初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课堂检测

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2022人教版八年级数学上册第13章第13.4节-带答案和解析

副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如图，点，在直线的同侧，在直线上找一点，使最小，则下列图形中符合题意的是  (    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在四边形中，，，分别是，边上的动点，，当的周长最小时，的度数是  (    )

A.
B.
C.
D.

3. 如图，等边的边长为，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，则当取得最小值时，的度数为(    )

A.
B. ．
C.
D.

4. 如图，在中，，，、为、上的动点，且，连接，，当取得最小值时，则：的值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

5. 如图，，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是_______．

6. 如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于，点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为_____．

7. 如图，在四边形中，，，点，分别是线段，上的动点．当的周长最小时，则的度数为______．

8. 如图，点，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是            ．
    

9. 如图，、分别是线段、的垂直平分线，，，，一只小蚂蚁从点出发爬到边上任意一点，再爬到边上任意一点，然后爬回点处，则小蚂蚁爬行的路径最短为          ．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

10. 本小题分

如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，当最小时，求的度数．

11. 本小题分

如图，小河边有两个村庄，，要在河边建一自来水厂向村与村供水．

若要使自来水厂到，两村的距离相等，则应选择在哪儿建厂？请在图中画出，并用点表示；

若要使自来水厂到，两村的水管最省料，则应选择在哪儿建厂？请在图中画出，并用点表示．

12. 本小题分

如图，山娃星期天从处赶了几只羊到草地放羊，然后赶羊到小河饮水，之后再回到处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置．

13. 本小题分
    如图，中，，以为边在上方作正方形，过点作，交的延长线于点，连接．
    求证：≌；
    ，分别为，上的动点，连接，，若，，求的最小值．

14. 本小题分

如图，是内部的一条线段，在的两边，上各取一点，组成四边形，如何取点才能使该四边形的周长最小

15. 本小题分
    如图所示，在、两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从村往村，要经过两座桥、现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的大桥，问：如何设计这两座桥、的位置，使由村到村的路程最短要求在图上标出道路和大桥的位置
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查轴对称求最短距离，掌握两点在直线同侧时，在直线上找一点到两点距离最短的方法是解题的关键．
作点关于的对称点，连接与的交点为，由对称性可知，所以当、、三点共线时最小．
【解答】
解：点，在直线的同侧，
作点关于的对称点，连接与的交点为，
由对称性可知，
，
当、、三点共线时最小，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：延长到使，延长到，使，连接交于，交于，
此时，的周长最小，

，，
，
，，
，，
，
，
设，

，
，
解得：，
故选：．
延长到使，延长到，使，连接交于，交于，此时，的周长最小，根据等腰三角形的性质得到，，设，根据三角形的内角和列方程即可得到结论．
本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】如图，过作，交于，交于，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
是边上的中线，是等边三角形，
，
，
，
，
和关于所在直线对称，
连接交于，连接，则此时的值最小，
是等边三角形，，
，
故选C．

 

4.【答案】 

【解析】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，，延长到，使得，连接，，．

，，
，
，关于对称，
，，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
在和中，
，
≌，
，
，
垂直平分线段，
，
，
，
的最小值为线段的长，
当点在上时，取得最小值，
此时：在和中，
，
≌，
，
，
，
：的值为，
故选：．
作点关于直线的对称点，连接，，延长到，使得，连接，，，由“”可证≌，可得，可得当点在上时，取得最小值，由“”可证≌，可得，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质等知识，确定点的位置是本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识．
如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题
【解答】
解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接、、、、，
，
，
，
，
，
为等边三角形
，
的最大值为，
故答案为．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是轴对称最短路线问题，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故AD，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，，推出，故AD的长为的最小值，由此即可得出结论．
【解答】
解：连接，．​​​​​​​
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，，
，
的长为的最小值，
的周长最短．
故答案为．  

7.【答案】 

【解析】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．作延长线，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案．
本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点．

，
，
，
，
，
为等边三角形
，
的最大值为，
故答案为．
如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题．
本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】当与的交点为，与的交点为时，小蚂蚁爬行的路径最短．
、分别是线段、的垂直平分线，
，，
小蚂蚁爬行的路径最短为．
 

10.【答案】解：连接，与交于点，此时最小，

是等边三角形，，
，
，即就是的最小值，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质．连接，则的长度即为与和的最小值．再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题．
 

11.【答案】解：如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点到，的距离相等； 

如图，画出点关于河岸的对称点，连接交于点，则点到，的距离和最短．

【解析】此题主要考查了学生对线段中垂线的作法，应用设计与作图以及轴对称求最短路径，对到两点距离相等问题的掌握和得出点对称点是解题关键．

连接，作的垂直平分线交于点，则点到，的距离相等； 

画出点关于河岸的对称点，连接交于点，则点到，的距离和最短．

12.【答案】解：作出点关于的对称点，点适于的对称点，连接，交于，于点，点，

则，，是他走的最短路线，放羊的位置为点，饮水的位置为点． 

【解析】本题利用了轴对称的性质，两点之间线段最短的性质求解．
作出点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交于，于点，点，则，，是他走的最短路线，放羊的位置为点，饮水的位置为点．
 

13.【答案】证明：中，，，
．
四边形是正方形，
，，
，，
，
≌；
解：≌，
，，
．
如图，连接，

是正方形顶点与顶点的对称轴，
．
如使得最小，只需、、在一条直线上，
由于点、分别是和上的动点，
作，交于点，垂足为，
所以，的最小值等于． 

【解析】根据正方形的性质得出，，进而得出，因为根据即可证得结论；
根据正方形的性质，如使得最小，只需、、在一条直线上，根据垂线段最短，作，交于点，垂足为，则的最小值等于．
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，轴对称最短路线问题，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

14.【答案】解：如图，作关于射线所在直线的对称点，再作关于射线所在直线的对称点，连接交于，交于，连接，，则四边形即为所求．

【解析】见答案
 

15.【答案】解：如图所示．

过点作，垂足为，过点作，垂足为
分别在和上截取河的宽度
连接，分别交和于点和
过点和分别作和的垂线段，垂足分别为和
连接和，则路线就是满足题意的最短路线． 

【解析】本题主要考察的是轴对称的最短路线问题。需要通过作图构建轴对称图形进行求解。较为综合，同时也考察了作图与测量的能力。