹣6＝26（元），

周六26+2＝28（元）．

答：本周内最高价是每股35.5元；最低价是每股26元；

（3）28×1000﹣28×1000×（0.15%+0.1%）﹣1000×27×（1+0.15%）＝889.5（元）．

答：本周赚889.5元．

3．（贵港期末）有20箱橘子，以每箱25千克为标准质量，超过的千克数用正数表示，不足的千克数用负数表示，结果记录如下：

（1）在这20箱橘子中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？

（2）与标准质量比较，20箱橘子总计超过或不足多少千克？

（3）若橘子每千克售价6.5元，则全部售完这20箱橘子共有多少元？

【解答】解：（1）2.5﹣（﹣3）＝5.5kg

答：最重的一箱比最轻的一箱重5.5kg．

（2）（﹣3×1）+（﹣2×4）+（﹣1.5×2）+（0×3）+（1×2）+（2.5×8）＝﹣3﹣8﹣3+0+2+20＝8kg

答：20箱橘子的平均质量比标准质量超过8kg．

（3）（25×20+8）×6.5＝3302（元）

答：全部售完这20箱橘子共有3302元．

4．（四川期中）2020年“双十一”期间某淘宝商家提前搞促销活动，计划平均每天销售某品牌学习机100台，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入．如表是双十一的一周销售倩况（超额记为正、不足记为负）：

（1）根据记录的数据，计算该店一周日销量最多比最少多多少台？

（2）本周实际销售总量达到了计划数量吗，通过计算说明理由．

（3）该店实行每日按销售台数计算工资，每销售一台学习机可得10元，若超额完成任务，则超过部分每台另奖20元；少销售一台扣30元，那么该店铺的销售人员这一周的工资总额是多少元？

【解答】解：（1）25﹣（﹣6）＝25+6＝31（台），

答：该店一周日销量最多比最少多31台；

（2）2﹣3+25+8﹣4+2﹣6＝24＞0，

∴本周实际销量达到了计划数量；

（3）（100×7+24）×10+（2+25+8+2）×20+（﹣3﹣4﹣6）×30＝7590（元）．

答：该店铺的销售人员这一周的工资总额是7590元．

5．（2021秋•遵化市期末）某灯具厂计划一天生产200盏景观灯，但由于各种原因，实际每天生产景观灯数与计划每天生产景观灯数相比有出入，下表是某周的生产情况（增产记为正、减产记为负）：

（1）求该厂本周实际生产景观灯的盏数；

（2）求产量最多的一天比产量最少的一天多生产景观灯的盏数；

（3）该厂实行每日计件工资制，每生产一盏景观灯可得50元，若超额完成任务，则超过部分每盏另奖25元，若未能完成任务，则少生产一盏扣30元，那么该厂这一周应付工资总额是多少元？

【解答】解：（1）3﹣5﹣2+9﹣7+12﹣3＝7（盏），

200×7+7＝1407（盏），

答：该厂本周实际生产景观灯的盏数是1407盏；

（2）12﹣（﹣7）＝19盏，

产量最多的一天比产量最少的一天多生产景观灯的盏数是19盏；

（3）根据题意1407×50+25×（3+9+12）﹣30×（5+2+7+3）＝70440（元）

答：该厂这一周应付工资总额是70440元

 考点2  数轴压轴满分突破

6.如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB＝3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M、点N同时出发）

（1）数轴上点B对应的数是　   　．

（2）经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？

【解答】（1）∵OB＝3OA＝30，

∴B对应的数是30．

故答案为：30．

（2）设经过x秒，点M、点N分别到原点O的距离相等，

此时点M对应的数为3x﹣10，点N对应的数为2x．

①点M、点N在点O两侧，则

10﹣3x＝2x，

解得x＝2；

②点M、点N重合，则，

3x﹣10＝2x，

解得x＝10．

所以经过2秒或10秒，点M、点N分别到原点O的距离相等．

7．（2021秋•正阳县期末）如图，从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向左移动4cm到达B点，然后向右移动10cm到达C点．

（1）用1个单位长度表示1cm，请你在题中所给的数轴上表示出A、B、C三点的位置；

（2）把点C到点A的距离记为CA，则CA＝　 　cm；

（3）若点B以每秒3cm的速度向左移动，同时A、C点以每秒1cm、5cm的速度向右移动，设移动时间为t（t＞0）秒，试探究CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．

【解答】解：（1）如图所示：

（2）CA＝4﹣（﹣2）＝4+2＝6（cm）；

故答案为：6．

（3）CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化，理由如下：

根据题意得：CA＝（4+5t）﹣（﹣2+t）＝6+4t，AB＝（﹣2+t）﹣（﹣6﹣3t）＝4+4t，

∴CA﹣AB＝（6+4t）﹣（4+4t）＝2，

∴CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化．

8．（2022春•普陀区校级期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒．

（1）运动　　秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是　　；

（2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）．

【解答】解：（1）设运动x秒时，两只蚂蚁相遇在点P，根据题意可得：

2x+3x＝8﹣（﹣12），

解得：x＝4，

﹣12+2×4＝﹣4．

答：运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数为：﹣4；

（2）运动t秒钟，蚂蚁M向右移动了2t，蚂蚁N向左移动了3t，

若在相遇之前距离为10，则有2t+3t+10＝20，

解得：t＝2．

若在相遇之后距离为10，则有2t+3t﹣10＝20，

解得：t＝6．

综上所述：t的值为2或6．

故答案为：4；﹣4．

9．（2021秋•邹平市校级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．

（1）数轴上点B表示的数是　   　，点P表示的数是　  　（用含t的代数式表示）；

（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：

①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？

②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？

【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，

∴OA＝6，

则OB＝AB﹣OA＝4，

点B在原点左边，

∴数轴上点B所表示的数为﹣4；

点P运动t秒的长度为6t，

∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，

∴P所表示的数为：6﹣6t；

（2）①点P运动t秒时追上点Q，

根据题意得6t＝10+4t，

解得t＝5，

答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；

②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，

当P不超过Q，则10+4a﹣6a＝8，解得a＝1；

当P超过Q，则10+4a+8＝6a，解得a＝9；

答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．

10．（2021秋•普宁市期末）已知如图，在数轴上有A，B两点，所表示的数分别为﹣10，﹣4，点A以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为t秒，解答下列问题：

（1）运动前线段AB的长为　6　； 运动1秒后线段AB的长为　         　；

（2）运动t秒后，点A，点B运动的距离分别为                  和　　    ；

（3）求t为何值时，点A与点B恰好重合；

（4）在上述运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段AB的长为5，若存在，求t的值； 若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）AB＝﹣4﹣（﹣10）＝6，

运动1秒后，A表示﹣5，B表示﹣1，

∴AB＝﹣1+5＝4．

故答案为6，4．

（2）运动t秒后，点A，点B运动的距离分别为5t，3t，

故答案为5t，3t．

（3）由题意：（5﹣3）t＝6，

∴t＝3．

（4）由题意：6+3t﹣5t＝5或5t﹣（6+3t）＝5，

解得t＝或，

∴t的值为或秒时，线段AB的长为5．

11．（2021秋•通川区期末）已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为6，0，﹣4，动点P从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．

（1）当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数是 　　；

（2）另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少时间追上点R？

（3）若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度．

【解答】解：（1）（6﹣4）÷2＝1．

故点P在数轴上表示的数是1；

故答案为：1；

（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点R，

则AC＝6x  BC＝4x，AB＝10，

∵AC﹣BC＝AB，

∴6x﹣4x＝10，

解得x＝5，

∴点P运动5秒时，追上点R；

（3）线段MN的长度不发生变化，理由如下分两种情况：

①当点P在A、B之间运动时（如图①）：MN＝MP+NP＝AP+BP＝（AP+BP）＝AB＝5．

②当点P运动到点B左侧时（如图②），

MN＝PM﹣PN＝AP﹣BP＝（AP﹣BP）＝AB＝5．

综上所述，线段MN的长度不发生变化，其长度为5．

12．（江苏期中）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．

利用数形结合思想回答下列问题：

（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是 　　；数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是 　   ．

（2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为 　   　；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为 　    　．若|x+3|＝4，则x＝　             　．

（3）若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝　　．

（4）若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣3|＝4，则满足条件的所有整数x的值为 　    　.则满足条件的所有整数x的和为 　   　．

（5）若x表示一个有理数，当x为 　  　，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值为 　　．

【解答】解：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是|6﹣2|＝4；

数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是|1﹣（﹣4）|＝5．

故答案为：4，5；

（2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为|x﹣6|；

数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为|x+3|；

若|x+3|＝4，

则x+3＝4或﹣4，

∴x＝1或﹣7，

故答案为：|x﹣6|；|x+3|；1或﹣7；

（3）根据绝对值的定义有：|x﹣1|+|x+4|可表示为点x到1与﹣4两点距离之和，根据几何意义分析可知：

当x在﹣4与1之间时，|x﹣1|+|x+4|的最小值＝5．

故答案为：5；

（4）当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣3|＝﹣x﹣1+3﹣x＝﹣2x+2＝4，

解得：x＝﹣1，

此时不符合x＜﹣1，舍去；

当﹣1≤x≤3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+3﹣x＝4，

此时x＝﹣1或x＝0，x＝1，x＝2，x＝3；

当x＞3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+x﹣3＝2x﹣2＝4，

解得：x＝3，

此时不符合x＞3，舍去．

∴x＝﹣1或0或1或2或3；

满此时足条件的所有整数x的和：﹣1+0+1+2+3＝5，

故答案为：﹣1或0或1或2或3；5；

（5）∵式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|可看作是数轴上表示x的点到﹣2、3、4三点的距离之和，

∴当x为3时，|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值，

∴|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|的最小值＝|3+2|+|3﹣3|+|3﹣4|＝6．

故答案为：3，6．