2021学年13.4课题学习 最短路径问题优质课课件ppt

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为什么会出现这样的路呢？
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？
两点之间,线段最短
　　问题一 牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B 地。那么牧马人到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
　　将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
如何将实际问题数学化呢？
现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）
点A、B是分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到A、B两点的距离最短呢？
如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？
作法：(1)作点B 关于直线l 的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l 交于点C.则点C 即为所求．
证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知， BC ＝B′C，BC′＝B′C′。 ∴ AC ＋BC＝ AC ＋B′C ＝ AB′， AC′＋BC′＝ AC′＋B′C′。 在△AB′C′中， AB′＜AC′＋B′C′∴ AC ＋BC＜AC′＋BC′。即 AC ＋BC 最短。
结论：作其中一个点关于直线l的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是满足最短距离的点的位置。最短距离就是AB＇。
1.如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米，P，Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（　　）A. B. C. D.
2.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（　　）A．15°B．22.5°C．30°D．45°
问题二：(造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。)
将实际问题转化为数学问题
将河的两岸看作两条平行线a、b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于a，交a于N点。
当N在什么位置时，AM+MN+NB最小？
如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.
证明：另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１　转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
3.已知∠MON=40°，P为∠MON内一点，A为OM上的点，B为ON上的点，问当△PAB的周长取最小值时．（1）找到A、B点，保留作图痕迹；（2）求此时∠APB等于多少度？如果∠MON=θ，∠APB又等于多少？
解析：（1）如图所示：
解析：（2）如图下图所示：连AP、BP。∵点A′与点P关于直线OM对称，点B′与点P关于ON对称，∴A′P⊥OM，B′P⊥ON，A′A=AP，B′B=BP。∴∠A′=∠APA′，∠B′=∠BPB′。∵A′P⊥OM，B′P⊥ON，∴∠MON+∠CPD=180°。∴∠CPD=180°-40°=140°。在△A′B′P中，由三角形的内角和定理可知：∠A′+∠B′=180°-140°=40°。∴∠CPA+∠BPD=40°。∴∠APB=140°-40=100°。如果∠MON=θ，则∠CPD=180°-θ。在△A′B′P中，由三角形的内角和定理可知：∠A′+∠B′=θ。∴∠CPA+∠BPD=θ。∴∠APB=180°-2θ。
4.如图，荆州护城河同在CC′处直角转弯，同宽均为5米，从A处到达B处，须经过两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西，南北方向的，如何架桥可使ADD′E′EB的路程最短？
解析：作AF⊥CD，且AF=河宽，作BG⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E′、D′。作DD′、EE′即为桥。证明：由作图法可知，AF∥DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D为平行四边形，于是AD=FD′，同理，BE=GE′，由两点之间线段最短可知，GF最小；即当桥建于如图所示位置时，ADD′E′EB最短。
1、利用轴对称解决最短路径问题。
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择．
1.如图所示，在一个水塘的表面均匀漂浮一些鱼食，一只小鱼正在A出，现在小鱼从A处出发到到水面取一点食物后，要回到岸边的B洞口处，画出小鱼这一过程中游动的最短路径（请保留作图中必要的辅助线）。
解析：作点A关于水面的对称点A′，连接A′B交水面于点D，连接AD，∵点A与点A′关于水面对称，∴AD=A′D，∴AD+BD=A′B，由两点之间线段最短可知，线段A′B的长即为AD+BD的最小值，故D点即为所求点，其最短路径见下图：
2.如图，M，N分别为AC，BC边上的两定点，在AB上求一点P，使△PMN的周长最小，并说明理由．
解析：如图所示：作点N关于直线AB的对称点N′，连接MN′交直线AB于点P，则PN=P′N，由于△PMN的周长=PM+PN+MN，而MN是定值，故点当M、N′、P在一条直线上时，三角形的周长有最小值．最小值等于MN+N′M．