高中数学必修第一册人教A版（2019）5.6 《函数y＝Asin（ωx＋φ）》教材分析

5.6函数一、本节知识结构框图二、重点、难点重点：用函数模型来刻画一般的匀速圆周运动；参数，，对函数图象的影响，以及函数图象的变换过程.难点：数学建模的过程与方法，函数的图象变换与其解析式变换之间的内在关系.三、教科书编写意图及教学建议在自然界、生活和生产实际及科学技术中，周期现象俯拾皆是.以单位圆上的匀速圆周运动引入函数，，它们是刻画周期变化现象的基本数学模型.显然，它们是“标准化”的结果，研究清楚它们的图象与性质，就为研究其他周期变化现象作好了准备.而将单位圆上的运动进行扩展，自然是“一般的匀速圆周运动”，其扩充点有圆的半径、起点位置、角速度等，而刻画这些现象的数学模型就是函数，其中，，都有特定的实际意义.教科书从研究筒车的运动开始，经过数学建模，获得函数；再通过对函数的研究获得其图象与性质等相关结论；最后利用这些结论可以研究生活中更广泛的一些周期变化现象.对于这部分内容，以往教科书往往侧重研究“图象变换”，即参数，，对函数图象的影响.于是，教师在教学中就把注意力集中在三角函数图象的平移和伸缩变换上，让学生形式化地记住“左加右减，上加下减”等口诀，再进行大量解题训练，而对这个函数的实际意义却不加关注.本节教科书编写，定位于构建周期变化的函数模型，明确参数的实际意义，突出学习函数的必要性.教科书首先提出研究任意匀速圆周运动如何用数学模型刻画的问题，引导从特殊到一般进行提问，渗透了数学源于生活的本质.这样处理，既体现了研究函数的现实需要，让学生体会到学习函数的必要性，同时也能很好地体现课改理念，加强数学与现实生活的联系，接下来，在针对函数进行研究的过程中，通过一连串的“思考”与“探究”，引导学生观察、归纳、抽象、概括、综合、分析、联想、总结，在理解函数的实际意义的基础上，重点研究参数，，对函数图象的影响，从而进一步把握此函数的图象与性质，并在此过程中体会研究函数的一般思想和方法.在教学中，可以借助信息技术模拟筒车运动过程实景，抽象出其中的几何对象与几何关系，并动态分析.由于本内容涉及多参数的函数图象，需要分析圆周运动、解析式变换与图象变换之间的多重关联，有较大认知难度，利用信息技术进行直观、动态、关联地呈现，也可以有效地降低教学难点.5.6.1匀速圆周运动的数学模型教科书首先遵循从特殊到一般的推广需要，提出“一般的匀速圆周运动”该用怎样的数学模型刻画的问题；然后以筒车这一实际背景为例，引导学生经历数学建模的全过程.教学中可借助信息技术直观呈现筒车运动的实际影像，将筒车上盛水筒的运动抽象成质点的匀速圆周运动，观察运动中的相关要素，明确相关的常量和变量，寻求盛水筒距离水面的高度与时间的关系.在建模过程中，需要学生将生活现象数学化，注意让学生自主探寻运动变化中的常量和变量，以便更好地理解每一个字母的实际意义，通过对它们之间几何关系或物理关系的分析，获得函数关系，体会三角函数与圆周运动之间的内在联系.5.6.2函数的图象获得函数模型的目的是可以更深入地研究筒车运动的变化规律，这就需要进一步研究函数的性质.此函数由参数，，所确定，知道了参数的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性质.1.研究的基本思路化归是数学的重要思想方法，函数与函数都是匀速圆周运动的数学模型，具有一般与特殊的关系.教学中通过“思考”引导学生从已知出发探求未知，遵循从简单到复杂、从特殊到一般的研究思路.教科书结合函数的实际意义，从正弦函数出发进行研究，依次考察，，对函数图象的影响，最终整合为对函数的整体考察.由于的变化涉及函数图象的平移变换，学生已有一定的学习经验，建议首先研究；的变化涉及图形的伸缩变换，是一个学习难点，需要重点突破；在前面学习迁移下，的变化对图象的影响可以交给学生进行自主探究.每一个参数的研究都要遵循从具体到抽象的思路，研究过程中结合简车模型来理解各参数的实际意义.这里特别强调，以往教科书都是形式化地研究，，对函数图象的影响，并以图象变换的结果出现，本教科书改变了这种做法，注重以现实中圆周运动情境为背景，给出参数影响图象的实际意义.2.重视融合信息技术借助信息技术可以直观动态地呈现参数，，的实际意义及其对函数图象的影响，有助于学生更好地理解函数图象与函数解析式和质点圆周运动的关联性.我们认为，这个内容的教学应强调信息技术的使用.教师可事先提供互动性的实验平台，以便学生进行自主的实验操作、观察分析、思考探究.制作互动实验平台的步骤如下（如图5-7）：（1）设置三个参数，，，在横轴上取点代表质点运动的时间（可以取负值）.（2）在横轴上可取原点（或其他任一点）为圆心作以为半径的圆，以起始角对应的点代表起点位置（即将点绕原点旋转角后到达的位置），经过时间后，质点从起点出发绕点旋转弧度后运动到点的位置，点的纵坐标就等于.（3）以为横坐标，以点的纵坐标为纵坐标，画点，运动点，则点的轨迹就是函数的图象.图5-7学生可以任意输入参数，，的值，侧重两个角度的观察与分析：一是从圆周运动的实际意义看质点的运动变化，二是从相应函数图象上点的坐标变化看图象的变换.3.探索对，图象的影响教学中，可以让学生开展用信息技术进行数学实验的探究活动.取参数的初始值，，，此时动点在单位圆上从点出发以单位速度转动，经过时间后动点到达的点的纵坐标，由此得到正弦函数的图象.在此基础上，学生可自由改变的值来观察分析圆周运动以及函数图象上点的变化.若使，相应的数据和图形都会自运动关联地变化.从圆周运动的实际意义分析，此时动点在单位圆上从点出发以单位速度转动，动点转到任意一点所需的时间总比从点出发以相同速度转动到点所需的时间少.再从函数图象上点的生成角度分析，若点是函数图象上的一点，那么点就是函数图象上的点（这从解析式的联系上也比较容易得到验证），即把函数图象上的所有点向左平移个单位，就得到函数的图象.获得经验后，再尝试取其他值（如，，等），观察参数对函数图象的影响.进一步地，还可使的值连续变化，以便动态直观地观察函数图象的整体变化过程，进而获得图象平移的直观印象，从而得到对函数图象影响的一般规律.虽然学生有平移的直观体验，但教师还需要进一步引导学生剖析图象平移的本质.图象平移实质上是图象上任意一点的平移，而点的平移实质上又是点的坐标的一种变换，坐标的变换最终反映在函数解析式的变化上，结合物理意义（是初相）看函数图象上的点与函数图象上的点之间的对应关系，实质上是质点运动的位置与时间之间的内在关系，这种关系的代数表达就是坐标变换公式.在自主实验基础上，经过讨论交流，归纳概括出参数对函数图象影响的一般化结论.4.探索对的图象的影响通过对的研究，学生基本了解此类问题研究的基本思路和方法，教学中可以鼓励学生在互动实验平台上自主探究对的图象的影响.将上述平台中的参数重取初始值，回归到已经研究过的函数及其图象.如使，，，此时初始曲线为函数的图象.相对固定，的值，仅改变的值，进行实验.若使，则相关的图形与数据会自动改变.此时，质点以点为起点（），经过时间后，绕点旋转弧度后运动到点的位置，其纵坐标就等于，此时点的轨迹就是函数的图象.观察所得图象与的图象之间的关系.从圆周运动的角度看，两个质点在同一圆周上从同一点出发，分别以和的速度运动，则它们到达同一位置时，对应的时间始终是对应的时间的倍.体现在函数的对应关系上，如果点是函数图象上的一点，那么点就是函数图象上的点（从函数解析式中也容易得到验证），即把函数图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的一半，就得到函数的图象.继续让学生改变的值（如，3，等），观察函数的图象与的图象之间的关系.通过一定量的积累后，形成图象伸缩变换的感性认识，再进一步从物理意义、几何关系、函数关系、点的坐标关系等多角度进行剖析.在此基础上，再将上述结论一般化，得到函数的图象与的图象之间的关系.教学中，要重视学生从具体到抽象的自主探究过程，并引导学生从多角度探寻图象变换的本质.5.探索对的图象的影响教科书以具体的例子继续探究的图象与函数的图象之间的关系.研究方法完全一致，可由学生自主探究.6.画函数的图象通过以上的实验探究，了解参数，，对函数图象的影响，教科书通过“思考”要求学生总结、提炼出图象变换规律，进而说明由正弦函数的图象通过图象变换得到图象的过程与方法：从正弦曲线出发，先进行相位变换，再进行周期变换，然后进行振幅变换.事实上这三种变换的先后顺序并无特别规定，也可先进行周期变换，再进行相位变换，然后进行振幅变换.例如，要得到的图象，可以按如下步骤完成：（1）把正弦曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；（2）把曲线上的所有点向左平移个单位，得到函数（即）的图象；（3）将曲线上的所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象.教学中要提醒学生注意比较不同变换顺序之间的异同.教科书对变换过程的小结用表格留空的形式给出，目的是引导学生自主概括出图象变换的操作程序，并鼓励学生提出不同思路.7.例题例1通过具体的函数，复习巩固正弦型函数的物理意义，明确函数的图象特征，再把握其中的关键点进行描点作图，要求学生掌握“五点法”作图.例2以摩天轮为实际背景，巩固数学建模的过程与方法，同时也与5.6.1小节开篇的筒车问题相呼应.例2第（3）小题求函数的最值，需要三角恒等变换等知识的综合应用，可以使学生进一步体会转化的思想.