数学九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程同步练习题

这是一份数学九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程同步练习题，文件包含九年级数学上册第03讲实际问题与一元二次方程原卷版docx、九年级数学上册第03讲实际问题与一元二次方程解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。

第03讲 实际问题与一元二次方程
(重点题型方法与技巧)

目录
类型一：传播问题
类型二：平均增长（降低）率问题
类型三：几何图形面积问题
类型四：数字问题
类型五：销售利润问题
类型六：其他问题

类型一：传播问题
传染源第一轮被传染的第二轮被传染的第二轮传染后的总数．
典型例题
例题1．（2022·河南信阳·九年级期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有225人患了流感，设每轮传染中平均每人传染的人数为x人，则可列方程（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：依题意得（1+x）+x（1+x）=225．
故选：C．
点评：例题1考查了一元二次方程的运用，解此类题关键是根据题意分别列出不同阶段患了流感的人数．
例题2．（2022·黑龙江省八五四农场学校九年级期末）2021年10月10日，第七届黑龙江绿色食品产业博览会开幕，虎林市组建团队参加，在参加会议前团队每两个人间互送了一次名片，一共送出90张名片，这个团队共有_____人．
【答案】10
【详解】解：设这个团队有x人，则每人需送出（x-1）张名片，
依题意得：x（x-1）=90，
整理得：x2-x-90=0，
解得：x1=10，x2=-9（不合题意，舍去），
∴这个团队有10人．
故答案为：10．
点评：例题2考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
例题3．（2022·全国·九年级课时练习）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请用一元二次方程的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，那么经过三轮感染后，被感染的电脑共有多少台？
【答案】每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；经过三轮感染后，被感染的电脑共有729台
【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，得：
1+x+（1+x）x=81
即（1+x）2=81
解得x1=8，x2=﹣10（不合题意，舍去），
所以经过三轮感染后，被感染的电脑共有81+81×8=729台．
答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．经过三轮感染后，被感染的电脑共有729台．
同类题型演练
1．（2022·四川广元·九年级期末）有一人感染了新冠肺炎，经过两轮传染后共有100人被感染，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题可知1+x+x（1+ x）=100．
故选：A．
2．（2022·江苏·九年级专题练习）有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有144人患了红眼病，那每轮传染中平均一个人传染的人数为（       ）人．
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，由题意，得：
，
解得：，（舍去）．
故选：B．
3．（2021·山东·九年级期中）今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到200个红包， 则可以列方程为__．
【答案】x（x﹣1）＝200
【详解】解：设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包，
由题意可得：x（x﹣1）＝200，
故答案为x（x﹣1）＝200．
4．（2022·江西九江·九年级期末）某树主干长出x根枝干，每个枝干又长出x根小分支，若主干、枝干和小分支总数共133根，则主干长出枝干的根数x为______．
【答案】
【详解】解：某树主干长出x根枝干，每个枝干又长出x根小分支，则



解得：
经检验：不符合题意；取
答：主干长出枝干的根数x为
故答案为：
5．（2021·湖北·荆州市荆南中学九年级期中）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手．   
（1）若参加聚会的人数为6，则共握手 次，若参加聚会的人数为n （n为正整数），则共握手 次；       
（2）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数？
【答案】（1）15；；（2）参加聚会的有9人．
【详解】解：（1）若参加聚会的人数为，则共握手（次）；
参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次．
故答案为：15；；
（2）设有人参加聚会，根据题意得，，
整理得，
因式分解得，
解得：，（不合题意，舍去），
答：参加聚会的有9人．
类型二：平均增长（降低）率问题
（1）设基数为，平均增长率为，则第一次增长后的值为，两次增长后的值为，依次类推，次增长后的．
（2）设基数为，平均降低率为，则第一次降低后的值为，两次降低后的值为，依次类推，次降低后的值为．
典型例题
例题1．（2022·黑龙江黑河·九年级期末）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（       ）
A．100(1+x)2=81 B．100 (1-x2)=81
C．100(1-2x)=81 D．100(1-x)2=81
【答案】D
【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：100（1-x）2=81．
故选：D．
例题2．（2022·全国·九年级单元测试）某种药品的价格经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元，假设每次降价的百分率相等，这种药品每次降价的百分率是________．
【答案】20%
【详解】设这种药品每次降价的百分率是x，
根据题意得：，
解得：，（舍）．
故这种药品每次降价的百分率是20%．
故答案为20%．
点评：例题1、2考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
例题3．（2022·河南平顶山·九年级期末）网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某小型的快递公司，今年5月份与7月份完成快递件数分别为5万件和6.05万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同．
(1)求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率：
(2)如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件，公司现有8个快递小哥，按此快递增长速度，不增加人手的情况下，能否完成今年8月份的投递任务？
【答案】(1)该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为10％
(2)不能完成今年8月份的投递任务，理由见解析
【详解】（1）设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为x，根据题意，得：解得：，(舍)，答：该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为10％．
（2）8月份的快递件数为(万件)，而，所以按此快递增长速度，不增加人手的情况下，不能完成今年8月份的投递任务．
点评：例题3考查一元二次方程增长率问题，解决本题的关键是明晰增长率的意义．
同类题型演练
1．（2022·云南红河·九年级期末）某商品原售价是200元，经过连续两次降价后售价为162元，设平均每次降百分率为x，则下面所列方程中正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设平均每次降百分率为x，根据题意得：
，故D正确．
故选：D．
2．（2021·湖南株洲·九年级期中）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率约为（       ）．
2020年1～5月份某厂家的口罩产量统计图

A．45% B．50% C．67% D．75%
【答案】C
【详解】解：设2月份到4月份该厂家每个月口罩产量的月增长率为x，
依题意得：180（1+x）2＝500，
解得：x1，x2（不合题意，舍去）．
故答案为：C．
3．（2022·全国·九年级专题练习）在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是_______%．
【答案】10
【详解】解：设11、12两月平均每月降价的百分率是x，则11月份的成交价是7000-7000x=7000（1-x），12月份的成交价是7000（1-x）（1-x）=7000（1-x）2，由题意，得
∴7000（1-x）2=5670，
∴（1-x）2=0.81，
∴x1=0.1，x2=1.9（不合题意，舍去）．
故答案为：10．
4．（2021·湖南永州·九年级期中）某工厂今年元月份的产值是50万元，3月份的产值达到了72万元．若求2、3月份的产值平均增长率，设这两个月的产值平均月增长率为x，依题意可列方程______．
【答案】
【详解】解：根据题意，得
50（1+x）2=72．
故答案为：50（1+x）2=72．
5．（2022·陕西安康·九年级期末）某商店以每件16元的价格购进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件25元上涨到每件36元，此时每月可售出160件商品．
(1)求该商品平均每月的价格增长率；
(2)因某些原因商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降0.5元，每个月多卖出1件，当降价多少元时商品每月的利润可达到1800元．
【答案】(1)20%
(2)10
【解析】（1）解：设该商品平均每月的价格增长率为x，依题意得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：该商品平均每月的价格增长率为20%．
（2）解：设售价降低y元，则每件的销售利润为元，每月可售出件，依题意得：，整理得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：当降价10元时商品每月的利润可达到1800元．
类型三：几何图形面积问题
几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程．
典型例题
例题1．（2022·内蒙古呼伦贝尔·九年级期末）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为(     )

A．35×20-35-20+22=600 B．35×20-35-2×20=600
C．(35-2)(20-)=600 D．(35-)(20-)=600
【答案】C
【详解】设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35-2x）米，宽为（20-x）依题意，得：
（35-2x）（20-x）=600．
故选：C．
点评：例题1考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
例题2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为_______．

【答案】2m##2米
【详解】解：利用平移，原图可转化为下图，

设道路宽为x米
根据题意得：（32-x）(20-x)=540
解得：x1=2，x2=50（不合题意，舍去）
∴x=2，
故答案为：2 m．
点评：例题2考查了一元二次方程的应用，这类题目体现了数形结合得思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．
例题3．（2021·内蒙古通辽·九年级期末）如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为米的墙，另外三边用米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个米宽的门，

(1)若，问矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为平方米
(2)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到平方米？
【答案】(1)长为米，宽为米
(2)不能
【详解】（1）解：设矩形鸡舍垂直于房墙的一边长为米，则矩形鸡舍的另一边长为米，依题意，得：，解得：，，当时，（舍去），当时，．答：矩形鸡舍的长为米，宽为米．
（2）当鸡舍面积等于平方米时，依题意，得：，整理得：，∴，∴所围成鸡舍面积不能为90平方米．答：所围成鸡舍面积不能为90平方米．
同类题型演练
1．（2022·江苏·九年级单元测试）如图，在一块宽为，长为的矩形空地上，修筑宽相等的两条小路，两条路分别与矩形的边平行，如图，若使剩余（阴影）部分的面积为，问小路的宽应是多少？设小路的宽为，根据题意得（       ）

A． B．
C． D．以上都不正确
【答案】C
【详解】解：设小路的宽为，由题意得，
，
故选C．
2．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为（       ）

A．5m B．（5+）m C．（5+3）m D．（5+5）m
【答案】D
【详解】解：设小圆的半径为xm，则大圆的半径为（x+5）m，
根据题意得：π（x+5）2=2πx2，
解得，x=5+5或x=5﹣5（不合题意，舍去）．
故选D．
3．（2020·陕西商洛·九年级期末）如图，一农户要建议个矩形花圃，花圃的一边利用长为12 m的墙，另外三边用25 m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1 m宽的门，花圃面积为80 m2，设于墙垂直的一边长为x m，则可以列出方程是（       ）

A．x（26－2x）＝80 B．x（24－2x）＝80
C．（x－1）（26－2x）＝80 D．x（25－2x）＝80
【答案】A
【详解】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m，
根据题意得：x（26-2x）=80．
故选：A．
4．（2021·江苏淮安·九年级期中）如图，某小区有一块长为、宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________．

【答案】2
【详解】解：设人行通道的宽度为xm，
由题意得（30-3x）（24-2x）=480，
解得x1=2，x2=20（舍去），
∴人行通道的宽度为2m，
故答案为：2．
5．（2022·全国·九年级课时练习）某校准备在一块长为米，宽为米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为米．

(1)花园内的小路面积为______平方米用含的代数式表示．
(2)若草坪面积为平方米时，求这时道路宽度的值．
【答案】(1)
(2)1
【详解】（1）解：小路宽度为米，亭子边长是小路宽度的倍，亭子边长是米，花园内的小路面积为平方米，故答案为：；
（2）依题意得：，整理得：，解得：，不合题意，舍去．答：这时道路宽度的值为．
类型四：数字问题
若一个两位数十位、个位上的数字分别为、，则这个两位数表示为；
若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为、、，则这个三位数表示为．
典型例题
例题1．（2019·全国·九年级）若两个连续正偶数的平方差为36，则这两个数为（       ）
A．-8和-10 B．8和10
C．8和-10 D．-8和10
【答案】B
【详解】设其中较小一个正偶数为x，则另一个为x＋2，又因为两数的平方差为36，所以：，解得，所以
故答案为B选项
点评：例题1主要考查了一元二次方程中连续奇数或偶数等的运用，正确表示出各个数建立方程是关键
例题2．（2021·江苏常州·九年级期中）已知一个数的平方减去30的差等于这个数本身，则这个数为 ___．
【答案】6或-5
【详解】解：设这个数为x，
根据题意得：x2-30=x，
解得：x=6或x=-5，
故答案是：6或-5．
点评：例题2主要考查一元二次方程，根据题意，列出方程是解题的关键．
例题3．（2021·全国·九年级专题练习）一个两位数字，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的，求这个两位数．
【答案】63
【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为（x+3），
由题意得，，
即，
解得：，（不合题意，舍去），
∴十位数字为x+3＝6，
答：这个两位数为63．
点评：例题3考查解一元二次方程与一元二次方程的应用，熟练掌握因式分解法与正确理解题意是解题的关键，注意应用题中要检验一元二次方程的解是否符合题意．
同类题型演练
1．（2019·全国·九年级）两个连续整数的平方和为85，则这两个整数为（       ）
A．6，7 B．-7，-6
C．6，7或-7，-6 D．不定
【答案】C
【详解】设其中一个较小的整数为x，则另一个为x＋1，所以：，即，利用十字相乘变形得：，解得，；所以对应的另一个数为：，
故答案为C选项
2．（2020·全国·九年级课时练习）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，这个两位数十位和个位交换位置后，新两位数与原两位数的积为1612，那么原两位数是（       ）
A．95 B．59 C．26 D．62
【答案】D
【详解】解：令个位为y，十位为x，则数为10x+y，且x-4=y，交换位置后，数字为10y+x，则
（10x+y）×（10y+x）=1612，即（11x-4）×（11x-40）=1612，
解得x=6，
10x+y=60+（6-4）=62．
故这个两位数是62．
故选：D．
3．（2021·青海·西宁市沈那中学九年级阶段练习）一个两位数等于它的两个数字积的3倍，十位上的数字比个位上的数字小2，设个位上的数字为x，由此得到方程____．
【答案】10（x－2）+x=3x(x－2)
【详解】解：由题意，十位上的数字为x－2，则10（x－2）+x=3x(x－2)，
故答案为：10（x－2）+x=3x(x－2)．
4．（2021·江西南昌·九年级阶段练习）在2021年10月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为180，则这个最小数为______．

【答案】10
【详解】解：设最小的数为x，则最大的数为x+8，根据题意，
得：x(x+8)=180，即x2+8x=180，
配方，得：（x+4）2=196，
直接开平方，得：x+4=±14，
解得：x1=10，x2=﹣18（不符题意，舍去），
∴这个最小数为10，
故答案为：10．
5．（2021·全国·九年级专题练习）根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数．
【答案】x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4，一般形式为：2x2－19x+24=0．
【详解】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为：
x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4
整理得：2x2－19x+24=0．
类型五：销售利润问题
；；
；．
典型例题
例题1．（2022·全国·九年级单元测试）将进价为 元/个的某种商品按 元/个出售时，能卖出500个，已知这种商品每个每涨价1元，其销售数量就减少 个，若想使利润达到元，售价应是多少？设售价为 元/个，则可列方程（     ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：设售价为x元，则
（x﹣90）[500﹣10（x﹣100）]＝9000，
故选：D．
点评：例题1考查一元二次方程的实际应用，由售价和销售量的关系，以利润作为等量关系列方程求解．
例题2．（2022·江苏·九年级专题练习）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价多少元？设每件衬衫降价x元，由题意列得方程______．
【答案】
【详解】解：设每件衬衫降价x元，根据题意得，

故答案为：
例题3．（2022·陕西西安·九年级期末）为了满足初中学业水平体育与健康考试的需求，某体育用品专卖店从厂家以单价40元进购了一种排球，如果以单价60元出售，那么每月可售出400个，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少5个．
(1)设销售单价提高x元，则每个排球获得的利润是_____元；这种排球这个月的销售量是_____个；
(2)若该专卖店准备在这种排球销售上一月获利10500元，同时又要使顾客得到实惠，则售价应定为多少元？
【答案】(1)（20+x），（400-5x）
(2)售价应定为70元
【详解】（1）解：依题意得：当销售单价提高x元时，每个排球获得的利润是60+x-40=（20+x）元，这种排球这个月的销售量是（400-5x）个．故答案为：（20+x）；（400-5x）．
（2）依题意得：（20+x）（400-5x）=10500，整理得：x2-60x+500=0，解得：x1=10，x2=50．又∵要使顾客得到实惠，∴x=10，∴60+x=60+10=70．答：售价应定为70元．
点评：例题3考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出每个排球的销售利润及月销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
同类题型演练
1．（2022·江苏·九年级专题练习）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品.若每件商品的售价定为元，则可卖出件，若商店计划从这批商品中获取400元的利润（不计其他成本），求售价．根据题意，下面所列方程正确的是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：根据题意，得 （x﹣21）（350﹣10x）＝400，
故选：B.
2．（2022·全国·九年级专题练习）小强为活动小组购买统一服装，经理给予如下优惠：如果一次性购买不超过10件，单价为80元：如果一次性购买超过10件，那么每多买一件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价最终不低于50元．小强一次性购买这种服装花费1200元，则他购买了这种服装的件数是(        )
A．20件 B．24件 C．20件或30件 D．30件
【答案】A
【详解】解析：设小强购买了这种服装x件．
由题意得：，
解得：x1=20，x2=30．
∵80－2(x－10)≥50，
∵x≤25，
∴x=20．
故选：A．
3．（2022·山东青岛·二模）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．已知去年这种水果批发销售总额为10000元，则这种水果今年每千克的平均批发价是______元．
【答案】4
【详解】解：设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）元
今年的批发销售总额为10000（1+20%）=12000元
∴
整理得x2-x-12=0
解得x=4或x=-3
经检验x=4或-3都是分式方程的解（x=-3不合题意，舍去）．
故这种水果今年每千克的平均批发价是4元．
故答案为：4．
4．（2022·广东清远·九年级期末）2021年端午节期间，合肥某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价元，可列方程________．
【答案】
【详解】解：由题意得：
；
故答案为．
5．（2022·河南安阳·九年级期末）近两年直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音平台上对一款成本价为60元的商品进行直播销售，如果按每件100元销售，每天可卖出20件．通过市场调查，该商品售价每降低5元，日销售量增加10件，设每件商品降价x元．
(1)每件商品降价x元时，日销售量为______件；
(2)求x为何值时，日销售能盈利1200元，同时又能尽快销售完该商品；
(3)丽丽的线下实体商店也销售同款商品，标价100元．为了提高市场竞争力，促进线下销售，丽丽决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（2）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【答案】(1)
(2)x为20
(3)8折
【详解】（1）解：∵如果按每件100元销售，每天可卖出20件．通过市场调查，该商品售价每降低5元，日销售量增加10件
每件商品降价x元时，日销售量为，即件．
故答案为．
（2）解：由题意得：即
解得，
因为尽快销售完该商品，所以
答：当x为20时，日销售能盈利1200元，同时又能尽快销售完该商品．
（3）解：设该商品需要打a折销售
由题意得：，解得
答：该商品至少需打8折销售．
类型六：其他问题
典型例题
例题1．（2022·内蒙古呼伦贝尔·九年级期末）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排36场比赛，则八年级班级的个数为(     )
A．6 B．9 C．7 D．8
【答案】B
【详解】解：设八年级班级的个数为个，根据题意得，
，
解得（舍去），
答：八年级班级的个数为9个．
故选B．
例题2．（2022·全国·九年级）某年级举行篮球比赛，赛制为双循环赛，即每一个球队都和其它的球队进行一场比赛，已知共举行了42场比赛，那么共有（       ）支队伍参加了比赛．
A．7 B．6 C．12 D．14
【答案】A
【详解】解：设共有x支队伍参加了比赛，
由题意得：x（x﹣1）＝42，
解得：x＝7或x＝﹣6（舍去），
故共有7支队伍参加比赛．
故选：A．
例题3．（2022·全国·九年级）某校九(1)班的学生互赠新年贺卡，共用去1560张贺卡，则九(1)班有________名学生．
【答案】40
【详解】解：设有名学生
由题意知
解得或（不符合要求，舍去）
故答案为：40．
例题4．（2022·重庆沙坪坝·一模）助力上海疫情抗击战，爱心蔬菜送上门．志愿者将青菜与土豆打包成爱心蔬菜包，在当地封控小区进行“免费送蔬菜”活动，每个爱心蔬菜包中青菜比土豆多3斤，第一天共送出300个爱心蔬菜包，青菜与土豆共送出2100斤．
(1)求每个爱心蔬菜包中青菜和土豆各多少斤？
(2)第二天经过紧急调运，每个爱心蔬菜包中青菜比第一天多1斤，土豆比第一天多m斤，送出的蔬菜包个数比第一天多100m个，结果第二天送出的青菜比土豆多1200斤，求m的值．
【答案】(1)每个爱心蔬菜包中青菜有5斤，土豆有2斤；
(2)
【详解】(1)解：设每个爱心蔬菜包中青菜有x斤，土豆有y斤，
根据题意，得，解得：，
答：每个爱心蔬菜包中青菜有5斤，土豆有2斤．
(2)根据题意，得，
解得（舍去），，
∴．
例题5．（2022·重庆南开中学三模）海姆立克急救法是日常抢救气管被异物堵塞的急救方法，但儿童和成人的施救方法不同．北关中学为教职工开设“成人急救班”与“儿童急救班”．已知报名参加“成人急救班”与“儿童急救班”的人数共80人，其中报名参加“成人急救班”的人数比报名参加“儿童急救班”人数的一半还少10人．
(1)报名参加“成人急救班”与“儿童急救班”的教职工各多少人？
(2)开课当天，参加“成人急救班”的人数在报名人数基础上增加了4m人，人均操作道具时间比原计划的每人5分钟少分钟；参加“儿童急救班”的人数在报名人数基础上减少了3m人，人均操作道具时间比原计划的每人3分钟多1分钟，则两个班所有人操作道具的总时间比原计划增加60分钟，求m的值．
【答案】(1)报名参加“成人急救班”的有20人，则参加“儿童急救班”60人
(2)m的值为5
【详解】(1)设报名参加“成人急救班”的有x人，则参加“儿童急救班”人
由题意得：
解得：，
答：报名参加“成人急救班”的有20人，则参加“儿童急救班”60人．
(2)由题意得：

整理得：
（不合题意，舍），
答：m的值为5．
同类题型演练
1．（2022·湖北襄阳·二模）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？依题意得，长比宽多（     ）步
A．15 B．12 C．9 D．6
【答案】D
【详解】解：设长为x步，则宽为(60-x) 步，
，
整理得，，
解得，，，
∴当 时， ，长<宽，不合题意，舍去；
∴当 时， ，即长为33步，宽为27步，符合题意，
∴长比宽多：33-27=6 (步)，
故选D
2．（2022·江苏·九年级专题练习）某市要组织一次篮球联赛，比赛组织者邀请x个队参赛，赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场，计划安排28场比赛，则x满足的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：每个队都要赛（x-1）场，总场数=，即=28，
故选：C．
3．（2022·河北唐山·九年级期末）要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛．则共有______支球队参赛．
【答案】7
【详解】解：设有x个队，每个队都要赛（x−1）场，但两队之间只有一场比赛，
x（x−1）÷2＝21，
解得x＝7或−6（舍去）．
故应邀请7个球队参加比赛．
故答案为：7．
4．（2022·重庆实验外国语学校九年级阶段练习）自2月以来，香港第五波疫情来势汹汹，牵动人心，一河之隔的深圳各界人士全力支持香港抗疫．深圳某物流公司担任抗疫物资运送任务，计划用一定数量的A、B两种类型的货船运送物资共8400吨到香港．已知满载时A型货船可装载1000吨货物，B型货船可装载800吨货物，且A型货船的数量比B型货船数量少6艘，恰好一次性运完．
(1)求A、B型货船的数量；
(2)因受天气影响，货船不能满载．在实际运送过程中，物流公司增派了A型货船m辆和B型货船4辆．每辆A型货船比满载时少装载200m吨，每辆B型货船比满载时少装载150m吨，结果恰好一次性运完，求m值．
【答案】(1)A型货船2艘，则B型货船8艘；
(2)2
【详解】(1)解：设A型货船x艘，则B型货船（x+6）艘，根据题意得：
，
解得：x=2，
则B型货船（艘），
答：A型货船2艘，则B型货船8艘；
(2)根据题意得：A型货船（2+m）艘，
B型货船8+4=12（艘），
A型货船每艘运送货物（1000-200m）吨，
B型货船每艘运送（800-150m）吨，
则，
解得：，（不符合题意舍去），
答：m的值为２．
5．（2021·河南洛阳·九年级期中）某旅行社有客房120间，每间客房的住宿费60元/日，每天都客满，该旅行社在装修后要提高客户住宿费，经市场调查，如果每间客房的住宿费每增加5元/日，那么每天的客房相应空出6间（不考虑其他因素）
（1）旅行社每间客房的住宿费提高到多少元时，客房日总住宿费收入不变？
（2）旅行社将每间客房的住宿费提高，客房日总住宿费收入能否达到7710元？说明理由？
【答案】（1）旅社将每间客房的住宿费提高到100元时，客房日总住宿费收入不变；（2）客房日总住宿费收入不能达到7710元，理由见解析．
【详解】解：（1）设旅社将每间客房的住宿费提高元/日时，则每天的客房会空出间，
依题意列方程得：




解得：（舍去），，
（元），
∴旅社将每间客房的住宿费提高到100元/日时，客房日总住宿费收入不变．
（2）客房日总住宿费收入不能达到7710元，理由如下：
设旅社将每间客房的住宿费提高元/日时，则每天的客房会空出间，
依题意列方程得：


，
，方程无实数根，
∴客房日总住宿费收入不能达到7710元．