第21课 两个三角形相似的判定-九年级数学上册同步精品讲义（浙教版）

第21课  两个三角形相似的判定

知识点01  相似三角形的判定

1.三角形相似判定的预备定理:平行于三角形一-边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与

原三角形相似.

2.三角形相似的判定定理:

（1）有两个角对应相等的两个三角形相似，并能运用这个定理证明两个三角形相似.

（2）三边对应成比例的两个三角形相似.

（3）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似.

考点01    相似三角形的判定

【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．

（1）求证：△BDE∽△CAD；

（2）若AB＝26，BC＝20，求线段DE的长．

【即学即练1】如图，M为线段AB中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝45°，且DM交AC于点F，ME交BC于点G．（1）求证：△AMF∽△BGM；（2）连接FG，若AB＝4，AF＝3，求FG的长；

题组A  基础过关练

1.如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

A．B．C． D．

2.如图，每个小方格的边长都是1，则下列图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A．   B． C． D．

3.如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABC＝∠ADB，AD＝2，AC＝6，则AB的长为（　　）

A．3 B．4 C． D．2

4. 如图所示，添加一个条件 　              　，使△ADB∽△ABC．

5.如图，在△ABC和△ADE中，，∠CAE＝40°，则∠BAD的度数为 　　．

6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上的一点，CD⊥AB于点D，AD＝3，BD＝5，则边AC的长为 　　．

7.如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠B＝∠ACD，且∠A＝90°．

（1）求证：△ABC∽△ACD；

（2）若AD＝2，AB＝6．求CD的长．

8.如图，AB为⊙O的直径，D为弧BC中点，DE⊥AB于点E，BC交DE于点F，交AD于点G．

（1）求证：GF＝DF；

（2）求证：BE•AB＝AD•DG．

题组B  能力提升练

9.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD•BC＝DE•AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10.如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（　　）

A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④

11.如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（　　）

①AD2＝BD•CD   ②AB•CD＝AC•AD    ③AC2＝BC•CD   ④AB2＝AC•BD

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12.如图，已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，AB＝AC，BD＝2，CD＝3，CE＝4，AE＝，∠FDE＝∠B，则AF的长为（　　）

A．3.5 B．4 C．4.5 D．5

13.如图，把△ABC绕点A旋转得到△ADE，当点D刚好落在BC上时，连接CE，设AC、DE相交于点F，则图中不全等的相似三角形共有 　　对．

14.如图，线段AB＝9，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AC＝2，BD＝4，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为　　．

15.如图，半圆O以AB为直径，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，延长BC，AD交于点E，DC＝BC＝4，AD＝14，求AB的长 　　．

16.如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．

（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；

（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．

17.如图，AB是⊙O的直径，线CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AD，GD，CG．

（1）求证：∠AGD＝∠FGC；

（2）求证：△CAG∽△FAC；

（3）若AG•AF＝48，CD＝4，求⊙O的半径．

题组C  培优拔尖练

18.如图，分别以下列选项作为一个已知条件，不一定能得到△AOB与△COD相似的是（　　）

A． B． C． D．∠BAC＝∠BDC

19.如图，四边形ABCD内接于半径为4的⊙O，BD＝4，连AC交BD于E，若E为AC的中点，且AB＝AD，则四边形ABCD的面积是（　　）

A．6 B．8 C．9 D．18

20.如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝12，D，E分别是BC，AB上的动点（点D与B，C不重合），且2∠ADE+∠BAC＝180°，若BE＝4，则CD的长为 　　．

21.如图，DA⊥AC，BC⊥AC，AB与CD相交于点E，过点E作EF⊥AC交AC于F，且BC＝2，AD＝3，则EF的长为 　　．

22.如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC＝4，点E在BC边上，若AE⊥AD，且∠AEB＝∠DEA，则BE的长为 　　．

23.如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设＝λ（λ＞0）．

（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为 　　；

（2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为 　　．

24.如图，△ABC内接于半径为的半圆O中，AB为直径，点M是的中点，连结BM交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，∠ADB＝135°且D为BM的中点，则DM的长为 　　；BC的长为 　　．

25.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC上运动（不能经过B、C），过D作∠ADE＝45°，DE交AC于E．

（1）设BD＝x，AE＝y，求y与x的函数关系，并写出其定义域；

（2）若三角形ADE恰为等腰三角形，求AE的长．

26.从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；

（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；

（3）如图②，在△ABC中，AC＝3，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．