初中数学浙教版九年级上册1.4 二次函数的应用教学设计及反思

二次函数的应用

【教学目标】

1．经历数学建模的基本过程。

2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。

3．体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。

【教学重难点】

重点：二次函数在最优化问题中的应用。

难点：从现实问题中建立二次函数模型。

【教学过程】

拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (cm)，种植面积为y (m2)。试建立y与x的函数关系式，并当x取何值时，种植面积最大？最大面积是多少？

y＝(x－2)(56－x)＝－x2＋58x－112＝－(x－29)2＋729  (自变量取值范围2<x<56)

解题循环图：

例1：图中窗户边框的上半部分是由四个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形。如果制作一个窗户边框的材料总长为6米，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大(结果精确到0.01m2)？

补充练习

1．如图，用长20cm的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎样围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？

2．如图在Rt△ABC中，点P在斜边AB上移动，PM⊥BC，PN⊥AC，M，N分别为垂足，已知AC=1，AB=2，求：（1）何时矩形PMCN的面积最大，把最大面积是多少？

（2）当AM平分∠CAB时，矩形PMCN的面积。

    3．(06金华)23．初三（1）班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大。

小组讨论后，同学们做了以下三种试验：                  

图案（1）            图案（2）              图案（3）          

请根据以上图案回答下列问题：

（1）在图案（1）中，如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长度和)为6m，当AB为1m，长方形框架ABCD的面积是    m2；

（2）在图案（2）中，如果铝合金材料总长度为6m，设AB为m，长方形框架ABCD的面积为S＝    (用含的代数式表示)；当AB＝      m时， 长方形框架ABCD的面积Ｓ最大；

在图案（3）中，如果铝合金材料总长度为m，设AB为m，当AB=    m时， 长方形框架ABCD的面积S最大。

（3）经过这三种情形的试验，他们发现对于图案这样的情形也存在着一定的规律。

探索：如图案，如果铝合金材料总长度为m共有n条竖档时，那么当竖档AB多少时，长方形框架ABCD的面积最大。

小结：实际问题转化为数学模型。