第23课 相似多边形-九年级数学上册同步精品讲义（浙教版）

第23课 相似多边形

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学习目标
1.1.了解相似多边形的概念和性质.
2.在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似.
3.会用相似多边形的性质解决简单的几何问题.

知识精讲

知识点01 相似多边形的概念
1.一般地,对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比也叫做相似比.
知识点02 相似多边形的性质
1.相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
2.相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方.
　能力拓展
考点01 相似多边形的概念
【典例1】如图，细线平行于正多边形一边，并把它分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】利用相似多边形的判定方法判断即可．
【解析】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意；
B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
故选：A．
【点睛】考查了相似多边形的定义，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
【即学即练1】下列结论不正确的是（　　）
A．所有的矩形都相似 B．所有的正方形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似 D．所有的正八边形都相似
【思路点拨】根据对应边的比相等，对应角相等的两个多边形相似，就可以判断．
【解析】解：A、所有的矩形不一定都相似．
B、所有的正方形因为四边相等都相似．
C、所有的等腰直角三角形两腰相等都相似．
D、所有的正八边形都相似．
故选：A．
【点睛】考查了相似多边形的定义，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
所有的正方形都相似；所有的等腰直角三角形都相似；所有的正八边形都相似．
考点02 相似多边形的性质
【典例2】两个相似多边形的最长边分别为6cm和8cm，它们的周长之和为56cm，面积之差为28cm2，求较小相似多边形的周长与面积．
【思路点拨】设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为56﹣x，面积28+y，根据相似多边形的性质得到＝，＝（）2，然后利用比例的性质求解即可．
【解析】解：设较小相似多边形的周长为xcm，面积为ycm2，则较大相似多边形的周长为（56﹣x）cm，面积（28+y）cm2，
根据题意得＝，＝（）2，
解得x＝24，y＝36，
所以较小相似多边形的周长为24cm，面积为36cm2．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质：对应角相等；对应边的比相等；两个相似多边形周长的比等于相似比；两个相似多边形面积的比等于相似比的平方．
【即学即练2】如图所示，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求未知边x的长度和α的大小．

【思路点拨】由相似多边形的性质可得，AD：AB＝A′D′：A′B′，∠C＝∠C′，根据图中表明的数字求解即可．
【解析】解：由题意得：，
∴x＝18，
∵∠C′＝360°﹣（63°+129°+78°）＝90°，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠C＝∠C′＝90°，
即α＝90°．
【点睛】本题考查相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例．

分层提分


题组A 基础过关练
1.一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（　　）
A．6 B．8 C．12 D．10
【思路点拨】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【解析】解：设这个多边形的最短边长为x，
∵两个多边形相似，
∴＝，
解得，x＝8，
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
2.如图，下列两个四边形若相似，则下列结论不正确的是（　　）

A．∠α＝100° B．x＝ C．y＝ D．x＝7
【思路点拨】根据相似图形的对应角相等，对应边的比相等得到答案．
【解析】解：∠α＝360°＝50°﹣120°﹣90°＝100°，A正确；
x＝＝，B正确，D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，牢记相似多边形的对应角相等，对应边的比也相等．
3. 已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为18cm，则较大多边形的周长为（　　）
A．24cm B．27cm C．28cm D．32cm
【思路点拨】根据相似多边形面积之比等于相似比的平方求出相似比，根据相似多边形周长之比等于相似比去周长比，列式计算即可．
【解析】解：两个相似多边形的面积比是9：16，
∴两个相似多边形的相似比是3：4，
∴两个相似多边形的周长比是3：4，
设较大多边形的周长为为xcm，
由题意得，18：x＝3：4，
解得，x＝24，
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
4.某块面积为4000m2的多边形草坪，在嘉兴市政建设规划设计图纸上的面积为250cm2，这块草坪某条边的长度是40m，则它在设计图纸上的长度是（　　）
A．4cm B．5cm C．10cm D．40cm
【思路点拨】首先设这块草坪在设计图纸上的长度是xcm，根据题意可得这两个图形相似，根据相似图形的面积比等于相似比的平方，可列方程＝（）2，解此方程即可求得答案，注意统一单位．
【解析】解：设这块草坪在设计图纸上的长度是xcm，4000m2＝40000000cm2，40m＝4000cm，
根据题意得：＝（）2，
解得：x＝10．
故这块草坪在设计图纸上的长度是10cm．
故选：C．
【点睛】此题考查了相似图形的性质．此题难度不大，注意相似图形的面积比等于相似比的平方的应用与方程思想的应用．
5.两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【思路点拨】根据相似多边形的性质求出相似比，根据相似多边形的性质求出周长比．
【解析】解：∵两个相似多边形的面积之比是1：4，
∴这两个相似多边形的相似比是1：2，
则这两个相似多边形的周长之比是1：2，
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
6.如图，把矩形ABCD中的AB边向上翻折到AD边上，当点B与点F重合时，折痕与BC边交于点E，连接EF，若四边形EFDC与矩形ABCD恰好相似，若AB＝1时，AD的长为（　　）

A． B． C．3﹣ D．﹣1
【思路点拨】可设AD＝x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
【解析】解：∵AB＝1，
设AD＝x，则FD＝x﹣1，FE＝1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴＝，，
解得x1＝，x2＝（不合题意舍去），
经检验x1＝是原方程的解．
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．
7.如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝∠D＝100°，∠G＝65°，则∠F＝　95°　．

【思路点拨】利用相似多边形的性质得到∠A＝∠D＝∠E＝∠H＝100°，然后根据四边形的内角和计算∠F的度数．
【解析】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴∠A＝∠D＝∠E＝∠H＝100°，
∴∠F＝360°﹣∠E﹣∠H﹣∠G＝360°﹣100°﹣100°﹣65°＝95°．
故答案为95°．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等；对应边的比相等．
8已知一个四边形的各边长分别是3cm、4cm、5cm、8cm，另一个与它相似的四边形的最长边的长是12cm，那么另一个四边形的
周长是　30　cm．
【思路点拨】先求出已知四边形的周长，再根据最长边求出两个相似四边形的相似比，再根据相似多边形的周长的比等于相似比列式进行计算即可得解．
【解析】解：已知四边形的周长为：3+4+5+8＝20cm，
根据题意，两相似多边形的相似比为＝，
设另一个四边形的周长为x，
则＝，
解得x＝30cm．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了相似多边形的周长的比等于相似比的性质，根据最长边求出两多边形的相似比是解题的关键，注意求相似比有顺序．
9.已知两个相似的菱形的相似比为2：3，面积之差为5cm2，则这两个菱形的面积分别是　4cm2，9cm2　．
【思路点拨】分别设两个菱形的面积为xcm2、（x+5）cm2，然后根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方列式求解即可．
【解析】解：设两个菱形的面积为xcm2、（x+5）cm2，
∵两个相似的菱形的相似比为2：3，
∴＝（）2，
解得x＝4，
x+5＝9，
∴这两个菱形的面积分别是4cm2，9cm2．
故答案为：4cm2，9cm2．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的面积的比等于相似比的平方，熟练掌握性质并列出比例式是求解的关键．
10.如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且∠A＝62°，∠B＝75°，∠D′＝140°，AD＝9，A′B′＝11，A′D′＝6，B′C′＝8．
（1）请直接写出：∠C＝　83　度；
（2）求边AB和BC的长．

【思路点拨】（1）根据相似多边形的对应角相等以及四边形内角和360°解决问题即可．
（2）利用相似多边形的对应边成比例，解决问题即可．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠D＝∠D′＝140°，
∴∠C＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°，
故答案为：83．

（2）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AB＝，BC＝12．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质，灵活运用所学知识解决问题．

题组B 能力提升练
11.下列说法正确的是（　　）
A．所有菱形都相似 B．所有矩形都相似
C．所有正方形都相似 D．所有平行四边形都相似
【思路点拨】根据相似多边形的定义一一判断即可．
【解析】解：∵相似多边形的对应边成比例，对应角相等，
∴所有正方形都是相似多边形，
故选：C．
【点睛】本题考查相似多边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12. 如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（　　）

A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
【思路点拨】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解．
【解析】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，
∵小长方形与原长方形相似，
∴＝，
∴a＝2b．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似多边形对应边成比例的性质，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．
13.如图，一块矩形ABCD绸布的长AB＝a，宽AD＝1，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（　　）

A． B． C．2 D．
【思路点拨】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可．
【解析】解：∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
∴＝，
解得a＝或﹣（舍弃），
∴a＝，
故选：B．
【点睛】此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例．
14.如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（　　）

A．x＝y B．3x＝2y C．x＝1，y＝2 D．x＝3，y＝2
【思路点拨】分两种情形，利用相似多边形的性质求解即可．
【解析】解：如图，当矩形ABCD∽矩形EFGH时，则有＝，
∴＝，
可得3x＝2y，选项B符合题意，
当矩形ABCD∽矩形EHFG时，则有＝，
∴＝，
推不出：x＝y或3x＝2y或x＝1，y＝2或x＝3，y＝2．故选项A，B，C，D都不满足条件，此种情形不存在．
∴矩形ABCD∽矩形EFGH，可得3x＝2y，
故选：B．

【点睛】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
15将邻边为3和5的矩形按如图的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形　不相似　（填写“不相似”或“相似”）．

【思路点拨】根据矩形的性质得出角对应相等，但是两矩形的对应边的比不相等，即可得出答案．
【解析】解：不相似，
理由是：根据题意得：新矩形的边长为5、5、7、7，
∵原矩形的边长为3、3、5、5、，
∴两矩形的对应边的比不相等，
∴两矩形不相似，
故答案为：不相似．
【点睛】本题考查了相似多边形的判定，矩形的性质的应用，能理解相似多边形的判定定理是解此题的关键．
16.一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．

【思路点拨】（1）由题意可知矩形DMNC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，就可以得到它的另一边长；
（2）根据相似矩形对应边成比例列出比例式求出DF的长，再根据矩形面积公式求解即可．
【解析】解：（1）由已知得MN＝AB＝2，MD＝AD＝BC，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，＝，
∴DM•BC＝AB•MN，即BC2＝4，
∴BC＝2，即它的另一边长为2；
（2）∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴＝，
∵AB＝CD＝2，BC＝4，
∴DF＝＝1，
∴矩形EFDC的面积＝CD•DF＝2×1＝2．
【点睛】本题考查相似多边形的性质：相似多边形对应边的比相等．也考查了矩形的面积．

题组C 培优拔尖练
17. ．如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】此题考查相似多边形的判定问题，其对应角相等，对应边成比例．
【解析】解：由题意得，A中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；
C，D中正方形，菱形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似；
而B中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以B中矩形不是相似多边形．
故选：B．
【点睛】考查了相似多边形的性质，关键是熟练掌握相似多边形的性质及判定．
18. 如图，梯形ABCD中，E、F分别为AB、DC两腰上的点，且EF∥BC．若AE＝2，AB＝5，且梯形AEFD与梯形EBCF相似，则BC与AD的比值为（　　）

A． B． C． D．
【思路点拨】根据两个梯形相似，则对应边的比相等，即可求解．
【解析】解：∵梯形AEFD∽梯形EBCF，且AE：BE＝2：3，
∴AD：EF＝EF：BC＝2：3，
∴AD：EF：BC＝4：6：9，
∴BC：AD＝9：4．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了相似多边形的性质，正确理解性质得出AE：BE＝2：3是解题关键．
19.如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于　　．

【思路点拨】根据矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，得出相似图形面积比是相似比的平方，进而得出的值．
【解析】解：∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，
∵各种开本的矩形都相似，
∴（） 2＝，
∴＝．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了多边形的相似的性质，得出相似图形面积比是相似比的平方是解决问题的关键．
20.如图，在矩形ABCD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对开后与原矩形相似，那么原矩形中AD：AB＝　或2　．

【思路点拨】用AD和AB表示出DE，然后分两种情况利用相似多边形对应边成比例列式计算即可得解．
【解析】解：∵四边形ABFE是正方形，
∴DE＝AD﹣AB，
∵剩下的矩形对开后与原矩形相似，
∴＝，
即＝，
整理得，2AD2﹣2AD•AB﹣AB2＝0，
解得AD＝AB，AD＝AB（舍去），
∴AD：AB＝，
或＝，
＝，
整理得AD＝2AB，
∴AD：AB＝2，
综上所述，AD：AB＝或2．
故答案为：或2．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，主要利用了相似多边形对应边成比例的性质，难点在于要分情况讨论．
21.如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形ABn∁nCn﹣1的面积为　　．

【思路点拨】根据已知和矩形的性质可分别求得AC，AC1，AC2的长，从而可发现规律，根据规律即可求得第n个矩形的面积．
【解析】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥DC，
∴AC＝＝＝，
∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，
∴矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为：2
∴矩形AB1C1C的面积和矩形ABCD的面积的比5：4，
∵矩形ABCD的面积＝2×1＝2，
∴矩形AB1C1C的面积＝，
依此类推，矩形AB2C2C1的面积和矩形AB1C1C的面积的比5：4
∴矩形AB2C2C1的面积＝
∴矩形AB3C3C2的面积＝，
按此规律第n个矩形的面积为：
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．
22.如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2011＝　•　．

【思路点拨】先根据△ABC是等边三角形可求出△ABC的高，再根据三角形中位线定理可求出S1的值，进而可得出S2的值，找出规律即可得出S2011的值．
【解析】解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴△ABC的高＝AB•sin∠A＝1×＝，
∵DE、EF是△ABC的中位线，
∴AF＝，
∴S1＝×＝；
同理可得，S2＝×；
…
∴Sn＝（）n﹣1；
∴S2011＝•．
故答案为：S2011＝•．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，涉及到等边三角形的性质、锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及三角形中位线定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
23.矩形ABCD纸片的边AB长为2cm，动直线l分别交AD、BC于E、F两点，且EF∥AB；
（1）若直线l是矩形ABCD的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形EFCD与原矩形ABCD相似，试求AD的长？
（2）若使AD＝+1cm，试探究：在AD边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形ABCD相似的情况．若存在，请求出AE的值，并判断E点在边AD上位置的特殊性；若不存在，试说明理由．

【思路点拨】（1）先根据矩形EFCD∽矩形CBAD可得出两矩形的对应边成比例，再AD＝2CF＝2x，把CD、AB的值代入关系式即可得出x的值，进而可求出AD的值；
（2）假设存在矩形EFCD与矩形ABCD相似，则DC必与AD对应，ED必与DC对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出ED的长，进而可得出AE的长，进而可得出结论．
【解析】解：（1）∵矩形EFCD∽矩形CBAD，
∴＝，（2分）
又∵CD＝AB＝2，可设AD＝2CF＝2x，
∴＝，（2分）
则：x＝，
故：AD＝2．（1分）

（2）假设存在矩形EFCD与矩形ABCD相似；
则DC必与AD对应，ED必与DC对应，
有：＝，
∴DC2＝AD•ED，（1分）
又∵DC＝2cm，AD＝+1cm，
∴ED＝＝＝﹣1（cm）
∴AE＝AD﹣（﹣1）＝2，（2分）
而AE＝2＞﹣1＝ED，
依据对称性考虑，必定存在当AE＝﹣1时，使矩形EFBA与矩形ABCD相似的情形，
综上所述：当AE＝﹣1或2时，在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似；
且该两种情形中，E刚好是边AD的两个黄金分割点．

【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形的对应边成比例．