第24课 图形的位似-九年级数学上册同步精品讲义（浙教版）

第24课  图形的位似

知识点01  位似图形的概念

如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心. 这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比。

知识点02  位似图形的性质

1.性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.

2.当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为（），位似图形与原图形的位似比为，则位似图形上的对应点的坐标为或

考点01    位似图形的概念

【典例1】如图四个图中，△ABC均与△A′B′C′相似，且对应点交于一点，则△ABC与△A′B′C′成位似图形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【思路点拨】根据位似图形的概念判断即可．

【解析】解：图1、图3、图4是位似图形，

图2的对应边不平行，不是位似图形，

故选：C．

【点睛】本题考查的是位似图形的概念，两个图形是相似形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行，则两个图形是位似图形．

【即学即练1】下列图形中，不是位似图形的是（　　）

下列图形中，不是位似图形的是（　　）

A．B．C．D．【思路点拨】根据位似图形的概念判断即可．

【解析】解：A、△ACB与△FCE是位似图形，不符合题意；

B、△ABC与△DEF是位似图形，不符合题意；

C、△ABC与△EDF是位似图形，不符合题意；

D、△ACB与△ECD不是位似图形，符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查的是位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．

考点02   位似图形的性质

【典例2】如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD＝1：3，且△ABC的面积为2，则△DEF的面积为（　　）

A．6 B．9 C．18 D．27

【思路点拨】根据位似图形的概念得到AB∥DE，证明△OAB∽△ODE，根据相似三角形的性质得到＝＝，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．

【解析】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，

∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，

∴△OAB∽△ODE，

∴＝＝，

∴＝（）2＝，

∵△ABC的面积为2，

∴△DEF的面积为18，

故选：C．

【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

【即学即练2】如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则＝（　　）

A． B． C． D．

【思路点拨】根据位似图形的概念得到EH∥AD，证明△OEH∽△OAD，根据相似三角形的性质计算即可．

【解析】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，

∴EH∥AD，

∴△OEH∽△OAD，

∴＝＝，

故选：A．

【点睛】本题考查的是位似变换、掌握位似图形是相似形是解题的关键．

题组A  基础过关练

1.下列图形中位似中心在图形上的是（　　）

A．B． C． D．

【思路点拨】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心位置即可．

【解析】解：A、，位似中点在图形内部，不合题意；

B、，位似中点在图形上，符合题意；

C、，位似中点在图形外部，不合题意；

D、，位似中点在图形外部，不合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．

2.如图，△ABC外任取一点O，连接AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF．下列说法正确的个数是（　　）

①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；

③△ABC与△DEF周长之比为2：1；④△ABC与△DEF的面积之比为9：1．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【思路点拨】根据位似的定义，以及相似的性质：周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，即可作出判断．

【解析】解：根据位似的定义可得：△ABC与△DEF是位似图形，也是相似图形，位似比是2：1，则周长的比是2：1，因而面积的比是4：1，故①②③正确，④错误．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了位似的定义，位似是特殊的相似，以及相似三角形的性质．

3.如图，在直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，则位似中心为（　　）

A．点M B．点N C．点O D．点P

【思路点拨】连接BB′，交AA′于点P，根据位似中心的概念解答即可．

【解析】解：连接BB′，交AA′于点P，

则点P为位似中心，

故选：D．

【点睛】本题考查的是位似变换，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们的位似中心的坐标是（　　）

A．（4，4） B．（4，3） C．（4，2） D．（3，4）

【思路点拨】连接DB、OA并延长交于点P，根据位似中心的概念得到点P为位似中心，根据平面直角坐标系解答即可．

【解析】解：连接DB、OA并延长交于点P，

则点P为位似中心，

由平面直角坐标系可知，点P的坐标为（4，2），

故选：C．

【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的对应顶点的连线相交于一点是解题的关键．

5.如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为．则点A的对应点A′的坐标为　（﹣，）或（，﹣）　．

【思路点拨】位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．

【解析】解：∵在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）

∴A'的坐标为：（﹣，）或（，﹣）．

故答案为：（﹣，）或（，﹣）．

【点睛】此题主要考查了位似变换，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．

6.如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．

（1）画出位似中心点O；

（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；

（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．

【思路点拨】（1）连接CC′并延长，连接BB′并延长，两延长线交于点O；

（2）由OB＝2OB′，即可得出△ABC与△A′B′C′的位似比为2：1；

（3），连接B′O并延长，使OB″＝OB′，延长A′O并延长，使OA″＝OA′，C′O并延长，使OC″＝OC′，连接A″B″，A″C″，B″C″，则△A″B″C″为所求，从网格中即可得出△A″B″C″各顶点的坐标．

【解析】解：（1）图中点O为所求；

（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：1；

（3）△A″B″C″为所求；

A″（6，0）；B″（3，﹣2）； C″（4，﹣4）．

【点睛】此题考查了作图﹣位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．

7.画出线段AB的位似图形．要求：以O为位似中心，各边缩小为原来的．

【思路点拨】连接OA，作出OA的中点A′，同法得到B′，A′B′就是所求的位似图形．

【解析】解：

A′B′就是所求的线段．

【点睛】考查位似图形的画法；用到的知识点为：三角形的中位线等于第三边的一半．

题组B  能力提升练

8.在平面直角坐标系中，已知点E（﹣6，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为，把△EFO缩小，则点F的对应点F'的坐标是（　　）

A．（﹣1，﹣1） B．（1，1） 

C．（﹣4，﹣4）或（4，4） D．（﹣1，﹣1）或（1，1）

【思路点拨】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行计算即可．

【解析】解：∵点F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，相似比为，

∴点F的对应点F′的坐标为：（﹣2×，﹣2×）或（﹣2×（﹣），﹣2×（﹣）），

即（﹣1，﹣1）或（1，1），

故选：D．

【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．

9.如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法错误的是（　　）

A．△ABC与△DEF是位似图形 B．△ABC与△DEF是相似图形 

C．△ABC与△DEF的面积之比为4꞉1 D．△ABC与△DEF的周长之比为4꞉1

【思路点拨】根据位似图形的性质，得出△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出；△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．

【解析】解：根据位似性质得出：A．△ABC与△DEF是位似图形，则A选项正确，不合题意；

B．△ABC与△DEF是相似图形，则B选项正确，不合题意；

∵将△ABC的三边缩小的原来的 ，

∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，故D选项错误，符合题意；

根据面积比等于相似比的平方，

∴△ABC与△DEF的面积比为4：1，则C选项正确，不合题意．

故选：D．

【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．

10. 如图，在平面直角坐标系中有一个△ABO，其中点A，B的坐标分别为（﹣4，2），（﹣2，4）．

（1）以坐标原点O为位似中心，作出△AOB的一个位似△A1OB1，并把△ABO的边长缩小到原来的．

（2）点C（﹣2.4，3.6）是边AB上一点，根据你所画图形写出它对应点的坐标．

【思路点拨】（1）根据位似图形的性质，分在同侧和异侧两种情形；

（2）利用位似图形的性质即可解答．

【解析】解（1）如图所示，△A1OB1即为所求；

（2）点C的对应点的坐标为：（﹣2，﹣1.8）或（1.2，﹣1.8）．

【点睛】本题主要考查了作图﹣位似变换，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键，注意两种情形．

11.如图，在9×9网格中，每个小方格的边长看作单位1，每个小方格的顶点叫作格点，△ABC的顶点都在格点上．

（1）请在网格中画出△ABC的一个位似图形△A1B1C，使两个图形以点C为位似中心，且所画图形与△ABC的相似比为2：1；

（2）将△A1B1C绕着点C顺时针旋转90°得△A2B2C，画出图形，并在如图所示的坐标系中分别写出△A2B2C三个顶点的坐标．

【思路点拨】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．

【解析】解：（1）如图所示；

（2）如图所示：△A2B2C的三个顶点的坐标分别为：A2（7，﹣1），B2（7，5），C（3，3）．

【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置解题关键．

12.如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图．

（1）在图1中以O为位似中心，作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的．

（2）在图2中画▱ABEF，使得它与△ABC的面积相等，且E，F在格点上．

【思路点拨】（1）连接OA、OB、OC，分别取它们的中点即可；

（2）取BC的中点E，把AB平移使B点落在E点，则A点的对应点为F点．

【解析】解：（1）如图1，△A′B′C′为所作；

（2）如图2，平行四边形ABEF为所作．

【点睛】本题考查了作图﹣位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平行四边形的性质

题组C  培优拔尖练

13.在如图所示的四个图形为两个圆或相似的正多边形，其中位似图形的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【思路点拨】根据位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

【解析】解：如图，根据位似图形的定义可知第1、2、4个图形是位似图形，而第3个图形对应点的连线不能交于一点，故位似图形有3个．

故选：C．

【点睛】本题考查了位似图形的定义，解题的关键是牢记位似图形的性质：位似图形一定相似，对应点的连线交于一点，对应边互相平行．

14.如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图．

（1）在图1中以点B为位似中心，作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的．

（2）在图2中画格点线段EF（端点在格点上），把△ABC的面积分为1：2两部分，其中点E，F均落在△ABC的边上且不与点A，B，C重合．

【思路点拨】（1）分别取AB、BC的中点即可；

（2）根据△ABC的面积为×6×4＝12，则线段EF将△ABC面积分成4和8两部分，构造面积为4的三角形即可．

【解析】解：（1）如图所示：

（2）∵△ABC的面积为×6×4＝12，

∴线段EF将△ABC面积分成4和8两部分，

如图所示：

【点睛】本题主要了作图﹣位似变换：先确定位似中心，再根据位似比，分别确定关键点的对应点，即可得到放大或缩小的图形，也考查了图形面积的计算．

15.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是　﹣（a+3）　．

【思路点拨】设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解．

【解析】解：设点B的横坐标为x，

则B、C间的横坐标的长度为﹣1﹣x，B′、C间的横坐标的长度为a+1，

∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，

∴2（﹣1﹣x）＝a+1，

解得x＝﹣（a+3）．

故答案为：﹣（a+3）．

【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．

16.如图，在平面直角坐标系中，以P（0，﹣1）为位似中心，在y轴右侧作△ABP放大2倍后的位似图形△DCP，若点B的坐标为（﹣2，﹣4），则点B的对应点C的坐标为（　　）

A．（4，5） B．（4，6） C．（2，4） D．（2，6）

【思路点拨】建立新的平面直角坐标系，根据位似变换的性质解答即可．

【解析】解：以点P为坐标原点，原y轴为y轴建立新的平面直角坐标系，

则点B在新坐标系中的坐标为（﹣2，﹣3），

∵△ABP与△DCP的位似比为1：2，

∴点C在新坐标系中的坐标为（4，6），

则点C在原坐标系中的坐标为（4，5），

故选：A．

【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．

17.如图，已知平行四边形ABCD的面积为24，以B为位似中心，作平行四边形ABCD的位似图形平行四边形EBFG，位似图形与原图形的位似比为，连接AG、DG．则△ADG的面积为 　4　．

【思路点拨】延长EG交CD于点H，由题意可得四边形AEHD是平行四边形，则可得此平行四边形的面积为8，从而可得△ADG的面积．

【解析】解：延长EG交CD于点H，如图，

∵四边形ABCD是平行四边形，四边形EBFG是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC；BF∥EG，

∴AD∥EG，

∴四边形AEHD是平行四边形，

∴．

∵位似图形与原图形的位似比为，

∴，

即，

∴，

∴．

故答案为：4．

【点睛】本题考查了位似图形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握这些性质是解题的关键．

18.在如图所示的直角坐标系中A（﹣2，3），B（﹣5，1）．

（1）作出图形ABCD关于x轴对称的图形A1B1C1D1；

（2）求出图形A1B1C1D1的面积；

（3）以图中E（﹣1，1）为位似中心，将图形ABCD放大2倍，并在点E的右侧作出放大后的图形A2B2C2D2，并写出点C2的坐标．

【思路点拨】（1）根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点作图；

（2）将不规则图形转化为规则图形的和差计算其面积；

（3）根据位似的坐标特点作图．

【解析】解：（1）如图；

（2）图形A1B1C1D1的面积为3；

（2）如图所示，点C2的坐标为（1，3）

【点睛】本题考查了关于x轴对称的图形、位似图形的作法，及不规则图形的面积计算，有一定的难度．