人教版数学四年级上册第五单元《平行四边形和梯形》1.1-1.2 基础知识点梳理
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平行与垂直的概念 平行与垂直的画法
学习导图
重点知识点
知识点一：平行与垂直
在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。a与b互相平行，记作a∥b，读作a平行于b。
两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。这两条直线的交点叫做垂足，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。a与b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b。
知识点二：平行与垂直的画法
过直线上(外)一点画已知直线的垂线的方法：
1. 把三角尺的一条直角边与已知直线重合；
2. 沿直线移动三角尺，使三角尺的顶点(或边)与已知直线重合；
3. 过已知点沿三角尺的另一条直角边画一条直线；
4. 在垂足处标出垂直符号。
5.点到直线的距离与平行线间的距离
（1）点到直线的距离
从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。
（2）平行线间的距离
两条平行线之间的垂直线段有无数条，长度都相等。
6.运用平行和垂直画长方形
先画出一条线段，然后过这条线段的两个端点画与这条线段垂直的线段，最后连接这两条垂直线段的另外的端点。
难点易错点
【易错典例1】（2019秋•白云区期末）在如图中找出一组平行线，用实线画出来．
【思路引导】根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，据此即可．
【完整解答】解：
【考察注意点】此题主要考查了平行线的定义，正确把握相关定义是解题关键．
【易错典例2】（2019秋•高平市期末）图形中有 两 组平行线， 3 组垂线．
【思路引导】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直，它们的交点叫做垂足；据此解答即可．
【完整解答】解：图形中有 两组平行线，3组垂线．
故答案为：两，3．
【考察注意点】明确平行和垂直的性质可知，是解答此题的关键．
【易错典例4】（2019秋•大田县期末）按要求完成下面各题．
①先从如图中任意选出两点画出一条直线．
②再通过第三点画出它的平行线和垂线
【思路引导】①、把其中的两个点直接连起来就是一条直线．
②、用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和已知点重合，用直尺靠紧和已知点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过已知点画直线就是平行线．
用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和已知点重合，过已知点沿直角边向已知直线画直线就是垂线．
【完整解答】解：
【考察注意点】本题考查了学生画平行线和垂线的能力．
考点1：垂直与平行的特征及性质
1．长方形ABCD有一条对称轴（如图），那么，与对称轴平行的边是（ ）
A．AB和CD B．AD和BC C．AB和AD D．BC和CD
【思路引导】根据平面内不相交的直线，叫平行线，解答此题即可。
【完整解答】解：与对称轴平行的边是AD和BC。
故选：B。
2．如图的四组直线中，是相交关系的有（ ）组。
A．1 B．2 C．3
【思路引导】根据平面内两直线的位置关系，不平行的两直线，就是相交直线，解答此题即可。
【完整解答】解：除了第三个图是平行线外，其它都是相交关系。
故选：C。
3．如图，与线段BC平行的是线段 DE ，与线段BD垂直的是线段 BA 和线段 CD 。
【思路引导】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直，它们的交点叫做垂足；据此解答即可。
【完整解答】解：如图中，与线段BC互相平行的是线段DE，与线段BD互相垂直的有线段BA和线段CD．
故答案为：DE，BA，CD。
4．从如图中可以看出， AD 和 BC 是互相平行的， AB 和 BC 是互相垂直的。
【思路引导】根据平行和垂直的定义，找出平行线和垂线即可。
【完整解答】解：AD和BC平行；AB和BC垂直或AD和AB垂直。
故答案为：AD和BC；AB和BC或AD和AB。
5．在图中与AE平行的边有 BF、DH、CG ；在图中与BC垂直的边有 AB、DC、BF、CG ．
【思路引导】依据同一平面内，线段之间的垂直于平行的意义，即可解答．
【完整解答】解：在图中与AE平行的边有BF、DH、CG；在图中与BC垂直的边有BF、DC、CG；
故答案为：BF、DH、CG，AB、DC、BF、CG．
6．两条平行线之间的距离处处 相等 ，正方形的两条对角线互相 垂直 ．
【思路引导】①因为平行线之间的距离都是两条平行线的垂线段，所以相等；
②根据正方形的特性可知，两条对角线互相垂直，我们通过计算进行验证．
【完整解答】解：①因为平行线之间的距离都是两条平行线的垂线段，所以两条平行线之间的距离处处相等；
②画图如下：
因为正方形ABCD，所以∠1＝∠2＝45°，
因此在△AOB中，∠AOB＝90°，
所以AC⊥BD，
故答案为：相等，垂直．
7．如果两条直线都与同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行。 √ （判断对错）
【思路引导】根据垂直和平行的特征：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；进而解答即可。
【完整解答】解：如果两条直线都与同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行。原题说法正确。
故答案为：√。
8．过直线外一点，可以作无数条直线与已知直线平行． × （判断对错）
【思路引导】根据平行的性质：同一平面内，过直线外一点，画已知直线的平行线，只能画一条；据此判断即可．
【完整解答】解：根据平行的性质可知：过直线外一点可以画一条直线与已知直线平行，
所以本题说法错误；
故答案为：×．
9．如图，线段AB与直径DC互相平行。 √ （判断对错）
【思路引导】如图可得AD∥BC，AB是两平行线的垂线段，因为AB等于直径，所以直径DC也是这两条平行线的垂线段，据此判断即可。
【完整解答】解：如图可得AD∥BC，AB是两平行线的垂线段，因为AB等于直径，所以直径DC也是这两条平行线的垂线段，所以线段AB与直径DC互相平行正确。
故答案为：√。
10．图中每个图形有几组平行线，写在括号里．
【思路引导】根据平行线的定义：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，即可得出答案．
【完整解答】解：根据分析可知，第一个图形有1组平行线，
第二个图形有2组平行线，
第三个图形有2组平行线，
故答案为：
．
11．按要求在右边四个点画线段、射线和直线．
（1）画线段AC、BD．
（2）画射线BA、CD．
（3）画直线BC、AD．
【思路引导】根据直线、射线和线段的含义：线段有2个端点，有限长，可以度量；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长；进而解答即可．
【完整解答】解：
考点2：平行
12．如图，下面两条平行线之间的线段最短的一条是（ ）
A．AB B．CD C．EF D．GH
【思路引导】平行线之间垂直线段的长度最短，由此解答即可。
【完整解答】解：如图，下面两条平行线之间的线段最短的一条是CD，
故选：B。
13．图中有（ ）组平行线．
A．2 B．3 C．4
【思路引导】根据平行线的定义：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，即可得出答案．
【完整解答】解：如图：AB∥CD，AC∥BD，EF∥HL，共3组；
故选：B。
14．有两条直线都与同一条直线平行，则这两条直线一定（ ）
A．互相垂直 B．互相平行 C．相交
【思路引导】根据平行的性质：两条直线都与同一条直线平行，则这两条直线一定互相平行；据此解答即可．
【完整解答】解：根据平行的性质可得：有两条直线都与同一条直线平行，则这两条直线一定互相平行；
故选：B。
15．同一平面内不相交的两条线，叫做平行线． × ．
【思路引导】根据平行的含义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；进行判断即可．
【完整解答】解：根据根据平行的含义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；可知平行的前提：这两条线必须是直线，因为本题没说明，所以说法错误；
故答案为：×．
考点3：相交与垂直
16．两条直线相交，如果其中一个角是90°，其他三个角（ ）
A．有可能是锐角 B．都是直角
C．有可能是钝角
【思路引导】根据平角等于180°，解答此题即可。
【完整解答】解：两条直线相交，如果其中一个角是90°，其他三个角都是直角。
故选：B。
17．同一个平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（ ）
A．相交 B．互相垂直 C．互相平行
【思路引导】根据垂直的性质：同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；进行解答即可．
【完整解答】解：根据垂直和的性质得：两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；
故选：C。
18．这个正方形的两条对角线（ ）
A．互相平行 B．互相垂直 C．只是相交
【思路引导】根据正方形的特性可知，两条对角线互相垂直．我们通过计算进行验证．
【完整解答】解：如图所示：
因为正方形ABCD，所以∠1＝∠2＝45°，
因此在△AOB中，∠AOB＝90°，
同理得出：其它三个角也是直角，所以AC⊥BD，
正方形的对角线相交形成4个直角，所以正方形的两条对角线互相垂直．
故选：B。
19．从直线外一点到这条直线所画的 垂线段 最短，它的 长度 叫做这点到直线的 距离 ．
【思路引导】根据点到直线的距离的含义：从直线外的一点向这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离；从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短；由此判断即可．
【完整解答】解：从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离；
故答案为：垂线，长度，距离．
20．图中互相平行的直线有 （3）和（4） ，互相垂直的直线有 （1）和（3）、（1）和（4） ．
【思路引导】根据平行线和垂线的定义进行判断．
【完整解答】解：图中互相平行的直线有（3）和（4）；
互相垂直的直线有（1）和（3）、（1）和（4）．
故答案为：（3）和（4）；（1）和（3）、（1）和（4）．
21．在图中添一条线段，使它增加4个直角．
【思路引导】根据垂直的含义：在同一平面内相交成直角的两条直线叫做互相垂直；只要在长方形中作一条垂直于两条对边的线段即可．
【完整解答】解：如图，
．
