人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题同步训练题

第十三章  轴对称

13.4.课题学习  最短路径问题

一、教学目标

【知识与技能】

能利用轴对称解决简单的最短路径问题.

【过程与方法】

体会图形的变换在解决最值问题中的作用.

【情感、态度与价值观】

通过解决问题感悟转化思想,进一步获得数学活动的经验,增强数学的应用意识.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时，共1课时。

四、教学重难点

【教学重点】 

1. 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”.

2. 利用轴对称和平移将造桥选址问题转化为“两点之间，线段最短”问题.

【教学难点】

最短路径问题的解决思路及证明方法. 

五、课前准备 

教师：课件、三角尺、直尺、圆规等。

学生：三角尺、直尺、圆规。

六、教学过程

（一）导入新课

教师问1：如图，连接A，B两点的所有线中，哪条最短？为什么？（出示课件2）

学生回答：②最短，因为两点之间，线段最短.

教师问2：如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？

学生回答：PC最短，因为垂线段最短.
教师问3：在以前学习过哪些有关线段大小的结论？（出示课件3）

学生回答：三角形三边关系：两边之和大于第三边；斜边大于直角边.

教师问4：如图，如何做点A关于直线l的对称点？

学生回答：过点A作直线l的垂线，交直线l于点O，延长AO到点A´,使AO=A´O.

（二）探索新知

1.师生互动，探究最短路径问题

教师问5：预习过本节课知识的同学，你能简单概括一下什么样的问题是最短路径问题吗？(出示课件5)

学生回答：像“饮马问题”、“造桥选址问题”等.

教师总结：“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.

现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史上著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.

教师问6：“为什么交点到两端点的距离之和最小呢？”

学生回答：“两点之间，线段最短”.

教师问7：“如果另取一点C′，你能证明此时的距离超过了刚才的距离吗？”

学生回答：连接AC′，BC′，用“三角形两边之和大于第三边”去证明.

教师问8：我们刚做的是两点分别在直线的两侧，如果两点在直线的同侧会如何呢？我们看下边的问题：

 “饮马问题”.

如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河流l边饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？

教师讲解：此题是课本例题，我们需要把实际问题转化为数问题，如何转化呢？

学生讨论并回答，师生共同解答如下：即把A，B两地抽象为两点，将河流l抽象成为一条直线，在直线l上找一点C，使AC+BC最短.(出示课件6)

教师问9：点C取在哪呢？应该如何解决所走路径最短的问题？
学生讨论并回答，师生共同总结得出，可以转化为两点在直线异侧的问题.

教师问10：对于问题，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？

学生回答：利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.（出示课件8）
师生共同解答如下：（出示课件9）

作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
     则点C 即为所求．

教师问11：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？

师生共同解答如下：（出示课件10）

证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
         BC =B′C，BC′=B′C′．
    ∴　AC +BC= AC +B′C = AB′，
    ∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
    在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
    ∴　AC +BC＜AC′+BC′．
    即　AC +BC 最短．

例1：如图，已知点D,点E分别是等边三角形ABC中BC,AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　　）（出示课件11）

A．7.5       B．5       C．4        D．不能确定

师生共同解答如下：

解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.而CE=AD.

答案：B.

总结点拨：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，再根据已知条件求解.（出示课件12）

例2：如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（　　）

A．（0，3）         B．（0，2）   C．（0，1）         D．（0，0）

师生共同解答如下：（出示课件15）

解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即可．
总结点拨：（出示课件16）

求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.
2.师生互动，探究造桥选址问题

教师问12：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)（出示课件18）

学生经过思考，小组内讨论交流不难得出，就是在河两岸分别选两点M，N，使得AM＋MN＋NB的和最小的问题.同时MN与河岸是垂直的.如图所示.

教师问13：“如何找到M，N这两个点就是我们要研究的问题了？”

学生讨论后，感觉不好回答.

教师问14：我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？（出示课件20）

学生讨论后回答:有如下方案：

1.把A平移到岸边.（出示课件21）

学生做图后回答：AM+MN+BN长度改变了.
2.把B平移到岸边.

学生做图后回答：AM+MN+BN长度改变了.
3.把桥平移到和A相连.

4.把桥平移到和B相连.（出示课件22）

教师问15：AM+MN+BN长度有没有改变呢？
师生共同讨论后解答如下：（出示课件23）

如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短. 

理由:另任作桥M1N1，连接AM1，BN1，A1N1.
由平移性质可知，AM＝A1N，AA1＝MN＝M1N1，AM1＝A1N1.
AM+MN+BN转化为AA1＋A1B，而AM1 +M1N1+BN1转化为AA1＋A1N1+BN1.
在△A1N1B中，因为A1N1+BN1＞A1B.
因此AM1 +M1N1+BN1 ＞ AM+MN+BN.
教师问16：如何说明这种做法是正确的呢？

师生共同解答如下：（出示课件24）

证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为     
                   AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
    若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长为      

AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，
故桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.

总结点拨：（出示课件25）

解决最短路径问题的方法

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为以解决的问题，从而做出最短路径的选择.

（三）课堂练习（出示课件28-35）

1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（　　）
  

A．P是m上到A、B距离之和最短的点，Q是m上到A、B距离相等的点.
    B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，P是m上到A、B距离相等的点.
    C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点.
    D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点 .

2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（　　）

     A．10              B．15
     C．20             D．30

3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是_________米.

4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P．

5. 如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？

6.

（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
  （2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
  （3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．

参考答案：

1.A

2.A

3.1000

4. 解析：作出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，点P就是所求的点.

5. 解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥.
    理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，
    则四边形AFD′D为平行四边形，
    于是AD=FD′,
    同理，BE=GE′，
    由两点之间线段最短可知，GF最小.

6.解答如下图：

（四）课堂小结

今天我们学了哪些内容:

生活中的最短路径问题

（五）课前预习

预习下节课（14.1.1）的相关内容。

知道同底数幂的乘法法则.

七、课后作业

1、教材93页复习题13第15题.

2、如图,A,B两个村庄的坐标分别为(2,2),(7,4),一辆汽车从原点O出发在x轴上行驶.

(1)汽车行驶到什么位置时离A村最近?写出这点的坐标.

(2)汽车行驶到什么位置时离B村最近?写出这点的坐标.

(3)汽车行驶到什么位置时,到两村距离和最短?请在图中画出这个位置.

八、板书设计：

九、教学反思：

1.注重学生的探究过程与小组交流的应用

最短路径问题对学生而言是第一次接触，难度较大，为了突破难点，让学生充分地去探究讨论，在此过程中提高学生解决问题的能力.

2.强化行为反思

“反思是数学的重要活动，是数学活动的核心和动力”，本节课在教学过程中始终融入反思的环节，用问题的设计，课堂小结，课后的数学日记等方式引发学生反思，使学生在掌握知识的同时，领悟解决问题的策略，积累学习方法.

3. 造桥问题有着非常好的实际背景，情境贴近生活实际.从上面的求解方法来看，平移只是问题实现转化中的一个重要策略，怎么联想到平移的？其本质还是对“两点之间，线段最短”公理的深刻理解.

本节的内容是最短路径问题,知识点应安排逐步的生成过程,环环相扣,一步步上,要将问题分解,化大为小,化难为易,降低难度.要认真分析预备知识,把新知识放在旧知识的基础上,通过复习慢慢引出新的内容,这样学生更容易掌握,更容易接受,不会产生畏难情绪,反而觉得轻松自如.